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Étudier les variations d’une fonction et dresser un tableau de variation

De Simon, publié le 04/12/2017 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Dresser un Tableau de Variations ?

Comment construire un tableau de variation ? Mince, je ne me rappelle plus comment étudier les variations de f…

En classe de Terminale, le problème de l’étude de fonctions est posé tous les ans dans l’épreuve de Maths du bac ES et du bac S, et demeure parfois une des bêtes noires des élèves.

Car si ces exercices de mathématiques paraissent simples, une petite erreur de signe peut vite s’immiscer et fausser tout le résultat.

Si, dans le programme de seconde générale, on étudie comment résoudre une équation de second degré, on considère que les bases du calcul algébrique sont maîtrisées car elles ont été acquises lors de la préparation du brevet des collèges.

En classe de 2nde, en première ES et en première S, les élèves sont déjà initiés à l’étude de fonctions. Pourtant, tous les ans, au baccalauréat, des coquilles s’invitent dans les copies.

Il n’est donc pas inutile de rappeler comment dresser le tableau de variation d’une fonction.

Pour étudier les variations d’une fonction, on étudie une fonction affine, linéaire, polynôme, exponentielle, logarithme ou trigonométrique.

L’étude de fonction à partir de son équation – fonction affine, fonction linéaire, fonction asymptotique, fonction logarithme, fonction exponentielle – consiste à déterminer son sens de variation et ses limites à partir de sa dérivation (son intervalle de fluctuation), à chercher son extremum, à trouver ses asymptotes si elles existent, à tracer sa représentation graphique, puis à dresser le tableau de variation.

Etudier les variations d’une fonction est donc un sujet de maths qui revient très fréquemment dans les épreuves de mathématiques du baccalauréat, ainsi qu’à l’université dans les examens de licence (MASS, AES, etc.).

Dans cet article, la rédaction présente la méthode générale pour étudier les variations d’une fonction f définie sur un intervalle I, dresser son tableau de variations et ensuite, faire sa représentation graphique.

Cela servira évidemment aussi pour les cours de maths que les élèves peuvent prendre auprès de nos professeurs particuliers sur Superprof, ainsi que pour mieux réviser avec les annales bac.

Prenons l’exemple de la fonction f(x) définie sur et donnée par :

f(x) = x3 + 3x2 -9x +6.

Sait-on déjà dériver la fonction, calculer le discriminant, dresser un tableau de signe d’une fonction dérivée, résoudre une inéquation, tracer des courbes sur un graphique sans confondre abscisse et ordonnée ?

Voici la marche à suivre.

Dériver une somme de fonctions avec constante

Pour savoir comment faire un tableau de variation, il faut préalablement pouvoir dériver la fonction à partir de l’équation donnée par l’énoncé.

Trouver les limites et le signe d'une équation Bloqué après la dérivation ? Pensez à remplacer les valeurs de x par des chiffres arbitraires…

Les dérivées des fonctions puissances, inverses et racines se calculent avec la formule suivante : si f(x) = xn+a, alors f ‘(x) = nxn-1+a.

Pour aider nos lecteurs, voici un très bon rappel du tableau des dérivées.

On s’explique :

Si f(x) = x²+1, alors on note sa dérivée f ‘ (x) = 2x +0, soit 2x.

Prenons l’exemple de f(x) = 10x²+5x +2 : on obtient f ‘ (x) = 10*2x2-1+5, soit f ‘ (x) = 20x +5 : la dérivée d’une constante est nulle.

On calcule chaque dérivée avec puissances de cette manière, donc si f(x) = x3, alors f ‘ (x) = 3x².

Notre fonction f (x3 + 3x2 -9x +6) est une fonction polynôme formée par la somme de 3 termes de la forme « axn » (a et n étant des entiers naturels) et d’une constante (le nombre 6).

La dérivée de « axn » est de la forme « anxn-1« , or la dérivée d’une constante est nulle.

La dérivée de f(x) est : f ‘(x) = 3x2 +6x -9.

Dériver une fonction avec un produit

Cela devient un peu plus compliqué lorsqu’une fonction se présente sous la forme d’un produit ou d’un quotient. Par exemple, f(x) = (2x+1) (x²-2).

