Le milieu d’un segment [AB] est le point de ce segment situé à la même distance de ses deux extrémités, A et B. Avec des coordonnées, il suffit de faire la moyenne de celles des extrémités : I((xA + xB) ÷ 2 ; (yA + yB) ÷ 2).
Cette notion t’accompagne de la sixième jusqu’en seconde : caractérisation, construction à la règle et au compas, calcul analytique, puis démonstration grâce à six propriétés clés et à la droite des milieux. Voici l’essentiel, exemples corrigés compris.
📍 Qu’est-ce que le milieu d’un segment ?
Le milieu de [AB] est le point I qui appartient à [AB] et qui vérifie l’égalité IA = IB. Les deux conditions comptent : I doit se trouver à la fois sur [AB] et aussi loin de A que de B.
Le programme de mathématiques du cycle 3, applicable à la rentrée 2025, fixe cet objectif en sixième :
Connaître et utiliser la définition du milieu d’un segment. Attention aux notations : [AB] désigne le segment, AB sa longueur.
programme de mathématiques du cycle 3, 2025
Conséquence directe : I partage [AB] en deux parties de même longueur, donc AI = IB = AB ÷ 2. Si AB mesure 9 cm, I se trouve à 4,5 cm de chaque bout. Sur une figure, on code cette égalité par deux petits traits identiques.
Avant de conclure, pose-toi deux questions : I est-il sur [AB] ? et IA est-il égal à IB ?
Deux oui, et tu tiens le milieu. Un seul oui, et tu as un point de la médiatrice ou un point quelconque de [AB].
📐 Comment construire le milieu d’un segment ?
Deux procédés s’offrent à toi :
Procédé n°1
Mesurer [AB] à la règle graduée et placer le point à mi-longueur
Procédé n°2
Tracer au compas la médiatrice, qui coupe [AB] exactement en deux
Le second est plus précis et ne demande aucune mesure.
📏 Avec une règle graduée
C’est la méthode vue en sixième, en trois étapes :
Étape 1
mesure la longueur AB, par exemple 7 cm
Étape 2
divise cette longueur par 2, ce qui donne 3,5 cm
Étape 3
place I sur [AB] à 3,5 cm de A, puis vérifie qu’il se trouve aussi à 3,5 cm de B
Rapide, ce procédé dépend de ta lecture de la graduation : avec 7,3 cm, l’écart devient vite visible.
🧭 Au compas, grâce à la médiatrice
La construction au compas repose sur la propriété caractéristique de la médiatrice, au programme du cycle 3 : un point est équidistant de A et de B si et seulement s’il se trouve sur la médiatrice de [AB].
Étape n°1
Ouvre ton compas d’un écartement supérieur à la moitié de AB
Étape n°2
Pointe en A et trace un arc de cercle de part et d’autre du segment
Étape n°3
Sans changer l’écartement, pointe en B et trace deux arcs qui coupent les premiers
Étape n°4
Relie les deux points d’intersection à la règle : cette droite est la médiatrice
Résultat
Elle croise [AB] en I, le point cherché
Ce problème de géométrie euclidienne a plus de 2 300 ans : Euclide en fait la proposition 10 du livre I de ses Éléments.
Couper en deux parties égales une droite limitée donnée.
Euclide, Éléments, livre I, proposition 10 (traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990)
Sa « droite limitée » est notre segment. Euclide construit un triangle équilatéral ABC sur [AB], trace la bissectrice de l’angle ACB, qui coupe [AB] en D, puis prouve que AD = DB en montrant que les triangles ACD et BCD sont superposables.
Sais-tu ce qu'est une dérivée exponentielle ?
🧮 Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment ?
Dans le plan, chaque coordonnée du point cherché est la moyenne de celles de A et de B : tu additionnes les deux abscisses et tu divises par 2, puis de même avec les ordonnées. Ce calcul figure parmi les capacités attendues en seconde.
