" En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. " - Eric Temple Bell (1883 -1960)

Vous vous êtes décidé(e) à prendre des cours particuliers de mathématiques pour perfectionner votre niveau ?

Les maths sont sans nul doute l'une des matières scolaires les plus demandées en cours de soutien scolaire à domicile.

La France accuse un niveau de compréhension des maths bien plus faible que dans la moyenne des autres pays du monde et de l'Union Européenne.

Selon le ministère de l'Education Nationale, le rapport PISA (Programme for International Student Assessment) de 2015 met en lumière que 23,5 % des élèves scolarisés ont une maitrise insuffisante en mathématiques.

Pour ne pas faire partie de cette moyenne des mauvais élèves, voici un rappel d'algèbre pour vous améliorer !

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Comment calculer une médiane ?

La médiane est un des thèmes principaux étudiés lors des cours de mathématiques.

Comment aborder les cours de maths en quatrième ?
La géométrie est une de mes matières préférées !

Cette particularité arithmétique vous suivra tout au long de votre scolarité entre collège et lycée.

C'est également une des notions mathématiques les moins comprise par les élèves car elle est souvent confondue avec la moyenne ou le calcul des intervalles.

Vous devrez réviser le calcul de la médiane pour vos évaluations en géométrie, en probabilités et en algèbre.

La médiane est une valeur qui permet de diviser une série statistique en deux parties égales, de façon à ce que l'on puisse ordonner les données de la plus petite valeur à la plus grande.

En outre, la médiane est la valeur centrale qui divise en deux une série de données.

Pour calculer la médiane, il s'agit donc de "ranger" les valeurs de l'échantillon (la population observée) dans l'ordre croissant.

Dans la liste ordonnée, il y a donc 50 % de valeurs inférieures à la médiane, et 50 % de valeurs supérieures à cette même médiane.

Le théorème est le suivant :

  • Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de la série,
  • Si le groupe contient une valeur paire, la médiane est alors la moyenne des deux valeurs centrales de la série.

Par exemple, si l'on souhaite savoir la stature médiane des 11 joueurs d'une équipe de football, on va d'abord "ranger" la taille de chaque joueur (en cm).

Supposons que l'on obtienne les résultats suivants : 168, 170, 172, 175, 177, 178, 180, 182, 183, 185, 190. Ici, la taille médiane d'un joueur de football est de 178 cm.

Si le joueur mesurant 168 cm se blesse sur le terrain et que l'effectif n'est plus que de 10 joueurs (un échantillon pair), il faudra calculer la moyenne des valeurs situées au centre de la série, soit (178 + 180)/2 = 179.

La médiane donne une représentation claire du centre de la série : dans notre exemple, 50 % des joueurs mesurent moins de 1,78 mètre et plus de la moitié des joueurs sont plus grands que 1,78 mètre.

Il peut être plus judicieux de privilégier le calcul de la médiane à celui de la moyenne lorsque les variables discrètes admettent de gros écarts de valeurs.

C'est notamment le cas pour la distribution des salaires en France : certains perçoivent moins de 10 000 € par an tandis que les plus riches déclarent plusieurs millions d'euros par an.

Du coup, le salaire moyen masquera de profondes disparités et ne représentera pas le revenu que perçoivent la plupart des actifs.

Pour calculer la médiane sur une série statistique (série discrète ou série continue, où l'on se trouve en face d'une infinité de valeurs potentielles à l'intérieur d'un intervalle), la méthode est la suivante :

  • Ordonner les valeurs de la série (en cas de variables continues),
  • Construire un tableau des effectifs cumulés croissants,
  • Trouver la médiane avec Me = moyenne entre la (N/2)ème valeur et la (N+1)/2ème valeur.

Alternativement, vous pouvez aussi dresser une courbe des fréquences cumulées croissantes, afin d'identifier graphiquement où se situe la médiane sans passer par les tableaux de calculs.

La médiane vous sera donc très utile en arithmétique mais aussi en géométrie; que vous souhaitiez vous en servir en géométrie appliquée ou en géométrie dans l'espace pour fabriquer un cône en papier, des origamis ou encore réaliser des pavages réguliers.

Comment développer en maths ?

Dès le niveau collège, en classe de quatrième, le niveau en algèbre s'accroît, avec notamment la découverte du développement mathématique d'expressions algébriques.

Comment obtenir de meilleures notes en maths ?
Etudiante en fac d'économie, j'aime donner des leçons d'algèbre aux collégiens près de chez moi.

Développer une expression littérale revient à transformer un produit de facteurs (ou une simple multiplication) en une somme ou une différence de façon à simplifier les calculs.

Les écritures prennent alors la forme suivante : k x (a + b) = k x a + k x b.