Pour s’aider, voici une chaîne Youtube très pédagogique faite par un professeur de mathématiques :

En mathématiques, on note un produit de deux facteurs par u et v, soit ici, u = (2x+1) et v = (x²-2).

Pour dériver, on doit se souvenir des formules suivantes : (uv)’ = u’v + uv’.

Il est recommander d’écrire au brouillon chaque expression de u, u’, v et v’ :

  • u = 2x+1,
  • u’ = 2,
  • v = x²-2,
  • v’ = 2x.

L’on peut maintenant procéder à l’opération pour calculer la dérivée de f :

  • f ‘ (x) = u’v + uv’ = 2 (x²-2) + 2x (2x+1),
  • f ‘ (x) = 2x² – 4 + 4x² + 2x,
  • f ‘ (x) = 6x² + 2x – 4.

Factoriser si possible la dérivée de f

Le but de cette étape est de factoriser la dérivée de la fonction f(x) afin de l’exprimer sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions.

La factorisation est une étape clé qu’il ne faut pas oublier parce qu’elle facilite énormément l’étude du signe de f'(x).

Étudier le signe d'une fonction : bête noire de bien des élèves... Factoriser une expression va faciliter l’étude du sens de variation.

Et oui la factorisation, c’est comme résoudre une énigme mathématiques en cours de maths.

Nous remarquons que dans notre fonction initiale (f(x) = x3 + 3x2 -9x +6), l’on peut prendre 3 en facteur ce qui donne : f'(x) = 3(x2 +2x -3).

x2 +2x -3 est un trinôme de second dégré de la forme ax2 +bx +c avec a, b et c qui sont des nombres réels.

Pour factoriser ce trinôme il faut tout d’abord calculer le discriminant et trouver les racines x1 et x2.

Le discriminant, noté Δ = b2 -4ac = 22 -4×1×(-3) = 4 +12 = 16.

Le théorème du discriminant : si le discriminant est inférieur à 0, alors on admet qu’il n’y a pas de solution à l’équation. Si le résultat est nul, alors x = -b/2a.

Si en revanche, Δ est positif, alors l’équation admet deux solutions distinctes telles que x1 = (-b + √Δ)/2a et x2 = ( -b – √Δ)/2a.

On peut alors calculer les racines via les deux formules suivantes :

x1= (-2 – 4)/ 2 = -3

x2= (-2 + 4)/ 2 = 1

Notons que si le discriminant est positif (et alors les deux racines existent), le trinôme peut être écrit sous la forme factorisée (x- x1) (x- x2), ce qui donne x2 +2x -3 = (x-(-3)) (x-1) = (x+3) (x-1).

La dérivée de la fonction s’écrit donc sous la forme factorisée suivante :

f'(x) = 3(x+3)(x-1)

Etudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I

3 est un nombre positif donc le signe de la dérivée f'(x) est identique au signe de (x+3)(x-1).

On sait que si f'(x) est supérieure ou égale 0, alors la la fonction f est croissante sur I. A l’inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I.

Trouver les racines pour trouver le sens de la fonction. Alors ? f(x) est croissante ou décroissante sur l’intervalle de départ ?

Pour connaître le signe de f’, il suffit simplement de savoir quand f'(x) s’annule, or on sait construire le tableau de signe d’une fonction de type ax + b.

f ‘(x) = 3x2 +6x -9 = 3(x+3)(x-1).

x+3 = 0 –> x=-3 et x-1=0 –> x=1.

Résolvons les inéquations suivantes :

x + 3 > 0 => x > -3 donc le binôme x+3 est positif lorsque x est supérieur à -3, nul lorsque x est égal à -3 et négatif lorsque x est inférieur à -3.

x – 1 > 0 => x > 1 donc le binôme x-1 est positif lorsque x est supérieur à 1, nul lorsque x est égal à 1 et négatif lorsque x est inférieur à 1.

Le tableau de signes de la dérivée f'(x) est présenté ci-dessous :

x– ∞                                 -3                                     1+∞
x + 3                 –                         0               +                                           +
x – 1                 –                                             –                   0                     +
f'(x)               +                         0                 –                   0                     +

f'(x) est donc croissante pour tout x défini sur l’intervalle ]-∞; -3], décroissante sur [-3 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[.