📝 L’expression des coordonnées du milieu
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) dans un repère du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :
xI = (xA + xB) ÷ 2 et yI = (yA + yB) ÷ 2
Le programme de seconde publié en 2019 associe deux savoir-faire :
Calculer la distance entre deux points
Calculer les coordonnées du milieu d’un segment
Dans un repère orthonormé, AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) te permet de vérifier ton résultat.
Dans l’espace, on ajoute simplement zI = (zA + zB) ÷ 2. Plus tard, dans un espace affine, tu verras que I est l’isobarycentre de A et de B, c’est-à-dire leur point d’équilibre quand ils sont affectés du même poids.
✅ Exemples corrigés pas à pas
Exemple 1 : A(2 ; 4) et B(6 ; 8). On obtient (2 + 6) ÷ 2 = 4 et (4 + 8) ÷ 2 = 6, donc I(4 ; 6). Vérification : AB = √(4² + 4²) = √32 = 4√2 et AI = √(2² + 2²) = √8 = 2√2, la moitié de AB.
Exemple 2, le calcul inversé : tu connais A(1 ; 3) et I(4 ; 5), et tu cherches B. De xI = (xA + xB) ÷ 2, tu tires xB = 2 × xI − xA = 8 − 1 = 7 ; de même, yB = 2 × 5 − 3 = 7. Donc B(7 ; 7).
| Point A | Point B | Abscisse du milieu | Ordonnée du milieu | Milieu I |
|---|---|---|---|---|
| A(2 ; 4) | B(6 ; 8) | (2 + 6) ÷ 2 = 4 | (4 + 8) ÷ 2 = 6 | I(4 ; 6) |
| A(−3 ; 5) | B(1 ; −1) | (−3 + 1) ÷ 2 = −1 | (5 − 1) ÷ 2 = 2 | I(−1 ; 2) |
| A(−4 ; −7) | B(−2 ; 3) | (−4 − 2) ÷ 2 = −3 | (−7 + 3) ÷ 2 = −2 | I(−3 ; −2) |
| A(1 ; 2) | B(4 ; 7) | (1 + 4) ÷ 2 = 2,5 | (2 + 7) ÷ 2 = 4,5 | I(2,5 ; 4,5) |
Avec des négatifs, surveille les signes ; et si le résultat n’est pas entier, garde la valeur exacte, sans arrondir.
Maîtrises-tu les puissances ?
🔍 Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment ?
Pour le prouver, tu cites une propriété du cours adaptée à la figure :
Propriété n°1
Définition
Propriété n°2
Symétrie centrale
Propriété n°3
Médiatrice
Propriété n°4
Médiane
Propriété n°5
Parallélogramme
Propriété n°6
Cercle
Propriété n°7
Droite des milieux
Une mesure à la règle ne suffit jamais. Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, qui entre en vigueur progressivement à partir de la rentrée 2026, le formule clairement : « à ce stade de l’apprentissage de la géométrie, la mesure ne constitue plus un élément de preuve ». La figure sert à conjecturer, la propriété à prouver.
🎯 Par la définition ou la symétrie centrale
Quand l’énoncé donne des longueurs : si I appartient à [AB] et que IA = IB, alors I est le milieu de [AB]. Ces longueurs peuvent aussi être calculées, avec le théorème de Pythagore par exemple.
Avec la symétrie centrale, vue en 5e : dire que A et B sont symétriques par rapport à O signifie que O est le centre de [AB]. Dès que l’énoncé parle de symétrique, la conclusion est immédiate.
📐 Par la médiatrice ou la médiane
Si une droite est la médiatrice d’un segment, alors elle le coupe en son milieu. Une médiane d’un triangle passe par un sommet et coupe le côté opposé en deux : si (AM) est une médiane du triangle ABC, M partage [BC] en deux longueurs égales.
En 4e s’ajoute la droite des milieux : dans un triangle, la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu. Le programme du cycle 4 l’emploie « pour prouver qu’un point est le milieu d’un côté ».
Toute démonstration de milieu suit le même schéma :
On sait que (les données de l’énoncé),
Or (la propriété du cours, citée en entier),
Donc (la conclusion : I est le milieu de [AB]).
