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Qu’est-ce que la divine proportion en mathématiques ?

De Alexia, publié le 14/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Tout Savoir sur le Nombre d’Or en Maths !

« Tout nombre illuminé possède son ombre d’or. » Nabil Alami

Le nombre d’or, aussi appelé section dorée, proportion dorée ou divine proportion est une proportion définit comme le seul rapport a/b entre deux longueurs a et b. Le rapport de la somme a + des deux longueurs sur la plus grande (a) est égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) : (a + b)/a = a/b.

Il est aussi désigné par la lettre grecque φ (phi).

C’est un nombre irrationnel, unique solution de l’équation x2 = x + 1. Il vaut environ 1,6180339887.

Un million d’élèves prennent des cours particuliers chaque année, dont une grande partie en mathématiques.

Souvent vu comme difficiles, les mathématiques peuvent être ludiques et recèlent de mystères fascinants.

Attaquons-nous à la proportion dorée.

L’histoire du nombre d’or

D'où vient le nombre d'or ? La construction des pyramides implique l’utilisation de la section dorée.

Les origines du nombre d’or

La pyramide de Khéops (2600 avant JC) est pour nombre de scientifiques l’origine du nombre d’or.

Le nombre d’or est très ancien et était utilisé dans un premier temps en géométrie, vraisemblablement par les pythagoriciens. Ils s’en servaient pour construire des pentagones à l’aide de triangles isocèles.

A cette époque, il n’est pas utilisé de manière arithmétique puisque les pythagoriciens pensent que tout nombre est rationnel, or la proportion dorée ne l’est pas.

Mais le premier texte mathématique évoquant réellement le nombre d’or a été rédigé par Euclide (300 avant JC). Il le définit comme suit : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. »

Cependant Platon est sans doute à l’origine de l’étude du nombre d’or comme objet d’étude à part entière.

A cette époque, ce nombre n’est pas appelé nombre d’or.

Le nombre d’or à travers le Moyen Âge

Le mathématicien Al-Khawarizmi apporte un nouveau regard sur la section dorée au VIIIème siècle en proposant plusieurs problèmes qui consistent à diviser une longueur de dix unités en deux parties.

La solution de l’un d’eux est la taille initiale divisée par le nombre d’or.

Mais c’est Fibonacci qui parle des équations du mathématicien perse en Europe, notamment à travers sa célèbre suite de Fibonacci, sans pour autant y voir un lien avec le nombre d’or.

L’irrationalité du nombre d’or est démontré par Campanus à travers la descente infinie qu’on peut voir dans la spirale d’or.

Le nombre d’or durant la Renaissance

A la Renaissance, le nombre d’or est appelé divine proportion et relève d’une intervention divine selon le livre de Pacioli, illustré par le célèbre Léonard de Vinci.

C’est aussi à cette époque que la suite de Fibonacci est mise en relation avec le nombre d’or. En divisant un terme de la suite par son terme précédent, le résultat se rapproche du nombre d’or. L’approximation est meilleure quand le terme est élevé.

Cette relation est mise en lumière par une note anonyme et le résultat est effectivement retrouvé par Johannes Kepler, qui restera fasciné par le nombre d’or toute sa vie.

La naissance d’un mythe au XIXème siècle

Il perd de son intérêt mathématique mais gagne un intérêt croissant en tant que système.

Le philosophe allemand Adolf Zeising pense que le nombre d’or peut permettre de comprendre aussi bien les domaines scientifiques qu’artistiques.

Malgré une approche scientifique douteuse, les théories de Zeising séduisent, notamment en France. Grâce au nombre d’or, il serait possible d’expliquer la beauté.

Même durant tout le XXème siècle, le nombre d’or continue de fasciner mathématiciens, artistes et architectes.

Le nombre d’or en géométrie

Comment trouver la section dorée ? On peut dessiner une proportion d’extrême et moyenne raison. (source Wikipedia)

La première définition du nombre d’or est géométrique.

Le théorème est le suivant : « Deux longueurs a et b (strictement positives) respectent la « proportion d’or » si le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a. »

A l’éclairage des travaux d’Euclide, une nouvelle définition du nombre d’or fait son apparition :

« Le nombre d’or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a/b si a et b sont deux nombres en proportion d’extrême et de moyenne raison. »

Voici la formule correspondante : φ = (1 + √5) / 2.

φ est la solution d’une équation de second degré, ce qui permet de donner une troisième définition :

« Le nombre d’or est l’unique solution de l’équation x2 – x – 1 = 0. »

Grâce à ces calculs, il est possible de dessiner une proportion d’extrême et moyenne raison en se servant d’un compas, d’une règle et d’une équerre :

  • Tracez un cercle C de rayon 1,
  • A l’extrémité du rayon 1, tracez un segment de longueur 1/2, perpendiculaire au rayon,
  • Tracez le cercle C’ de rayon 1/2 en posant la pointe du compas à l’extrémité du segment de longueur 1/2 précédemment tracé,
  • Tracez le segment depuis le centre du cercle C jusqu’à l’extrémité du cercle C’ en passant par le centre du cercle C’,
  • La longueur de ce segment vaut le nombre d’or.