Notons que nous aurions pu déterminer le signe du trinôme x2 +2x -3 en utilisant une autre méthode.

En effet, quand le discriminant est positif, le trinôme ax²+bx+c prend le signe contraire de a dans l’intervalle compris entre les deux racines x1 et x2 et le même signe que a ailleurs.

Dresser le tableau de variation de f sur I

f étant dérivable sur I, pour toute valeur de x incluse dans I :

– si f'(x) > 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement croissante sur I.

– si f'(x) < 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement décroissante sur I.

Le tableau de variation de f est la représentation schématique des directions que prend la courbe représentative d’une fonction.

Pour s’entraîner avant le prochain cours de maths, placer les flèches sur le tableau ci-dessous.

Le tableau de variations de f est donné par :

x-∞                                           -3                                       1+∞
f(x)                                                   33                                                                                +∞

 

-∞                                                                                        1

On rappelle ici la fonction initiale : f(x) = x3 + 3x2 -9x +6. En remplaçant la valeur de x par -3 et par 1, on obtient f(-3) = 33 et f(1) = 1.

Calculons les limites de la fonction.

On dit que que  tend vers l’infini (noté  lorsque pour tout x suffisamment grand,  est aussi grand que l’on veut.

On note alors : lim (x+∞) f(x) = +∞.

D’après le tableau de variations de f, on constate que la fonction possède un maximum au point A (-3;33) et un minimum au point B (1;1).

Tracer la fonction sur son intervalle de définition

Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers :

xf (x)
-51
-228
-117
06
5161

Et voici notre fameuse courbe :

Comment dresser un tableau de variation ? Apprendre les mathématiques avec les fonctions ! La variation d’une fonction.

Les maths et l’art sont souvent liés, seulement une courbe mathématique, c’est tout sauf de l’art.

Faire bien attention à placer correctement les repères sur la courbe.

Liens pour s’entrainer aux épreuves de mathématiques :

Le tableau de variation d’une fonction sert à repérer facilement les asymptotes. Il s’acquiert généralement par l’étude du signe de la dérivée.

Étudier les directions d'une parabole inversée... Petit exercice : comment faire le tableau de variation de l’équation y = – x² ?

En cours de mathématiques, les élèves travaillent aussi des tableaux, avec leur prof de maths, qui ne représentent pas toute la fonction mais seulement une partie.

C’est le cas lorsqu’elle se répète à l’infini. Ces fonctions-là, sont dites périodiques.

Résoudre des problèmes en mathématiques, est passionnant quand on sait les faire. Inversement, c’est un véritable calvaire lorsque l’on a pas eu le déclic.

Pour l’avoir – le déclic – il n’y a qu’une solution : il faut s’entraîner, s’entraîner encore, reprendre tous les exercices corrigés, et les refaire inlassablement, jusqu’à avoir une bonne compréhension des choses.

Interrogation surprise !

  1. Soit la fonction f(x) = 2x3+5x2-4x + 1, définie sur [-100 ; 100],
  2. Dériver f(x),
  3. Étudier le sens de variation de la fonction dérivée,
  4. f(x) est-elle croissante sur [-100 ; -50] ?
  5. Dresser un tableau de variation de la fonction,
  6. Tracer la représentation graphique de la fonction f.
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SV
Invité
SV

Je l’aimais beaucoup ce cours

einstein
Invité
einstein

J’ai beaucoup apprécié ce cours !

Malki
Invité
Malki

Merci bien le cours est bien complet. Sinon, un cours des valeurs approchées ?

Juliette
Invité
Juliette

Quelle est la méthode pour dresser un tableau de variation d’une fonction exponentielle ? Faut-il déterminer les racines ou bien les limites ?

mark
Invité
mark

cela dépend de ton intervalle mais ce sont souvent les limites qui sont demandées

Hervé
Invité
Hervé

Bonsoir,
J’ai pu me remémorer les sens de variation d’une fonction que j’avais oubliés.
Merci.

Mbabi baka
Invité
Mbabi baka

Le cours était parfait