Une puissance est un raccourci d’écriture : aⁿ désigne le produit de n facteurs tous égaux à a. Les propriétés des puissances en découlent directement et tiennent en quatre égalités : aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ, aⁿ ÷ aᵖ = aⁿ⁻ᵖ, (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ et aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ.
Le programme officiel du cycle 4 insiste sur un point que beaucoup de fiches oublient : ces égalités se retrouvent en comptant les facteurs, pas en récitant une formule. 2⁵ × 2³, ce sont cinq facteurs 2 suivis de trois autres, donc huit au total : 2⁸ = 256.
Qu’est-ce qu’une puissance d’un nombre ? 🔢
Pour un nombre a et un entier naturel n supérieur ou égal à 2, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a. Le nombre a s’appelle la base, n s’appelle l’exposant, et on lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs égaux à a)
🔍 Le carré et le cube, premières puissances
Les deux premiers cas portent un nom : a² se lit « a au carré » et a³ « a au cube ». Ces mots viennent de la géométrie : un carré de côté 5 cm a une aire de 5² = 25 cm², un cube d’arête 2 cm a un volume de 2³ = 8 cm³. Le programme de 2020 demande d’ailleurs de connaître les carrés parfaits de 1 à 144, c’est-à-dire de 1² à 12².
Au-delà du cube, le principe ne change pas : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Les résultats grandissent très vite, et c’est justement pour cela que les puissances servent à écrire des ordres de grandeur.
Et aa ou a² pour multiplier a par soy mesme ; Et a³, pour le multiplier encore vne fois par a, et ainsi à l’infini.
René Descartes, La Géométrie, livre premier (1637)
Descartes écrit encore aa à côté de a² : la notation à exposant est née comme une abréviation du produit, exactement le sens que tu lui donnes en classe.
📝 Exposant 1, exposant 0 et exposants négatifs
Pour tout nombre a, a¹ = a. Si a est un réel non nul, on pose a⁰ = 1 et, pour tout entier naturel n, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Une puissance d’exposant négatif est donc l’inverse de la puissance d’exposant positif correspondante :
2⁻³ = 1/2³ = 1/(2 × 2 × 2) = 1/8 = 0,125,10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01,(1/2)⁻³ = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
La ressource Éduscol consacrée aux puissances justifie ces conventions en divisant par 10 à chaque étape : 10³ = 1 000, 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 1/10, 10⁻² = 1/100. Chaque fois que l’exposant baisse de 1, la valeur est divisée par la base. La condition a ≠ 0 reste indispensable, puisqu’on ne divise jamais par zéro.
Quelles sont les propriétés des puissances ? 📐
Pour deux nombres a et b non nuls et deux entiers relatifs n et p, cinq règles simplifient un produit, une division ou une puissance de puissance. Le tableau ci-dessous les résume, avec un exemple pour chacune.
| Propriété | Formule (a, b non nuls ; n, p entiers relatifs) | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances de même base | aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ | 3⁸ × 3² = 3¹⁰ |
| Quotient de puissances de même base | aⁿ ÷ aᵖ = aⁿ⁻ᵖ | 5⁴ ÷ 5⁶ = 5⁻² = 0,04 |
| Puissance d’une puissance | (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ (exposant n × p) | (10³)⁻⁴ = 10⁻¹² |
| Puissance d’un produit | aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ | 2⁸ × 0,5⁸ = (2 × 0,5)⁸ = 1⁸ = 1 |
| Puissance d’un quotient | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (x/3)² = x²/3² = x²/9 |
Le programme du cycle 4 en vigueur depuis 2020 le formule clairement : « La mise en acte de produits et de quotients de puissances de même base résulte de l’application de la définition plutôt que de celle d’une formule. » Le nouveau programme de 2026, lui, parle simplement de « multiplier et diviser des puissances » en 3e, sans énoncer (aⁿ)ᵖ ni (a/b)ⁿ comme des formules à part : ce sont des conséquences directes, que tu sais retrouver seul.
Côté calendrier, ce nouveau programme, publié au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026, s’applique en 5e à la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028. En 2026-2027, les élèves de 4e et de 3e suivent donc encore le programme de 2020.
