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La Résolution d’un Problème Mathématiques Étape par Étape

De Sophie, publié le 21/06/2018 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Résoudre un Problème de Maths ?

« Est problème tout ce qui, d’une façon ou d’une autre, implique de la part du sujet la construction d’une réponse ou d’une action qui produit un certain effet. » G. Vergnaud

Développer un certain esprit mathématiques est certainement la chose la plus importante à faire lorsque l’on souhaite réussir ses leçons de maths.

Pour un problème de maths, que l’on soit élève en CM1, CM2, en terminale S ou étudiant en Maths Sup, il faut adopter cet esprit de mathématicien redouté par de nombreuses personnes.

En effet, comme le souligne cet article paru dans Sciences et Avenir, les maths font peur et pourraient même provoquer des maux de tête à ceux pour qui la discipline représente une appréhension.

Il est donc nécessaire d’envisager la matière autrement, surtout que de nombreuses solutions existent pour surmonter cette peur. Suivre des cours particuliers maths peut par exemple aider un élève à améliorer son niveau de façon durable.

D’autant plus que jusqu’à l’obtention du baccalauréat, il est difficile d’y échapper : les mathématiques font partie des savoirs fondamentaux à acquérir si l’on veut réussir sa scolarité !

Pour progresser en maths, l’une des premières choses à apprendre concerne la résolution des problèmes. En géométrie comme en algèbre, le problème apparaît en effet comme l’un des éléments les plus importants des exercices de maths.

Voici nos meilleurs conseils pour maîtriser la résolution des problèmes mathématiques.

Qu’est-ce qu’un problème en mathématiques ?

Avant même de se lancer dans la résolution d’un problème de maths, il importe de comprendre de quoi il s’agit.

Qu’est-ce qu’un problème de maths ?

Comment trouver la bonne réponse à une question à priori insoluble ? Problème de maths : si la poubelle déborde (gaz à effets de serre, pétrole, nucléaire), comment enrayer la pollution ?

Quel que soit le niveau de scolarité et la difficulté du problème à résoudre, le principe est le même.

Selon le Larousse, un problème mathématique est « une question à résoudre par un raisonnement scientifique et constituant un exercice« .

La psychologie cognitive nous renseigne davantage sur cette définition, notamment sur la perception qu’en ont les élèves de l’école primaire : un problème est une situation nouvelle, qui n’est pas clairement identifiable de prime abord, et qui demande d’atteindre un objectif.

On admet donc qu’il faut parvenir à un résultat et qu’il faut construire un raisonnement bien particulier pour parvenir à dégager une solution.

A la différence de l’exercice de maths, l’enfant n’a pas exclusivement à appliquer une règle ou un théorème pour résoudre un problème : il s’en sert, certes, mais il stimule sa capacité réflexive pour trouver la bonne réponse.

La première définition peut s’adapter selon que l’élève soit en primaire, dans l’enseignement secondaire ou dans l’enseignement supérieur :

  1. Les problèmes à l’école élémentaire : il faut considérer le problème comme étant une devinette ou une énigme à résoudre, grâce à des informations fournies. Cette étape de la scolarité est importante car il s’agit de se familiariser avec les chiffres et d’apprendre à compter. Exemple de problème pour une classe de CE2 : Il est 14 heures. Alexandre et Tom vont faire une promenade en forêt. À quelle heure rentreront-ils si l’excursion dure 1h35 ?,
  2. Les problèmes au collège : durant la première partie de l’enseignement secondaire, on découvre les équations, les fractions ou encore les pourcentages. Les problèmes se complexifient. Exemple de problème pour une classe de quatrième : Le café vert perd 6% de sa masse lors de la torréfaction. Quelle masse de café obtient-on avec 18 kg de café vert ?,
  3. Les problèmes au lycée : juste après avoir obtenu le brevet des collèges, les lycéens doivent avoir réussi à acquérir cet « esprit mathématiques ». Si en première et en terminale, on peut choisir sa filière, les problèmes en seconde générale sont les mêmes pour tous et requièrent une méthodologie rigoureuse. Exemple de problème ouvert pour une classe de seconde : Nicolas possède un fil barbelé de 75 mètres de long. Il veut clôturer son jardin avec ce fil. Ce jardin doit être rectangulaire. Il veut aussi qu’il soit le plus grand possible c’est-à-dire qu’il puisse planter le plus de salades possible, par exemple. Comment doit-il faire?