Développer des expressions algébriques simplifie les opérations car on va développer, réduire et ordonner ensemble les termes de même valeur.

On pourra donc additionner les x², les x et les nombres entiers (ou réels) ensemble l'un après l'autre.

Par exemple, en prenant l'équation suivante : 10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250.

Afin de développer des expressions littérales et trouver le résultat d'une équation avec des polynômes de premier degré, on utilise deux méthodes :

  • La distributivité de la multiplication,
  • La double distributivité.

La distributivité permet de supprimer les parenthèses afin d'arriver à une écriture simplifiée, une somme ou une différence.

Selon le théorème de la distributivité, une opération constituée d'un produit de nombres et de facteurs différents se distribue sur une opération sous la forme d'une somme de facteurs si, quels que soient les nombres a, b ou c, on a : a (b + c) = (a x b) + (a x c).

Pour résoudre des équations constituées de polynômes de second degré (avec plusieurs coefficients et notamment la fonction carrée : soit f(x) = (x - 1)(2x + 3), il faut employer la méthode de la double distributivité.

D'abord, on va regrouper les termes entre eux et faire apparaître une somme de deux termes après le développement du produit.

Soit :

  • (a + b) (c − d) = ac – ad + bc − bd,
  • (a + b) (cd) = acad + bcbd,
  •  (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd,
  •  (a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd.

Le but est de trouver la forme développée de l'expression f(x) = (x - 1)(2x + 3).

Si (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd, alors on obtient :

  • f(x) = (x - 1)(2x + 3),
  • 2x + x x 3 - 1 2x + (-1 x 3),
  • 2x² + 3x - 2x - 3,
  • = 2x² + x - 3.

Il ne restera plus qu'à trouver la bonne formule selon l'équation des cours et exercices de maths, par exemple si vous avez l'énoncé suivant : "développer l'expression (3x + 1) (2x + 4).

En utilisant la formule (a + b) (cd) = acad + bcbd, la forme développée devient :

  • 3x + 1) (2x + 4) = 3x 2x + 3x 4 + 2x + 4,
  • 6x² + 12x + 2x + 4,
  • 6x + 14x + 4.

Pour simplifier les calculs et réussir vos exercices de mathématiques, il faut utiliser les égalités remarquables, ou identités remarquables.

Utiles pour résoudre des équations du second degré, on en distingue trois et doivent être apprises par cœur :

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²,
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²,
  • (a + b) (a - b) = a² - b².

Il ne vous reste plus qu'à appliquer les formules et à remplacer les termes pour trouver vos résultats !

Avant de vous lancer dans la résolution d'équation pensez à réviser vos bases comme les fractions, les divisions euclidiennes et le calcul de quotient.

Comment factoriser en maths ?

A l'inverse du développement mathématique, factoriser une expression littérale revient à transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs.

Comment prendre des cours particuliers de maths analytiques ?
Depuis que j'ai compris les bases de l'arithmétique, les calculs ne me résistent plus !

C'est l'une des opérations les plus utiles en maths, notamment en calcul mental, en géométrie et en algèbre.

Il s'agit de multiplier un facteur commun par les autres variables de l'équation.

Alors, comment factoriser en mathématiques ?

La factorisation implique de rechercher un facteur commun à isoler de l'expression.

Par exemple, on va rechercher le facteur permettant de multiplier le premier terme par le deuxième : 2x + 10 par exemple, est égal à x + 2 x 5, soit 2(x+5).

On va effectuer une sorte de gymnastique mentale afin de repérer le multiplicateur ou le diviseur (facteur) commun.

Deux méthodes permettent de factoriser en maths :

  • La distributivité,
  • Les identités remarquables.

Prenons l'exemple de l'équation 4x² = 64. Trouver le résultat de f(x) = 0 implique que 4x² - 64 = 0.

Ici, on remarque que 4 est un multiple de 2, et que 64 est un multiple de 8.

On pourra donc factoriser l'expression avec (fx) = (2x - 8) (2x + 8).

Cette forme factorisée correspond à l'une des trois identités remarquables a² - b² = (a+b) (a-b).

Pour aller plus loin, vous serez amené(e) à traiter des expressions avec plusieurs facteurs communs, par exemple (4x - 1) (x + 6) - (2x - 5) (x + 6).

Ici, le facteur en commun est (x+6). On a donc :

  • (x+6) [(4x - 1) - (2x - 5)],
  • = (x + 6) (4x - 1 - 2x - 6),
  • = (x + 6) (2x - 6).

Comment résoudre l'équation f(x) = 0 ?

On utilise la méthode de la double distributivité pour vérifier que soit (x + 6) = 0, soit (2x - 6) = 0.

Du coup, f(x) admet deux solutions : x1 = -6 et x2 = 3.

