Couper un rectangle de chocolat en 4 morceaux égaux et en manger 3, ou le couper en 8 morceaux et en manger 6 : dans les deux cas, tu avales exactement la même quantité. C’est toute l’idée d’une fraction équivalente. Deux fractions sont équivalentes quand elles représentent le même nombre, et on passe de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre non nul : 6/8 = 3/4.
Cette propriété fonctionne dans les deux sens. Multiplier agrandit l’écriture, ce qui sert à comparer ou à additionner ; diviser la rétrécit, jusqu’à la forme la plus simple, où plus aucun diviseur commun ne relie le haut et le bas. L’exemple de 60/72, qui se réduit à 5/6 en trois petites étapes, montre la méthode complète un peu plus bas.
Que représentent le numérateur et le dénominateur ? 🔢
Le dénominateur (écrit sous la barre)
Indique en combien de parts égales on partage l’unité
Le numérateur (écrit au-dessus de la barre)
Compte combien de ces parts on prend
Dans 3/7, l’unité est partagée en 7 morceaux identiques et on en retient 3. Le programme du cycle 4, publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026, définit une fraction comme :
Le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur), qui peut être vu comme un nombre, une expression, et aussi comme un opérateur (fraction d’une quantité).
Bulletin officiel du 5 mars 2026, programme du cycle 4
Ainsi, 3/4 désigne à la fois le nombre 0,75, l’écriture « trois quarts » et l’action de prendre les trois quarts d’un rectangle ou d’une somme d’argent.
Le rôle du nombre du bas mérite qu’on s’y arrête. Lors de l’évaluation de début de sixième de septembre 2025, la Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) a présenté à 817 000 élèves une figure partagée en 7 parts égales, dont 3 coloriées. 86,7 % ont répondu 3/7, mais 9,6 % ont écrit 3/4 : ils ont comparé la partie coloriée à la partie restante, au lieu de la rapporter au tout.
Pour lire ce genre d’écriture sans te tromper, pose-toi deux questions dans cet ordre :
En combien de morceaux égaux le tout est-il partagé ?
Combien de morceaux prend-on ?
La première réponse va en bas, la seconde en haut.
Ceux qui maîtrisent le concept de fraction ont compris que le numérateur et le dénominateur ont des rôles bien distincts. « Trois quarts », c’est un peu comme « trois pommes » : il faut commencer par nommer ce que l’on veut compter (les quarts, au dénominateur), puis dénombrer combien on en prend (au numérateur).
Stanislas Dehaene, président du Conseil scientifique de l’éducation nationale, Note du CSEN n° 5 (2022)
Parce que ces deux termes travaillent ensemble, une même valeur peut s’écrire de plusieurs façons. C’est exactement ce qu’exploitent les fractions équivalentes.
Sais-tu ce qu'est la dérivée exponentielle ?
Qu’est-ce qu’une fraction équivalente ? ⚖️
Une fraction équivalente est une autre écriture du même nombre : 1/2, 2/4 et 50/100 valent toutes 0,5. On l’obtient en multipliant, ou en divisant, ses deux termes par un même nombre, jamais par zéro.
📏 La propriété fondamentale des fractions
La règle s’écrit ainsi, pour tous nombres a, b et k, avec b et k non nuls :
(a × k) / (b × k) = a / b
Reprends le rectangle partagé en 4 morceaux, dont 3 coloriés : la partie colorée occupe 3/4 de son aire. Coupe maintenant chaque morceau en deux. Tu obtiens 8 parts plus petites, dont 6 coloriées. La zone colorée n’a pas bougé, seul le découpage a changé : 3/4 = (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8.
Cet exemple figure tel quel dans l’évaluation nationale de début de quatrième de 2025. L’élève doit retrouver, parmi plusieurs rectangles, celui dont les 3/4 sont coloriés, en repérant un partage en 8 parts égales dont 6 coloriées. Le ministère y relève une erreur type : compter les parts colorées sans tenir compte de leur taille. Cette écriture n’a de sens que si les morceaux sont tous égaux.