Le niveau de complexité diffère évidemment dans les différents cycles de la scolarité, et répondent à une gradation continue. Néanmoins, on retrouve à chaque fois un énoncé, des indices et une question à laquelle il faut répondre.

Si l’élève n’a pas la « bosse des mathématiques », qu’il a plutôt un profil littéraire, faire des exercices pour résoudre les problème ne va pas forcément de soi.

Si les maths constituent la « bête noire » d’un élève, il importe d’impliquer celui-ci dans son apprentissage. Pour y parvenir, une astuce peut être d’envisager le problème comme une enquête policière qu’il faudrait résoudre avec les preuves dont on dispose !

Un dimanche de pluie par exemple, jouer aux jeux de logique tels que Sherlock Holmes et se prendre pour un détective privé pour développer son esprit cartésien, son sens du raisonnement tout en s’amusant.

Bien qu’enseigner les maths demande au professeur de la pédagogie, il n’y a que l’élève qui puisse se construire la compréhension des maths pour lui-même.

Ne jamais paniquer : si l’on bute sur des exercices pour savoir comment résoudre un problème arithmétique, des inéquations ou même des opérations simples – addition, soustraction ou multiplier des nombres entiers -, c’est que le déclic ne s’est pas encore produit.

En cela, il faut inciter l’apprenant à s’exercer, pratiquer plutôt que le juger.

Les maths, lorsqu’elles sont comprises, paraissent d’une simplicité enfantine. Pourtant, face à un problème nouveau, on se sent comme devant un mur infranchissable.

Toujours garder à l’esprit qu’à chaque problème, existe une solution et surtout, un ou plusieurs chemins pour le résoudre.

Que faire pour mieux résoudre les problèmes en maths ?

Le professeur de mathématiques ne soumettra jamais un exercice de maths qui ne correspondrait pas aux nouveaux programmes ni à ses cours.

Chaque enseignant procède ainsi : il dispense tout d’abord un cours de maths sur une notion précise des programmes scolaires, puis il incite son élève à s’entraîner sur des exercices de mathématiques (notamment avec des problèmes à résoudre) et évalue enfin la compréhension de la leçon.

Faire des jeux pour progresser en maths, avec les chiffres. Pour développer son esprit logique, un entraînement phare : le sudoku !

Éventuellement, le cours à domicile peut être ponctué par un contrôle de maths (qui peut lui aussi contenir des problèmes).

Cette logique mathématicienne est quasiment immuable.

Les leçons de mathématiques sont la première chose à prendre en compte lorsque l’on veut s’entraîner : avant même de s’attaquer à la résolution du problème, il faut donc s’assurer de la parfaite maîtrise de la leçon à laquelle il est lié.

Pour connaître et réviser ses cours particuliers maths sur le bout des doigts, voici quelques conseils :

  • Ecouter attentivement le prof pendant toute la durée du cours,
  • Ne pas hésiter à poser des questions pour chaque notion mal comprise,
  • Relire les cours de maths à la fin de la journée ou durant le weekend,
  • Apprendre par cœur les définitions importantes (comme le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les tables de multiplication, etc.),
  • Faire des fiches de révision sur chaque notion abordée (calcul mental, nombres décimaux, fonction affine et logarithmique, etc.).

Si l’on souhaite compléter son apprentissage ou que l’on exprime quelques difficultés pour suivre, une solution efficace consiste à prendre des cours particuliers de mathématiques avec un professeur à domicile.

Son approche personnalisée et sa pédagogie permettront de progresser à votre rythme.

Lorsque j’étais au collège, j’avais des difficultés en mathématiques, surtout pour résoudre des problèmes. Quelques cours avec un ami de la famille et professeur de mathématiques titulaire de l’Education Nationale, m’ont permis de progresser et d’améliorer mes résultats scolaires.

Si l’on ne connaît aucun enseignant dans son réseau, on trouve 71 469 de nos professeurs de maths inscrits sur la plateforme numérique Superprof : réviser ensemble sera d’une aide féconde pour pouvoir ensuite trouver la bonne réponse seul.

Enfin, résoudre les problèmes de maths implique inéluctablement le développement du raisonnement logique.

Pour ce faire, de multiples techniques permettent de développer son sens logique et ce, à tout âge de la vie : par exemple, manger sainement, bien dormir, faire des exercices de mémorisation, stimuler le cerveau avec de nouvelles compétences (musique, dessin, peinture, apprendre une langue, etc.).

C’est certes un processus de long terme, mais des résultats significatifs pourraient apparaître même après quelques mois de cours privés.

