Tu cherches des exercices de Pythagore avec des corrigés qui expliquent vraiment chaque étape, pas seulement le résultat final ? Tu es au bon endroit ! Le théorème de Pythagore est le grand rendez-vous géométrique de la classe de quatrième, et c’est aussi celui qui rapporte le plus de points aux contrôles, à condition de savoir quand l’utiliser.
Au programme : le cours condensé (théorème direct, réciproque, contraposée), la méthode de rédaction attendue au collège, et quatre énoncés corrigés pas à pas, dont deux issus des documents officiels du Ministère de l’Éducation nationale. Prends une feuille, un crayon et une calculatrice ! ✏️
Le théorème de Pythagore en 4e : le rappel express 📐
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit. C’est la formulation retenue par la ressource ministérielle destinée aux niveaux 4e et 3e, publiée sur éduscol.
Concrètement, pour un triangle ABC rectangle en A, cela s’écrit :
Le côté BC porte un nom particulier : c’est l’hypoténuse, le côté situé face à l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois ! Les deux autres, AB et AC, portent parfois le nom de cathètes.
Avant d’écrire la moindre égalité, entoure l’angle droit sur ta figure, puis souligne le côté qui lui fait face : c’est ton hypoténuse.
Si ce côté est l’inconnue, tu vas additionner. S’il est déjà connu, tu vas soustraire. Ce simple geste évite la maladresse la plus fréquente des contrôles de 4e.
🔍 Direct, réciproque, contraposée : ne plus les confondre
Théorème direct
Je sais déjà que la figure possède un angle droit : je cherche une mesure manquante
Réciproque
Je connais les trois mesures, et si la somme des aires des deux plus petits carrés égale l’aire du plus grand, alors la figure possède un angle droit
Contraposée
Je connais les trois mesures, et si cette égalité des aires tombe en défaut, alors la figure n’a aucun angle droit
Bonne nouvelle pour la suite de ta scolarité : le futur programme du cycle 4 nomme désormais explicitement les trois énoncés, « le théorème de Pythagore, sa réciproque, sa contraposée », et demande de « mener un travail de logique sur la réciproque et la contraposée ».
Ce texte entre en vigueur progressivement, en quatrième, à partir de la rentrée 2027. Maîtriser ce troisième énoncé dès maintenant te met donc en avance, même si l’essentiel des manuels actuels s’arrête au deuxième !
Pourquoi la réciproque est-elle admise en 4e ?
Parce que sa preuve dépasse le programme : elle repose sur la proposition 48 du livre I d’Euclide, qui mobilise la racine carrée, vue en troisième, et un cas d’isométrie longtemps réservé à la seconde.
Pierre Legrand, professeur agrégé, écrit dans le Bulletin Vert de l’APMEP qu’elle « pose au professeur de quatrième deux douloureux problèmes ».
Elle arrive donc en classe comme un résultat admis. Le repère qui évite de la confondre avec le théorème direct tient en une question : est-ce que je connais déjà les trois mesures ? Si oui, tu es du côté de la démonstration.
Un résultat aussi important que le théorème de Pythagore ne peut être asséné sans justification, sous peine de faire perdre aux élèves tout sens critique.
Pierre Legrand, professeur de mathématiques, « Autour du théorème de Pythagore », APMEP, Bulletin Vert n° 515 (2015)
Comment calculer une longueur avec Pythagore ?
La méthode tient en
gestes, toujours les mêmes :
Repérer
l’angle droit et le côté qui lui fait face
Ecrire
l’égalité de Pythagore avec les bonnes lettres
Isoler
l'inconnue
Les attendus de fin d’année de quatrième publiés par le ministère le formulent ainsi : l’élève « sait calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs des deux autres côtés ».
⚡ Les triplets à reconnaître pour gagner du temps
Certains trios d’entiers vérifient exactement la relation de Pythagore. Ces triplets pythagoriciens reviennent en boucle dans les exercices parce qu’ils tombent juste ! Les mémoriser fait gagner du temps : dès que tu en reconnais deux nombres, tu connais le troisième.
Ils servent à vérifier, jamais à sauter la rédaction, car les points vont aussi à la justification. Pour ancrer ces automatismes, un cours de maths avec un professeur particulier reste le plus efficace.
| Triplet | Vérification | Multiples fréquents dans les énoncés |
|---|---|---|
| 3 - 4 - 5 | 9 + 16 = 25 | 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 |
| 5 - 12 - 13 | 25 + 144 = 169 | 10-24-26, 15-36-39 |
| 6 - 8 - 10 | 36 + 64 = 100 | 12-16-20, 18-24-30 |
| 8 - 15 - 17 | 64 + 225 = 289 | 16-30-34 |
| 7 - 24 - 25 | 49 + 576 = 625 | 14-48-50 |
| 20 - 21 - 29 | 400 + 441 = 841 | 40-42-58 |
📌 Exercice corrigé n°1 : trouver le plus long côté
Énoncé officiel du ministère. « On pose contre un mur vertical (et perpendiculaire au sol) une échelle de 13 m de long et dont les pieds sont situés à 5 m de la base du mur. Quelle hauteur peut-on atteindre ? ».