En multipliant successivement par 2, 3, 4 et 5, chaque point de départ engendre toute une famille d’écritures équivalentes :
| Fraction de départ | × 2 | × 3 | × 4 | × 5 |
|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 2/4 | 3/6 | 4/8 | 5/10 |
| 2/3 | 4/6 | 6/9 | 8/12 | 10/15 |
| 3/4 | 6/8 | 9/12 | 12/16 | 15/20 |
| 2/5 | 4/10 | 6/15 | 8/20 | 10/25 |
🔍 Comment vérifier que deux fractions sont égales ?
Trois techniques permettent de trancher sans dessiner de rectangles :
Technique n°1
Chercher le multiplicateur commun
5/7 et 20/28 sont égales, car 5 × 4 = 20 et 7 × 4 = 28
Technique n°2
Simplifier les deux écritures
Si elles aboutissent au même résultat final, elles sont égales (4/6 et 10/15 se réduisent toutes deux à 2/3)
Technique n°3
Calculer les produits en croix
a/b = c/d lorsque a × d = b × c ; pour 3/4 et 6/8, 3 × 8 = 24 et 4 × 6 = 24, l’égalité est donc vérifiée
Le programme du cycle 4 classe « Reconnaître des fractions égales » parmi les automatismes de cinquième, avec des exercices du type 2/3 = …/15. Pour compléter, cherche par quoi multiplier 3 pour obtenir 15 (ici 5), puis applique ce même facteur en haut : 2/3 = 10/15.
Comme on peut multiplier les deux termes par n’importe quel entier non nul, 1/2 s’écrit aussi 2/4, 7/14, 50/100 ou 1 000/2 000.
Toutes ces écritures désignent le même point sur une droite graduée.
Es-tu au point sur les puissances ?
Comment simplifier une fraction pour la rendre irréductible ? ✂️
Simplifier une fraction, c’est diviser ses deux termes par un nombre qui divise chacun d’eux, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus d’autre que 1. Le résultat est une fraction irréductible : la plus simple de toutes les écritures équivalentes.
Le nouveau programme du cycle 4 échelonne cet apprentissage :
Reconnaître des écritures égales en cinquième
Simplifier en quatrième
La réduire au maximum en troisième
Deux méthodes y mènent, avec le même point d’arrivée.
🧮 Méthode 1 : décomposer en facteurs premiers
L’idée consiste à écrire le haut et le bas comme des produits de nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…), puis à barrer les facteurs présents des deux côtés. Prenons 60/72 :
- Décompose 60 :
60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 5, - Décompose 72 :
72 = 8 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, - Repère les facteurs communs : deux fois 2 et une fois 3, soit
2 × 2 × 3 = 12, - Barre-les en haut comme en bas : il reste 5 en haut et
2 × 3 = 6en bas.
60/72 = (2 × 2 × 3 × 5) / (2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 5 / (2 × 3) = 5/6
Comme 5 et 6 n’ont plus aucun facteur partagé autre que 1, 5/6 est sa forme la plus simple. Le programme prend d’ailleurs ce même nombre comme exemple de factorisation : 60 = 2² × 3 × 5.
➗ Méthode 2 : diviser par des diviseurs communs
Si la décomposition te paraît longue, procède par divisions successives avec les facteurs que tu repères à l’œil. Sur le même exemple :
60/72 → 30/36 (÷ 2) → 15/18 (÷ 2) → 5/6 (÷ 3)
Tu peux aussi aller plus vite en divisant directement par 12, le plus grand diviseur commun de 60 et de 72 : une seule division suffit. Pour les repérer, les critères de divisibilité font gagner un temps précieux.
| Diviseur | Critère de divisibilité | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 | 72 se termine par 2 |
| 3 | La somme des chiffres est un multiple de 3 | 72 : 7 + 2 = 9 |
| 5 | Le nombre se termine par 0 ou 5 | 60 et 15 |
| 9 | La somme des chiffres est un multiple de 9 | 72 : 7 + 2 = 9 |
| 10 | Le nombre se termine par 0 | 60 |
Le programme cite un cas typique : simplifier un quotient dont les deux termes appartiennent à une même table de multiplication, comme 15/35 (table de 5, donc 3/7) ou 63/14 (table de 7, donc 9/2).