Problèmes de maths : bien lire l’énoncé !

Face au problème de mathématiques auquel l’élève sera confronté, une priorité s’impose à tous les cours et exercices de mathématiques : bien lire l’énoncé.

Pour réussir en mathématiques, il faut comprendre l'exercice. Nous sommes six personnes. Chacun reçoit une demi-pomme jusqu’à épuisement du stock de fruits. Combien, après distribution, ont eu une pomme en entier ?

En effet, une seule incompréhension ou omission d’un élément important du problème impactera forcément le résultat final, et l’on risque d’apporter une réponse fausse.

La compréhension de l’énoncé est donc l’élément central de l’exercice, c’est la clé de voûte de la réussite. Ne pas se précipiter et procéder par étapes :

  • Soigner son environnement de travail, en veillant à avoir un bureau rangé avec tout le matériel nécessaire à portée de main (équerre, règle, calculatrice, cahier, crayons, calculette…),
  • Relire plusieurs fois l’énoncé afin d’être sûr de n’avoir rien oublié,
  • Faire un schéma ou un dessin qui résume le problème pour se le représenter mentalement,
  • Noter au brouillon les éléments déjà connus, renseignés dans l’énoncé,
  • Résumer avec ses propres mots ce qu’il faut chercher à résoudre.

Ces étapes sont cruciales et ne doivent pas être négligées. Dès les classe de CP CE1, 6ème et 5ème, il faudra mettre ces conseils en pratique.

Un entrainement régulier permet de transformer un problème en un exercice basique à réaliser de manière automatique, ce qui fera avoir une bonne note à chaque contrôle, et fera devenir meilleur en maths !

Dans un problème de maths, les mots ont tous une importance, aucun d’entre-eux n’est là par hasard.

Ainsi, pour se faciliter la tâche – et accélérer le processus de compréhension du problème -, les élèves ayant une mémoire visuelle peuvent souligner ou entourer les mots-clés en usant d’un code couleur différent pour chaque type de mots : par exemple rouge pour les valeurs, vert pour les personnes, noir pour les mesures, etc.

On n’y pense pas souvent, mais de nombreux problèmes portent sur les questions monétaires ou financières, la mesure ou la différence (plus ou moins, autant, etc.). Il faut donc que l’élève ait aussi la connaissance du champ lexical afférent au problème.

Or les mots « coûts », « budget », « prix unitaire », « remise » ne vont pas nécessairement de soi pour un enfant inscrit en CE2 CM1 CM2.

Faire des maths induit donc également d’étendre le périmètre de son vocabulaire français !

Comment résoudre un problème sur la différence de stature entre deux individus (« Paul mesure 5 centimètres de plus que Jacques mais fait 10 centimètres de moins que Julien qui lui, mesure 1,85 mètres. Quelle est la taille de Jacques ?« , par exemple) si l’enfant méconnaît la soustraction ou la notion de centimètres et de mètres ?

Notre conseil numéro un pour la compréhension d’un énoncé est de consulter un dictionnaire, afin d’aller voir les définitions des mots inconnus.

Résoudre un problème de maths : quels indices ?

L’énoncé du problème de mathématiques est truffé d’indices, c’est comme une enquête policière. Comme le ferait un inspecteur pour résoudre une affaire, il faut être capable de traiter correctement ces informations et de les assembler.

Quels sont les indices de mon énoncé ? Chercher les éléments d’interprétation d’un problème : comme observer dans une longue-vue !

Cette logique des maths peut paraître compliquée à adopter pour certains. Dans ce cas, des cours de maths à domicile et beaucoup de motivation représentent d’excellentes solutions pour progresser.

Pour apprendre à rechercher des indices, prenons l’exemple de ce problème de maths de troisième, en lien avec les équations :

Lorsque Laura est née, sa mère était âgée de 30 ans et son frère avait 4 ans.
Aujourd’hui, ensemble, Laura, son frère et sa mère totalisent un siècle (100 ans).

  1. Si on appelle x l’âge de Laura, exprimer l’âge de son frère et de sa mère en fonction de x.
  2. Quel est l’âge de Laura ?

Après avoir relu plusieurs fois l’énoncé, on peut d’ores-et-déjà noter les éléments connus.

On sait que la mère avait 30 ans quand Laura est née, et que son frère a 4 ans de plus qu’elle. Aussi, la somme de leurs âges (à tous les trois) équivaut à 100 ans.

