Introduction
L’encadrement est une technique mathématique essentielle qui consiste à déterminer une borne inférieure et une borne supérieure pour un nombre donné. Elle permet d’approximer, d’estimer ou de résoudre des problèmes mathématiques avec plus de flexibilité et de précision.
Cet article propose une exploration complète et progressive de cette notion, avec des définitions claires, des méthodes pratiques, des exemples visuels et des exercices corrigés.
Un nombre est toujours encadré par deux bornes : une supérieure et une inférieure.
On utilise les encadrements pour donner une approximation ou résoudre des problèmes.
Encadrement maths : définition et concepts fondamentaux
Qu’est-ce que l’encadrement d’un nombre ?
En mathématiques, encadrer un réel x signifie déterminer deux valeurs a et b, elles aussi des réels, telles que x soit compris entre a et b.
Il existe trois types d’encadrement :
- La minoration (encadrement inférieur) : Déterminer un réel a tel que a ≤ x. Le nombre a est appelé un minorant ;
- La majoration (encadrement supérieur) : Déterminer un réel b tel que x ≤ b. Le nombre b est appelé un majorant ;
- L'encadrement double : Il s’agit de la conjonction des deux inéquations précédentes, s'écrivant sous la forme : a ≤ x ≤ b.
Prenons un exemple : soit le nombre 2.
- Un encadrement à l'unité est : 1 ≤ 2≤ 3
- Un encadrement au dixième est : 1.9 ≤ 2≤ 2.1
Pourquoi encadrer un nombre ?
L’encadrement est apparu afin de répondre à plusieurs besoins en mathématiques, que ce soit en analyse ou en mathématiques appliquées.
Pour commencer, les encadrements servent à simplifier les calculs. En encadrant les images d’une fonction par exemple, on pourra facilement étudier le comportement de cette dernière.
Ensuite, les encadrements sont un outil important dans le cadre des estimations mathématiques. En effet, si l’on cherche la limite d’une suite complexe par exemple, réaliser un encadrement permettra d’estimer la valeur.
Enfin, d’un point de vue scolaire, l’encadrement des nombres permet de comprendre l’ordre des nombres afin de mieux assimiler des notions comme les intervalles et les limites.
Il ne faut pas oublier également que les encadrements sont un outil très important pour la modélisation scientifique. Comme les paramètres ne sont jamais d'une précision parfaite, les encadrements permettent de déterminer les incertitudes. Grâce aux encadrements, on peut appliquer les mathématiques aux contraintes du réel.
Encadrement d’amplitude : définition et calcul
En encadrement, on définit l’amplitude comme la précision de ce dernier. En d’autres termes, plus une amplitude est petite, plus l’encadrement sera précis.
Cela donne une règle : Pour un encadrement de la forme a ≤ x ≤ b, l'amplitude est définie par la différence stricte entre la borne supérieure et la borne inférieure.
Soit la formule : Amplitude = b - a
Prenons quelques exemples :
Soit x selon 3,1 ≤ x ≤ 3,2. Calculons l’amplitude de cet encadrement. Amplitude = b - a = 3,2 - 3,1 = 0,1. Il s’agit donc d’un encadrement avec précision au dixième, ou d’ordre 10-1.
Techniques d’encadrement selon les opérations mathématiques
Il existe certaines règles à connaître et à respecter afin de pouvoir effectuer des encadrements. Il ne faut pas faire l’erreur de croire que les règles de l’addition s’appliquent également aux autres opérations.
Encadrement d’une somme et d’une différence
En ce qui concerne l’addition de deux encadrements, on l’effectue membre à membre tant que les inégalités sont du même sens. Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors : a + c ≤ x + y ≤ b + d.
Pour la soustraction, les choses changent. Ici, il est interdit de soustraire les membres. Il faudra passer par l’opposé puis procéder à une addition. Par exemple, si l’on souhaite encadrer x - y, alors il faut encadrer son opposé - y. Soit c ≤ y ≤d. Alors l’opposé est − d ≤ − y ≤ − c. Maintenant, on ajoute membre à membre les inégalités : a + (− d) ≤ x + ( − y) ≤ b + ( − c), ce qui donne a − d ≤ x − y ≤ b − c.