➖ Le cas des fractions négatives
Occupe-toi d’abord du signe, avant de calculer la partie numérique. Le quotient est négatif quand un seul de ses deux termes l’est ; il est positif quand les deux sont négatifs ou qu’aucun ne l’est.
−18/24 = −(18/24) = −3/4: un seul signe moins, le résultat est négatif,(−18)/(−24) = 18/24 = 3/4: les deux signes moins se compensent,18/(−24) = −3/4: le signe se place devant le résultat simplifié.
Règle le signe en premier, puis simplifie la partie numérique.
Termine toujours par une vérification : si le haut et le bas ont encore un facteur commun, la simplification n’est pas terminée.
Maîtrises-tu le milieu du segment ?
Pourquoi les fractions posent-elles des difficultés aux élèves ? 📈
Cette écriture oblige à penser deux entiers à la fois comme un seul. L’élève qui traite chaque terme séparément perd le sens de la valeur, et les règles de calcul deviennent des recettes à retenir sans les comprendre.
Les données nationales le confirment, avec une précision importante : il s’agit de résultats mesurés à l’entrée en sixième, deux ans avant la quatrième. En septembre 2025, face à un point placé aux 4/10 d’une droite graduée de 0 à 1, 61,4 % des élèves ont choisi la bonne réponse, selon la DEPP. Les autres ont surtout répondu 4/1 (18,4 %) ou 1/4 (10,8 %) : ils ont compté des graduations sans relier le nombre du bas à la longueur totale.
Sur une droite graduée, seuls
% des élèves de début de sixième placent correctement 4/10 (61,4 %, DEPP, septembre 2025)
L’écart social pèse aussi. Sur cette même question, la réussite atteint 67,6 % dans le privé sous contrat, contre 49,7 % en éducation prioritaire renforcée (REP+).
Le Conseil scientifique de l’éducation nationale (CSEN) arrive au même constat avec le test de la ligne numérique : 78 % des élèves de début de sixième testés en 2020 n’ont pas su placer 1/2 au milieu de l’intervalle [0, 1]. Sur ce type de questions, le taux d’erreurs tourne autour de 80 %. Beaucoup lisent 1/2 comme 1, comme 2, ou même comme le décimal 1,2.
Ce qui aide vraiment : relier chaque écriture à une réalité concrète (une part de rectangle, un point sur une droite) et s’exercer à ramener deux écritures sur un bas commun. Pour comparer 2/3 et 3/4, ramène-les toutes les deux sur 12 : 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12, donc 3/4 est la plus grande. Le programme du cycle 4 inscrit cette technique en toutes lettres :
Trouver un dénominateur commun à deux fractions pour les additionner, les soustraire ou les comparer
Elle repose entièrement sur la propriété fondamentale.
Retiens l’essentiel : une écriture égale s’obtient en multipliant ou en divisant le haut et le bas par le même nombre non nul, et la simplification s’arrête quand plus aucun diviseur commun ne subsiste. Quelques exercices par jour, en commençant toujours par le signe, suffisent à rendre ces gestes automatiques.
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Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme de mathématiques pour le cycle 4 (annexe 2) ». Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026, 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf. Consulté le 10 novembre 2026.
- DEPP. « Évaluation de début de sixième 2025 : résultats nationaux et analyses détaillées en mathématiques ». Document de travail n° 2025-E12, janvier 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/-valuation-de-d-but-de-sixi-me-2025---analyses-d-taill-es-en-math-matiques-517538.pdf. Consulté le 10 novembre 2026.
- Dehaene, Stanislas, et al. « Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : le test de la ligne numérique ». Note du Conseil scientifique de l’éducation nationale n° 5, février 2022, https://www.csen.education.gouv.fr/publications/evaluer-comprehension-nombres-decimaux-fractions/. Consulté le 10 novembre 2026.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Évaluation nationale, classe de quatrième, mathématiques : présentation des exercices et des compétences évaluées ». Éduscol, septembre 2025, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/25eva4docpromapdf-113166.pdf. Consulté le 10 novembre 2026.
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