Ensuite, comme il s’agit d’une équation, il faut déterminer l’inconnue :

  • L’inconnue est X = l’âge de Laura,
  • L’âge de la mère est égal à X+30,
  • L’âge de son frère est égal à X+4.

Ce problème peut paraître simple pour ceux qui préparent le bac ES spé maths ou qui sont étudiants en dans le supérieur, mais la logique est la même pour tous les problèmes.

Faire plusieurs hypothèses au brouillon

Dès lors que l’on a disposé tous ses indices sur son brouillon, il va falloir les mettre en pratique.

C’est à ce moment précis que les cours de mathématiques du professeur de lycée ou du prof particulier vont être particulièrement utiles !

Préalablement il faudra se munir d’une calculatrice (ou d’une équerre s’il s’agit d’un problème en lien avec la géométrie) et tester de nombreuses hypothèses.

Cette étape fondamentale requiert beaucoup de rigueur et de concentration.

Ne pas hésiter non plus à se remémorer les exercices réalisés antérieurement. Ils ont sûrement quelques caractéristiques communes avec celui que l’on doit résoudre.

C’est ici que l’on mettra en pratique l’apprentissage des mathématiques et que l’on travaillera les automatismes nécessaires à tout enseignement des maths.

De cette manière, l’élève va également développer sa capacité de raisonnement, sa mémorisation et plus généralement ses capacités cognitives.

Faire un problème de maths : vérifier ses résultats !

Alors, verdict ? Est-on certain que le résultat du problème est juste ?

L'économie, un domaine qui se prête bien aux problèmes mathématiques. Sur une facture de 5 250 € avec 20,6 % de TVA, Jacques fait 10 % de remise à Paul : combien doit-il payer en billets de 50 € ?

Puisqu’une erreur peut vite se glisser entre deux calculs, voici un autre conseil de Superprof : prendre le temps, de façon systématique, d’effectuer les calculs une deuxième fois, voire une troisième fois.

Il importe en effet de vérifier que la solution trouvée soit cohérente et vraisemblable : si une bouteille d’eau contient 2 litres lorsqu’elle est pleine, que l’énoncé mentionne qu’il n’en reste que 100 cl et que l’on trouve que le volume ayant été bu est de 1,5 litres, il faut revoir le calcul puisque ce résultat est clairement impossible.

Dit comme cela, ça paraît évident.

Pourtant croyez-moi, il n’est pas rare que les copies d’élèves ou du baccalauréat contiennent des inepties et des énormités.

Avant d’écrire la réponse définitivement sur la copie d’examen, du contrôle ou du cahier d’exercices de maths, il peut être bon de la reformuler une première fois au brouillon.

En effet, une réponse en mathématiques n’est pas uniquement composée de chiffres !

Lorsque l’on explique un théorème ou que l’on apporte la solution à un problème, il faut aussi rédiger sa démonstration, afin de prouver au correcteur sa bonne compréhension.

D’ailleurs, c’est aussi ça faire des maths : on détaille les étapes successives de tout calcul afin de prouver au lecteur que l’on peut comprendre les maths. Par surcroît, cela peut donner des points, même si le résultats final est faux.

Construire donc une phrase cohérente et éviter les fautes d’orthographe, qui peuvent être pénalisantes, surtout lorsqu’il y en a à chaque ligne. Et oui, même un prof de maths peut être agacé par un surplus de fautes lexicales et grammaticales !

Durant la scolarité, on évoque souvent la transversalité des matières. Cet exemple est particulièrement parlant : comment, en effet, expliquer le raisonnement nécessaire pour résoudre un problème de maths si l’élève a aussi des lacunes en compréhension de textes et en orthographe ?

Pour revenir à notre problème d’équation, quel est alors l’âge de Laura ?

Si chaque élève travaille régulièrement, il parviendra à trouver la bonne réponse : Laura a 22 ans, sa mère 52 et son frère 26 !

Et oui, on doit aussi réviser les équations et l’algèbre. Voici le calcul et la démonstration :

  • X + (X+30) + (X+4) = 100,
  • 3X + 34 = 100,
  • 3X = 66,
  • X = 22,
  • Laure a donc 22 ans, sa mère 52 ans et son frère, âgé de 4 ans de plus a donc 26 ans.

Grâce à une bonne méthodologie, le problème n’en est plus un !

Quelques exemples de problèmes mathématiques

L’utilisation des objets connectés – smartphone, tablette, ordinateur – est de plus en plus répandue et l’équipement s’acquiert de plus en plus tôt chez les jeunes.

De fait, il n’est pas rare que les collégiens aient déjà un téléphone portable dans leur poche, même en classe de sixième.