Pour bien comprendre cette règle stricte sur la soustraction, il faut se représenter les intervalles sur un axe gradué.
L'opération d'addition correspond à une simple translation sur l'axe tandis que pour la soustraction, il s'agit d'appliquer une symétrie centrale sur l'axe autour de zéro. C'est cette différence qui fait que l'on ne peut pas se suffire à une simple opération membre à membre dans tous les cas.
Encadrement d’un produit et d’un quotient
Pour l’encadrement d’un produit, deux cas sont à distinguer : le cas positif et le cas négatif.
Dans le cas positif, on peut simplement multiplier membre à membre.
Pour 0 ≤ a ≤ x ≤ b et 0 ≤ c ≤ y ≤ d, on obtient a × c ≤ x × y ≤ b × d.
Dans le cas négatif, il faudra être plus prudent. Si certaines bornes de l’inégalité sont négatives, il faudra les ramener à des nombres positifs afin de pouvoir utiliser la même méthode que dans le cas positif. Si ce n’est pas possible, alors il faudra évaluer les 4 produits possibles ( a x c, a x d, b x c et b x d) pour en extraire le minimum et le maximum.
Pour encadrer un quotient, les règles de la soustraction s’appliquent aussi : on ne divise pas membre à membre. Si l’on veut encadrer x / y, alors on le traduit sous la forme d’un produit avec l’inverse de y tel que :
Pour bien comprendre les subtilités, voici un tableau récapitulatif :
| Signe des bornes de x et y | Règle d'encadrement pour x × y | Justification |
|---|---|---|
| x ≥ 0 et y ≥ 0 ( 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d) | On multiplie membre à membre : a × c ≤ x × y ≤ b × d | La fonction produit est croissante sur R+. |
| x ≤ 0 et y ≤ 0 ( a ≤ b ≤ 0 et c ≤ d ≤ 0) | On multiplie membre à membre et on inverse l'ordre : b × d ≤ x × y ≤ a × c | En multipliant des nombres négatifs, les valeurs absolues les plus grandes donnent le résultat positif le plus grand. |
| x ≥ 0 et y ≤ 0 ( 0 ≤ a ≤ b et c ≤ d ≤ 0) | On obtient un résultat négatif : b × c ≤ x × y ≤ a × d | Le produit d'un grand positif et d'un grand négatif donne le nombre le plus négatif (minimum). |
| Signes mixtes | On calcule les quatre produits a × c, a × d, b × c, b × d m ≤ x × y ≤ M | m = min(ac,ad,bc,bd) M = max(ac,ad,bc,bd) |
Encadrement d’un inverse
Passer à l’inverse modifie la structure de l’inégalité. Comme la fonction inverse est strictement décroissante, elle inverse l’ordre de l’encadrement.
Prenons par exemple a ≤ x ≤ b (où a et b sont de même signe et non nuls), alors :
Voici une représentation graphique de la fonction inverse afin de vous aider à comprendre les encadrements :
Applications pratiques de l’encadrement
Approximation et estimation
En sciences appliquées, les mesures physiques sont rarement exactes. Cette incertitude vient régulièrement de l’outil de mesure. Imaginons que vous utilisiez une règle millimétrée, alors vous serez précis au millimètre. Si un objet mesure 5 mm ± 1 mm, alors vous pourrez écrire cela sous forme d’encadrement pour vous assurer de ne pas faire d’erreur. Les ingénieurs utilisent cette notation en industrie pour éviter que des pièces ne s’emboîtent pas par exemple.
On peut aussi retrouver ces encadrements dans les finances notamment avec la bourse. Un encadrement permet de donner la valeur d’une action avec ses fluctuations.
Encadrement et résolution d’inéquations
Résoudre une inéquation, c’est avant tout chercher un encadrement à une variable inconnue selon certaines conditions.
Soit l’inéquation 2x − 4 ≤ 6, qui peut se calculer de cette façon : 2x − 4 ≤ 6 ⟺ 2x ≤ 10 ⟺ x ≤ 5. Cet encadrement (ici une majoration) définit les solutions possibles.