A partir de ces cercles, il est possible de construire un rectangle d’or.

On peut aussi intégrer un carré de côté a − b dans le rectangle d’or de côtés b × (a − b). En ajoutant un quart de cercle dans chaque carré, on obtient une spirale, appelée spirale d’or.

Le nombre d’or peut aussi être utilisé pour la construction de pentagones et de pentagrammes et également en trigonométrie.

Le nombre d’or en arithmétique

Comment calculer la divine proportion ? Quand tu réussis à démontrer le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. (source : The Atlantic)

L’autre méthode de définition du nombre d’or est algébrique.

En algèbre, le nombre d’or est défini comme l’unique racine positive d’une équation.

En utilisant les deux approches, algébrique et géométrique, il est possible de résoudre une équation du second degré. On parle alors d’algèbre géométrique. φ2 = 1 + φ a pour solution le nombre d’or.

La proportion dorée peut également être approchée en utilisant la fraction continue à l’infini. 1 + (1/(1 + (1/1))).

La suite de Fibonacci fournit elle aussi des approximations du nombre d’or :

Et réciproquement, la formule de Binet exprime la suite de Fibonacci en fonction du nombre d’or.

La section dorée est aussi utilisée dans certaines équations diophantiennes.

L’omniprésence du nombre d’or

Vous l’aurez compris, le nombre d’or est omniprésent en mathématiques mais également tout autour de nous.

Dans la nature, la section dorée est présente à travers plusieurs éléments :

  • Les écailles d’une pomme de pin engendrent des spirales logarithmiques qui peuvent faire apparaître la suite de Fibonacci,
  • Les étamines d’un tournesol répondent au même phénomène,
  • Les cristaux de quartz se forment en schéma pentagonal, faisant intervenir le nombre d’or,
  • L’écorce d’un ananas induit une spirale ordonnée associée au nombre d’or.

Mais la phyllotaxie du tournesol et la cristallographie du quartz ne suivent pas toujours les règles du nombre d’or.

Il est donc difficile d’y voir un phénomène mystique ou divin. Peut-être est-ce simplement une coïncidence…

Qu'est-ce que la proportion dorée ? En photographie aussi, la section dorée permettrait de prendre une image parfaite. (source : Picture Perfect Photography)

La question du corps humain lié ou non au nombre d’or a été maintes fois posée, qu’elle soit d’ordre scientifique, artistique ou esthétique.

Zeising avait d’ailleurs tenté de mesurer le corps humain à l’aide du seul nombre d’or mais cette tentative a rapidement été laissée de côté. Les proportions du corps humain ainsi dessinées n’étaient pas réalistes.

De plus, les dimensions du corps humain sont en constante évolution. Les humains grandissent au fur et à mesure de l’évolution et pas forcément de manière uniforme.

Pour autant, la recherche du nombre d’or dans le corps humain n’est pas abandonnée. Aujourd’hui, les scientifiques s’attardent sur le cerveau pour espérer y découvrir un lien avec le nombre d’or. Mais cette théorie reste controversée.

La proportion dorée ne fascine pas que les scientifiques mais on la retrouve dans de nombreux domaines comme la peinture, notamment celle de la Renaissance. Rappelez-vous, à cette époque le nombre d’or était appelé divine proportion.

On le retrouve dans le tableau La Naissance de Vénus de Botticelli.

Mais parfois, ce sont des interprétations tardives et aucune volonté de la part de l’artiste comme le suggère le tableau Saint Jérôme de Léonard de Vinci dans lequel on retrouve le rectangle d’or.

L’usage du nombre d’or dans de nombreuses constructions anciennes est un sujet de controverse. Il est difficile de savoir si les constructeurs avaient conscience d’utiliser le nombre d’or ou si c’est une surinterprétation de la part des archéologues.

On peut citer plusieurs exemples, tous ne faisant pas l’unanimité :

  • Le théâtre d’Epidaure,
  • La grande pyramide de Gizeh,
  • La façade du Parthénon selon les conventions,
  • Une tour antique à Modon,
  • Le grand autel de Pergame,
  • Une stèle funéraire d’Edessa,
  • Un tombeau à Pella.

En revanche, plus récemment, l’architecte Le Corbusier théorise l’utilisation du nombre d’or et crée un système appelé Modulor qu’il utilisera dans nombre de ses constructions comme la Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

En musique aussi, le nombre d’or est recherché dans l’harmonie et le rythme. L’approximation la plus proche du nombre d’or est la sixte mineure obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 8/5 = 1,6.

Et l’on pourrait continuer encore longtemps, tant la présence du nombre d’or fascine et fait l’objet de théories plus ou moins scientifiques et vérifiées !

Connaissiez-vous la proportion dorée ? 

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