Calculer les durée, les mesures : des problèmes faciles ? 7 heures de vol en Montréal et Paris, tu es sûr ? A quelle heure on arrive si on part de 10 h à Paris ?

On peut donc trouver un moyen de faire de ce danger (placer l’œil de l’enfant trop tôt devant les écrans) un outil au service de leur développement cognitif : en faisant des exercices corrigés dès qu’on a du temps libre.

Le soir après l’école, pendant les vacances scolaires, le mercredi après-midi ou les weekends, il y a de nombreux moments durant la semaine pour faire travailler votre enfant et l’accompagner toute l’année scolaire.

Aux enfants de niveau primaire, on peut leur donner des problèmes de calculs temporels.

Par exemple, la question suivante : « Mon avion décolle de Paris à 8 heures, heure française.

Il arrivera à Bangkok le lendemain, à 2 heures du matin selon l’horaire de thaïlandaise. Sachant qu’en raison du décalage horaire, la Thaïlande est en avance de 5 heures sur la France, quelle est la durée du vol entre Paris et Bangkok ?

Ou alors : « je pars à 12h10, j’arrive à 13h45 ». Quel a été mon temps de trajet ?

En tant que prof de maths, on précisera aux enfants que l’on peut procéder selon plusieurs méthodes.

Pour estimer la durée d’un vol Paris-Bangkok en effet : soit on ajoute 5 heures à l’horaire de Paris, puis l’on calcule combien il y a d’heures de 13 heures (8+5) à 2 heures du matin pour trouver que le vol dure 13 heures au total.

Sinon, on peut aussi calculer le temps total du voyage, soit 18 heures (entre 8h du matin et 2h), valeur à laquelle on retranche 5 pour le décalage horaire…

Faire des problèmes de maths en ligne

Pour comprendre les maths, compléter ses cours particuliers, étayer ses cours de lycée (ou les trois à la fois), on peut également s’entraîner en ligne.

Progresser en mathématiques : les problèmes, les bases d'une bonne scolarité. Moi qui ignorais que les cours de soutien scolaire en maths m’amèneraient au métier de programmeur informatique…

Par exemple, l’université de Lyon 1 a mis à disposition des internautes une excellente banque de 50 problèmes de maths à réaliser pour s’entraîner en ligne, au niveau collège (4ème et 3ème).

Les mathématiques au niveau collège pourraient permettre de gagner des points cruciaux au brevet des collèges.

Il est bien entendu possible de progresser à tous niveaux sur un site de mathématiques. D’ailleurs, la plupart des sites web proposent ces exercices de l’école primaire au lycée, parfois même jusqu’à l’université.

Voici une brève sélection de sites où réviser ses maths :

A vos stylos et calculettes et n’hésitez pas à demander la correction à votre professeur particulier !

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Bertrand staicy
Invité
Bertrand staicy

Bonjour j’ai un problème de math niveau seconde
Choisir la forme qui semble la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes
A) calculer f(0)
B)Résoudre l’equation f(x)=0
C)calculer f(-1)
D)Résoudre l’equation f(x)=-1
Merci de me répondre
Bonne journée

Laady. Jo
Invité
Laady. Jo

Bonjour, moi j’ai un problème mathématique niveau prépa à un concours.
J’ai le réponse, mais je ne trouve pas la méthode :
Un tournoi d’échecs oppose 8 candidats. Si on souhaite que chaque candidat rencontre les 7 autres, combien de matchs faut-il prévoir ?

Badre
Invité
Badre

Tous les ans, la ville de Partheny organise un festival dédié aux jeux. Cette année 2600 adultes et 4150 enfants ont visité le stand des jeux de société. 72% des adultes et 40% des enfants ont joué à un jeu appelé « Colons de Catane » : quel pourcentage des visiteurs du festival a joué à ce jeu ?

Elena payet
Invité
Elena payet

On a tracé n segment de longueur 10 cm; O veut trove ou placer n point sur ce segment pour quee le carré et le triangle ainsi construit aient le meme perimetre. Exprimer le perimetre d carré en fonction de son coté equation a une inconnue il faut trouver uun calcul avec une inconnue)

Alary
Invité
Alary

J’ai un vehicule qui mesure 12m de long , il roule à 80 kmh je dois dépasser ce véhicule, je roule à 90 kmh , sachant que je dois laisser une distance de sécurité de 50 m avant et après le dépassement combien de temps pour effectuer mon dépassement et sur qu’elle distance?