Encadrement et calculs numériques
Dans les calculs numériques effectués par ordinateur, on travaille sur un nombre fini de chiffres. Chaque opération génère donc des erreurs d’arrondi. Afin de régler le problème, on utilise les encadrements en analyse numérique pour garantir que le résultat final n’est pas trop éloigné de la réalité.
Les encadrements par ordre de grandeur permettent aussi facilement de vérifier la cohérence des résultats lors de grands calculs.
Encadrement maths : exercices pratiques
Afin de s’entraîner un peu sur les encadrements, voici quelques exercices corrigés :
Exercice 1 : Maîtriser l’addition et la soustraction d’encadrements
Soient x et y deux nombres réels tels que :
2 ≤ x ≤ 5
−3 ≤ y ≤ −1
1. Déterminer l'encadrement de la somme x + y.
2. Déterminer l'encadrement de l'opposé − y.
3. En déduire l'encadrement de la différence x − y.
1. Encadrement de x + y
L'addition d'inégalités de même sens est une opération possible qui conserve l'ordre. On peut donc additionner les encadrements membre à membre :
2 + (− 3) ≤ x + y ≤ 5 + (− 1)
− 1 ≤ x + y ≤ 4
2. Encadrement de −y
Multiplier une inégalité par un nombre strictement négatif (ici −1) inverse l'ordre de la relation. Ainsi, les bornes s'inversent :
− (− 1) ≤ − y ≤ − (− 3)
1 ≤ − y ≤ 3
3. Encadrement de x−y
Il est mathématiquement interdit de soustraire des encadrements membre à membre. Il faut transformer la soustraction en addition de l'opposé :
x − y = x + (− y).
On utilise l'encadrement de x et le nouvel encadrement de −y obtenu à la question précédente :
2 + 1 ≤ x + (− y) ≤ 5 + 3
3 ≤ x − y ≤ 8
Exercice 2 : QCM
Question 1 : Si un nombre réel x vérifie l'encadrement 2,5 ≤ x ≤ 7,8, quelle est l'amplitude de cet encadrement ?
A) 5,3
B) 10,3
C) -5,3
D) 2,5
Question 2 : Soient x et y deux nombres tels que 1 ≤ x ≤ 4 et 2 ≤ y ≤ 5. Quel est l'encadrement correct de la somme x + y ?
A) 2 ≤ x + y ≤20
B) 3 ≤ x + y ≤ 9
C) 3 ≤ x + y ≤ 20
D) − 1 ≤ x + y ≤ − 1
Question 3 : Sachant que − 3 ≤ x ≤ 2, quel est l'encadrement correct de − 2 x ?
A) − 6 ≤ − 2 x ≤ 4
B) 6 ≤ − 2 x ≤ − 4
C) − 4 ≤ − 2 x ≤ 6
D) − 2 ≤ − 2 x ≤ − 3
Voici les réponses aux questions du QCM :
A) 5,3
B) 3 ≤ x + y ≤ 9
C) − 4 ≤ − 2 x ≤ 6
Sources
- Association Sésamath. "Nombres réels, ordre et encadrements." Manuel de Mathématiques 2de, Sésamath.net, 2017. Consulté le 28 février 2026.
- Barbazo, Eric, et al. Mathématiques 2de. Hachette Éducation, 2019. Consulté le 28 février 2026.
- Bouvier, Alain, Michel George et François Le Lionnais. Dictionnaire des mathématiques. Presses Universitaires de France (PUF), 2005. Consulté le 28 février 2026.
- Khan Academy Francophone. "Inégalités et encadrements." KhanAcademy.org, 2023. Consulté le 28 février 2026.
- Ministère de l'Éducation nationale (Éduscol). "La mesure et les incertitudes en sciences." Eduscol.education.fr, 2019. Consulté le 28 février 2026.
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C’est super
-2<a<5 et -4<b<9
Encadrer a+b,ab,2a-3b et 1/ab
tu peux me donner autre exercice
Merci beaucoup superprof
Donner un encadrement de 1-x
C’est pertinent
Comment on peut déterminer un encadrement d’un nombre réel par exemple 3 plus 6 racine carrée de 5?