Corrigé pas à pas. Le mur est perpendiculaire au sol : la figure formée par le mur, le sol et l’échelle possède donc un angle droit.
Appelons H le pied du mur, P le pied de l’échelle et S son sommet. Il est rectangle en H, et l’échelle [PS] lui fait face : c’est donc l’hypoténuse.
- D’après le théorème de Pythagore :
- Je remplace par les valeurs connues :
- J’isole l’inconnue :
- Je cherche le nombre positif dont le carré vaut 144 :
L’échelle permet d’atteindre une hauteur de 12 m, ce qui correspond exactement à la réponse publiée par le ministère. Remarque au passage que 5, 12 et 13 forment un triplet pythagoricien : l’énoncé était calibré pour tomber juste !
📖 Exercice corrigé n°2 : retrouver un petit côté
Énoncé. ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 9,6 cm et BC = 4 cm. Calcule AB, arrondi au dixième de centimètre près.
Corrigé pas à pas. L’angle droit est en B, donc [AC] est le côté qui lui fait face. Sa mesure est donnée, tandis que l’inconnue est l’un des deux petits côtés : c’est donc une soustraction qui m’attend.
- D’après Pythagore :
- Je remplace :
- J’isole l’inconnue :
- À la calculatrice :
Les 8,7 cm obtenus restent sous les 9,6 cm du grand côté : c’est cohérent. Ce réflexe de vraisemblance signale aussitôt une addition faite à la place d’une soustraction.
Comment prouver qu’un triangle est rectangle ?
Tu compares le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Si les deux résultats sont égaux, la réciproque du théorème de Pythagore t’autorise à conclure que le sommet droit se situe alors face à ce plus grand côté.
Les attendus de fin d’année de quatrième l’exigent noir sur blanc : l’élève « démontre qu’un triangle est un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs de ses côtés ».
Écrire directement 58² = 40² + 42² revient à affirmer le résultat avant de l’avoir prouvé : c’est la faute de logique la plus sanctionnée au collège.
La rédaction correcte pose deux opérations indépendantes, puis constate leur égalité, et conclut enfin en nommant la propriété invoquée.
🧐 Exercice corrigé n°3 : l’étagère est-elle horizontale ?
Énoncé officiel du ministère. « Alan a posé une étagère sur un mur vertical. On sait que RS = 42 cm, TR = 40 cm et ST = 58 cm. L’étagère est-elle horizontale ? (Justifie ta réponse) ».
Analyse. Le mur est vertical. L’étagère sera horizontale si elle est perpendiculaire au mur, c’est-à-dire si l’angle en R est droit. Les trois mesures étant données, c’est bien cette propriété qu’il faut mobiliser. Le plus grand côté est [ST], avec ses 58 cm :
- D’un côté, le carré du plus long segment :
- De l’autre, la somme des carrés des deux restants :
- Je compare → les deux résultats sont égaux, donc :
- D’après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en R
L’angle en R étant droit, l’étagère est bien perpendiculaire au mur vertical : elle est donc horizontale. Alan peut poser ses livres sans crainte !
💡 Exercice corrigé n°4 : montrer qu’un triangle n’est pas rectangle
Énoncé. Un triangle DEF a pour dimensions DE = 7 cm, EF = 8 cm et DF = 11 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Corrigé. Les valeurs en donnent l’impression, mais la vérification tranche. Le plus long segment est [DF].
- D’un côté :
- De l’autre :
- Je compare :
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, DEF n’est pas rectangle. Retiens la formule de conclusion : on n’écrit pas « la propriété ne s’applique pas », on invoque la contraposée ! Elle seule écarte cette possibilité. Les cours de maths en ligne permettent de faire relire tes démonstrations en direct.
Trois exercices par semaine suffisent à transformer la méthode en automatisme, à condition de varier les configurations. Garde les repères qui font la différence en contrôle :
- Additionner pour le grand côté
- Soustraire pour un petit
- Toujours traiter les deux membres séparément quand tu démontres
Si un point résiste, un professeur particulier le débloque en une séance, en cours de maths 4ème comme en préparation d’un cours de maths 3ème pour le brevet. ! Les mêmes réflexes te serviront jusqu’en cours de maths seconde 🚀.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse, éduscol. Théorème de Pythagore, ressource pédagogique niveau 4e/3e, Mathématiques. 2020, https://eduscol.education.gouv.fr.
- Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse, éduscol. 4e Mathématiques, attendus de fin d’année. 2019, https://eduscol.education.gouv.fr.
- Ministère de l’Éducation nationale. Annexe 2, programme de mathématiques pour le cycle 4. Bulletin officiel, 2026, https://www.education.gouv.fr.
- Legrand, Pierre. « Autour du théorème de Pythagore. » APMEP, Bulletin Vert n° 515, rubrique « Dans nos classes », 2015, p. 390-393, https://www.apmep.fr.
- Proust, Christine. Trouver toutes les diagonales. Plimpton 322 : à la recherche des rectangles sexagésimaux, une version mésopotamienne de la recherche des « triplets pythagoriciens ». 2017, https://images.math.cnrs.fr/freeze/Trouver-toutes-les-diagonales.html.
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