⭕ Par le parallélogramme ou le cercle
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu : dans ABCD, l’intersection de [AC] et de [BD] coupe chacune en deux. C’est vrai aussi pour :
Le rectangle
Le losange
Le carré
Si un segment est un diamètre d’un cercle, alors le centre du cercle est son milieu. En 4e, on en déduit que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.
| Ce que tu sais | Propriété à citer | Ce que tu conclus |
|---|---|---|
| I appartient à [AB] et IA = IB | Définition du milieu | I est le milieu de [AB] |
| B est le symétrique de A par rapport à O | Définition de la symétrie centrale | O est le milieu de [AB] |
| (d) est la médiatrice de [AB] | Propriété de la médiatrice | (d) coupe [AB] en son milieu |
| (AM) est une médiane du triangle ABC | Définition de la médiane | M est le milieu de [BC] |
| ABCD est un parallélogramme | Propriété des diagonales du parallélogramme | [AC] et [BD] ont le même milieu |
| [AB] est un diamètre du cercle de centre O | Propriété du diamètre | O est le milieu de [AB] |
| M milieu de [AB], droite passant par M parallèle à (BC) | Théorème de la droite des milieux | Cette droite coupe [AC] en son milieu |
Es-tu au point sur la fraction équivalente ?
📊 Pourquoi ces notions méritent-elles de l’entraînement ?
Parce que les connaissances de base restent un point faible des collégiens français. Selon l’enquête Timss 2023, publiée en décembre 2024 par la Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP), les élèves de quatrième obtiennent 479 points en mathématiques, contre 507 en moyenne dans les pays de l’Union européenne (UE) et de l’Organisation de coopération et de développement économiques (OCDE) participants.
Score des élèves de quatrième en mathématiques
points pour la France à l’enquête Timss 2023, contre 507 en moyenne UE et OCDE (DEPP, 2024)
L’écart se lit aussi aux deux bouts du classement. D’après la note d’information de la DEPP, seuls 3 % des élèves de quatrième atteignent le niveau avancé, contre 11 % en moyenne UE et OCDE, et 17 % restent sous le niveau bas. Piste encourageante : « raisonner » est un atout relatif des élèves français (487 points), « connaître » l’est moins. Retenir le cours et ses sept propriétés libère donc ton raisonnement au moment de démontrer.
Construire, calculer, démontrer : cette notion relie les mathématiques du collège à celles du lycée. Entraîne-toi sur des figures variées ; et pour un coup de pouce, un professeur de maths à Rouen chez Superprof peut t’aider à consolider ces savoir-faire à ton rythme puis à cartonner au bac en fin de terminale.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme de mathématiques pour le cycle 3. » education.gouv.fr, programme applicable à la rentrée 2025, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/programme-de-math-matiques-pour-le-cycle-3-439827.pdf. Consulté le 05 novembre 2026.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Annexe 2 : programme de mathématiques pour le cycle 4. » education.gouv.fr, 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf. Consulté le 05 novembre 2026.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme de mathématiques de seconde générale et technologique. » Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019, https://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/95/7/spe631_annexe_1062957.pdf. Consulté le 05 novembre 2026.
- Lacroix, A., Philippe, C. et Salles, F. « Timss 2023 en quatrième pour les mathématiques : des résultats stables en France et un accroissement des écarts de performance entre les élèves. » Note d’information n° 24.48, DEPP, 2024, https://archives-statistiques-depp.education.gouv.fr/Default/doc/SYRACUSE/55893/timss-2023-en-quatrieme-pour-les-mathematiques-des-resultats-stables-en-france-et-un-accroissement-d. Consulté le 05 novembre 2026.
- Baroux, Dominique et Bühler, Martine. « Les Éléments de géométrie, d’Euclide au début du XIXe : une source d’inspiration pour les enseignants et enseignantes. » Géométries d’hier à demain, actes du 23e colloque de la Commission inter-IREM Épistémologie et histoire des mathématiques, Publimath, 2022, https://bibnum.publimath.fr/IWH/IWH22002.pdf. Consulté le 05 novembre 2026.
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