🧮 Produit et quotient de puissances de même base
Multiplier deux puissances de même base revient à mettre bout à bout leurs facteurs. Dans 3⁸ × 3², tu as huit facteurs 3 d’un côté et deux de l’autre, soit dix facteurs : 3⁸ × 3² = 3¹⁰. Ils s’additionnent, même quand ils sont négatifs : 3⁻⁶ × 3² = 3⁻⁴ et 3 × 3⁻⁴ = 3¹ × 3⁻⁴ = 3⁻³.
Pour une division, les facteurs communs se simplifient : 7⁵ ÷ 7² = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) ÷ (7 × 7) = 7³ = 343. Ils se soustraient, et une valeur négative à l’arrivée n’a rien d’anormal : 5⁴ ÷ 5⁶ = 5⁻² = 1/25 = 0,04. Ce même calcul explique la puissance zéro : 5³ ÷ 5³ vaut 1, et la règle donne aussi 5³⁻³ = 5⁰.
✖️ Puissance d’un produit : aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ
Quand deux puissances ont le même exposant mais des bases différentes, on regroupe les facteurs deux par deux. 2⁸ × 0,5⁸, ce sont huit paires « 2 × 0,5 », chacune égale à 1 : 2⁸ × 0,5⁸ = (2 × 0,5)⁸ = 1⁸ = 1.
Lue dans l’autre sens, la règle sert en calcul littéral : (2x)² = 2² × x² = 4x². Avec une fraction, le même raisonnement donne (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ pour b non nul, par exemple (x/3)² = x²/3² = x²/9 ou (2/3)² = 4/9.
🔁 Puissance d’une puissance
Élever une puissance à une nouvelle puissance revient à répéter un bloc de facteurs : (2³)² = 2³ × 2³ = 2⁶ = 64. Ils se multiplient, d’où (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ, l’exposant valant n × p. Le principe tient aussi en négatif : (10³)⁻⁴ = 10⁻¹².
La ressource Éduscol sur les puissances présente cette notion comme une cinquième opération, à côté de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division.
Elle a donc sa place dans les priorités de calcul : dans 2 × 3², tu calcules d’abord 3² = 9, puis 2 × 9 = 18.
Comment utiliser les puissances de 10 et la notation scientifique ? 🔟
Les puissances de 10 permettent d’écrire les très grands et les très petits nombres sans aligner les zéros : 10ⁿ s’écrit 1 suivi de n zéros, et 10⁻ⁿ place le chiffre 1 au n-ième rang après la virgule. La notation scientifique combine cette idée avec un nombre compris entre 1 et 10.
📏 Les préfixes de nano à giga
Le programme de 2020 inscrit les préfixes de nano à giga parmi les connaissances du cycle 4. Chacun correspond à une puissance de 10, ce qui rend les conversions presque mécaniques :
- Giga (G) :
10⁹, un milliard, - Méga (M) :
10⁶, un million, - Kilo (k) :
10³, mille, - Milli (m) :
10⁻³, un millième, - Micro (µ) :
10⁻⁶, un millionième, - Nano (n) :
10⁻⁹, un milliardième.
Les volumes offrent un bel exemple de puissance d’un produit. Comme 1 dm = 10 cm, on obtient 1 dm³ = (10 cm)³ = 10³ cm³ = 1 000 cm³. Et 1 L = 1 dm³, une égalité qui faisait justement l’objet d’une question du brevet de septembre 2025.
🔬 Écrire un nombre en notation scientifique
Selon la ressource Éduscol, tout nombre décimal non nul peut s’écrire sous la forme A × 10ⁿ, où A est un nombre décimal vérifiant 1 ≤ A < 10 et n un entier relatif. Concrètement :
45 000 = 4,5 × 10⁴, la virgule recule de 4 rangs,0,003 2 = 3,2 × 10⁻³, la virgule avance de 3 rangs,8,6 × 10⁻⁴ = 0,000 86, le chemin inverse.
Ce dernier calcul vient du sujet de brevet de Métropole du 10 septembre 2025 : la question proposait 86 000, 0,000 86, −0,000 86 et 0,000 086, et le corrigé de l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP) retient 0,000 86. Retiens la leçon : un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif, il le rend plus petit que 1.