Pensez à toujours vérifier vos résultats afin de ne pas se retrouver avec une équation complètement dépourvue de sens, par exemple "le résultat de x pour (x + 1) = 0 est 10".

Au lycée et dès la classe de seconde, les élèves abordent les fonctions, le calcul littéral et les factorisations des racines carrées et des polynômes de second degré, de type f(x) = ax2 + bx + c.

Apprendre à étudier et faire des conjectures mathématiques fait partie du socle commun des cours d'algèbre dans le secondaire.

Si ils rencontrent des difficultés dès cette première année de lycée il peut être judicieux de prendre des cours particuliers de maths pour pallier d'éventuels échecs.

Comment écrire un algorithme en maths ?

Les collégiens ne le savent pas, mais les cours de maths au collège leur font acquérir les bases mathématiques de l'algorithmique.

Quelles sont les matières à favoriser pour devenir développeur web ?
Être bon en maths m'a permis de faire des études en informatique. J'espère devenir programmeur !

En cours de maths, ils sont sensibilisés aux notions de variables, testent des hypothèses et s'habituent à faire des exercices qu'ils doivent répéter en boucle jusqu'à acquérir le bon résultat.

Or c'est à peu près la définition d'un algorithme !

Un algorithme représente une suite d'instructions ordonnées ayant pour objectif de trouver un résultat final sur la base d'informations connues.

Le but de l'écriture d'un algorithme est de créer des variables à répéter en boucle jusqu'à trouver un résultat.

Pour ce faire, le mathématicien emploie un langage naturel, sa langue maternelle (ou l'anglais en programmation informatique) pour donner des instructions compréhensibles par l'exécutant.

Ensuite, ces instructions sont traduites en un langage machine interprété par le robot : c'est le langage de programmation (C, C++, PHP, Java, Javascript, Python, HTML ou CSS, etc.), qui permet d'exécuter le programme.

Créer des algorithmes est bien plus simple puisque les langages utilisés en algorithmiques sont appelés "pseudo-code" : ils se trouvent à mi-chemin entre le langage humain et le code de programmation.

Saviez-vous que cuisiner à partir d'une recette, traverser la rue ou bien apprendre un morceau de musique équivaut à exécuter un algorithme ?

C'est le cerveau qui, en effet, commande la répétition d'opérations étape par étape jusqu'à ce qu'il parvienne à son objectif : par exemple, la variable "regarder à gauche", puis "vérifier à droite", "traverser s'il n'y a pas d'obstacle", rejoindre le trottoir d'en face.

Pour écrire un algorithme, il faut donc définir des variables. Celles-ci prennent trois formes différentes :

  • Les variables numériques (un nombre),
  • Les variables textuelles (une chaîne de caractères),
  • Les variables de type "booléen" : avec une valeur "vrai" ou "faux".

Un algorithme répond à un processus binaire (0 ou 1) avec des événements de probabilité (si "...", alors "...", sinon "...") à vérifier selon les instructions données.

Créer un algorithme requiert donc de la logique et de l'organisation !

Les hypothèses vont changer au cours du traitement de l'algorithme : les variables sont donc amenées à fluctuer.

Pensez à préciser si les variables numériques sont des nombres complexes, réels ou entiers : les algorithmes stockent l'information dans une sorte de boite, mais sont incapables de lire les nombres décimaux.

Afin d'agir sur les variables en cours de mathématiques au niveau Terminale, votre prof vous apprendra à manier ce qu'on appelle des opérateurs :

  • Les signes +, -, x, ÷ et le signe de puissance (pour les variables numériques),
  • Les signes & ou + (pour concaténer deux chaînes) pour les chaînes de caractères,
  • Les items "et", "ou" et "non" (variables booléens).

Les collégiens pourront utiliser les outils suivants :

  • Algoblocs,
  • Géotortue,
  • Robotprog,
  • Scratch.

Au niveau lycée, les solutions pour débuter en algorithmique sont les suivantes :

  • Algobox,
  • BlocksCAD,
  • Beetle Blocks,
  • Python,
  • Scilab,
  • Xcas.

Faire des maths, c'est comme écrire un algorithme : vous manierez des boucles itératives (répéter plusieurs fois) et conditionnelles (pour tester les variables) pour trouver le résultat.

Cet article vous paraît encore abstrait ? Ne vous en faites pas !

Superprof saura dénicher le prof idéal pour vous donner des cours de mathématiques et vous prodiguer l'accompagnement personnalisé dont VOUS avez besoin !

Aide aux devoirs, exercices corrigés, soutien dans vos révisions, il existe sans nul doute le prof de math qui saura rendre cette matière ludique et intéressante grâce à des modules de cours interactifs adaptés à chaque élève.

Sortez votre calculatrice, vos fiches de cours  et révélez le matheux qui sommeille en vous !

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Caroline