Exercice QCM du brevet de septembre 2025
points, dont une question sur l’écriture scientifique 8,6 × 10⁻⁴ (corrigé APMEP, 2025)
Quelles sont les erreurs fréquentes avec les puissances ? ⚠️
La plupart des erreurs sur les puissances viennent d’une règle appliquée hors de son domaine : ces règles valent pour des produits et des divisions, jamais pour des sommes. Repère ces quatre pièges, puis vérifie chaque réponse en recomptant les facteurs.
- Le signe moins sans parenthèses :
(−2)² = (−2) × (−2) = 4, alors que−2² = −(2 × 2) = −4, car l’exposant ne porte que sur 2, - La somme de puissances :
2³ + 2² = 8 + 4 = 12, et non2⁵ = 32, car aucune règle ne simplifieaⁿ + aᵖ, - L’exposant pris pour un facteur :
2³ = 2 × 2 × 2 = 8, pas2 × 3 = 6, - Les bases et les exposants tous différents :
2³ × 3²vaut8 × 9 = 72, car on ne regroupe que des bases identiques ou des exposants identiques.
Un doute sur une règle ? Vérifie-la avec la base 2 et de petits exposants.
2² × 2³ = 4 × 8 = 32 = 2⁵ : les exposants s’additionnent bien. La même vérification montre que 2² + 2³ = 12, qui n’est pas une puissance de 2 : une somme ne se simplifie pas.
Tout ce chapitre repose sur un seul geste : compter les facteurs. Refais les exemples du tableau sans formule, puis entraîne-toi sur les sujets de brevet. Partout en France, il est possible de trouver un accompagnement adapté : un professeur particulier de maths peut t’aider à automatiser ces calculs avant l’examen.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Pourquoi a⁰ = 1 ?
Parce que c’est la seule valeur qui garde les règles de calcul cohérentes. Pour a non nul, aⁿ ÷ aⁿ vaut 1, puisqu’un nombre divisé par lui-même donne 1. La règle de division donne aussi aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Les deux valeurs doivent coïncider, donc a⁰ = 1. La suite 10³, 10², 10¹, 10⁰ mène au même constat : on divise par 10 à chaque étape. Le cas 0⁰ n’est pas défini au collège.
💡 Comment calculer une puissance négative ?
Pour calculer une puissance d’exposant négatif, prends l’inverse de la puissance d’exposant positif : a⁻ⁿ = 1/aⁿ, avec a non nul. Ainsi 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125 et 10⁻⁴ = 1/10 000 = 0,000 1. Le signe moins de l’exposant n’annonce pas une valeur négative : avec une base positive, elle reste positive, et elle devient plus petite que 1 dès que la base dépasse 1.
🔍 Qui a inventé la notation des exposants ?
La notation moderne, avec l’exposant écrit en haut à droite de la base, vient de René Descartes, dans La Géométrie publiée en 1637 : il y note a² et a³, tout en écrivant encore aa pour le carré. D’autres mathématiciens avaient manié des exposants avant lui, comme Nicolas Chuquet dans son Triparty en la science des nombres (1484), mais c’est la convention de Descartes que tu utilises aujourd’hui.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme d’enseignement du cycle 4 : mathématiques. » Éduscol, Bulletin officiel n° 31 du 30 juillet 2020, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/programme-d-enseignement-du-cycle-4-67722.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Annexe 2 : programme de mathématiques pour le cycle 4. » Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Puissances : ressource d’accompagnement, mathématiques cycle 4. » Éduscol, mars 2016, https://eduscol.education.gouv.fr/sites/default/files/document/ra16c4mathdocmaitrepuissancesnd555942pdf-77619.pdf.
- Descartes, René. La Géométrie, livre premier. Ian Maire, Leyde, 1637, édition numérique Corpus Descartes, Université de Caen Normandie, https://www.unicaen.fr/puc/sources/prodescartes/consult/descartes/Oeuvres/Oeuvres_Descartes/discours_de_la_methode.xml/dm_geometrie_1.html.
- Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP). « Corrigé du brevet des collèges, Métropole, Antilles-Guyane, La Réunion, 10 septembre 2025. » APMEP, 2025, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_Brevet_Metro_sept_2025_DV.pdf.
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