«  Une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d’être utiles, dans une situation où personne ne pouvait savoir dans quels domaines elles deviendraient utiles. Il n’y avait aucune indication générale qu’elles deviendraient utiles. C’est vrai de toute la science.  », John Von Neumann

Avez-vous déjà entendu parler de pavage du plan ? Qu’il s’agisse du carrelage, du revêtement d’une ruelle ou des dessins de Maurits Cornelis Escher, il est courant d’appeler pavage tout ensemble de pavés, tuiles ou transformations géométriques présentant des propriétés topologiques, géométriques ou cristallographiques.

Mais aussi simple et ludique que ce plan de symétrie puisse paraître, il y a beaucoup de choses à savoir pour réussir ce fameux dessin géométrique. Superprof vous explique tout pour que vous soyez incollable comme un mathématicien. L’occasion de réviser le programme de géométrie de cinquième.

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Qu’est-ce qu’un pavage en mathématiques ?

Sans le penser, vous voyez des pavages très fréquemment dans votre vie quotidienne. Carrelage de salle de bain, pavés dans les ruelles, vitraux d’église… sont autant d’exemples d’assemblage de formes géométriques symétriques.

Qu'est qu'un pavage en mathématiques ?
Par définition, « o n appelle pavage d’un espace euclidien E, toute partition de E en pavés isométriques deux à deux. Lorsque E est de dimension n, un pavage est dit périodique s’il est globalement invariant par n translations de vecteurs non colinéaires  ».

En effet, il s’agit d’un nombre défini de figures géométriques qui s’emboîtent à la perfection en répétant un même motif à l’infini sans jamais se superposer. C’est en fait une partition du plan euclidien.

Différentes formes géométriques telles que les polygones convexes, les carrés, les rectangles, les hexagones, les parallélogrammes, les triangles ou encore les pentagones peuvent être utilisés.

Il est bon de savoir qu’en cristallographie (science qui étudie les cristaux à l’échelle atomique) on distingue différents types de pavage du plan.

On peut donc classifier les pavages selon certains critères.

Les pavages réguliers formés de polygones réguliers convexes identiques, car un polygone régulier permet un recouvrement sans chevauchement. Dans ce cas, utilisez un triangle équilatéral (en géométrie euclidienne, il désigne le triangle dont les trois côtés sont égaux) un carré ou un rectangle.

Les pavages semi-réguliers comptent seulement huit circonstances possibles, tous composés d’au moins deux polygones réguliers convexes différents.

Les transformations géométriques font appel à l’imagination.

On parle d’isométrie quand les carreaux, pavés ou tuiles sont identiques. La notion d’isométrie poussera à conférer une distance et une orientation au plan. On parle alors d’espace euclidien et de produit scalaire.

L’isométrie du plan, c’est-à-dire l’orientation des éléments de symétrie, peut-être une translation, une symétrie centrale, une rotation, une symétrie axiale ou une symétrie glissée.

Cela donne au total dix-sept types de pavage :

  • Parallélogramme asymétrique,
  • Parallélogramme symétrique,
  • Hexagonal 3-rotatif,
  • Carré 4-rotatif,
  • Hexagonal 6-rotatif,
  • Rectangulaire glissant,
  • Rectangulaire biglissant,
  • Rectangulaire monosymétrique,
  • Rhombique monosymétrique,
  • Rectangulaire glissant symétrique,
  • Rectangulaire bisymétrique,
  • Rhombique bisymétrique,
  • Carré 4-rotatif glissant,
  • Hexagonal tri-symétrique,
  • Hexagonal 3-rotatif symétrique,
  • Carré totalement symétrique,
  • Hexagonal totalement symétrique.

On parle également de pavage périodique quand l’ensemble des éléments géométriques est composé de quadrilatères.

Enfin, il est possible de paver l’espace avec des prismes de Kepler. Il existe seulement cinq types de pavage de l’espace ne comprenant qu’un seul polyèdre.

Maintenant que vous savez comment fonctionne le pavage, voyons comment en réaliser un.

«  Nous entendons souvent dire que les mathématiques consistent à “prouver des théorèmes”. Le travail d’un écrivain serait-il “d’écrire des phrases”  ? L’œuvre d’un mathématicien est surtout un enchevêtrement de conjectures, d’analogies, de souhaits et de frustrations  ; la démonstration, loin d’être le noyau de la découverte, n’est souvent que le moyen de s’assurer que notre esprit ne nous joue pas des tours.  », Gian Carlo Rota

Comment faire un pavage géométrique ?

Vous l’aurez compris les pavages sont utilisés dans divers domaines, de l’architecture à l’art en passant par la nature, ils sont omniprésents et pas seulement dans les cours de maths.

Comment réaliser un pavage en géométrie ?
En réalisant des pavages pour pourrez observer des régularités à l’aide de figures géométriques, reconnaître des transformations géométriques de type rotation ou réflexion, anticiper les effets d’une transformation sur une forme.

Pour construire une figure de type pavage, vous aurez besoin de deux feuilles de papier, de crayons de couleur ou de feutres et d’une paire de ciseaux.

En premier temps, choisissez votre élément géométrique. Vous pourrez tracer un polygone, un losange, un trapèze ou une forme triangulaire sur un quadrillage, puis découper le. Vous allez voir pas besoin d’algorithmique pour réaliser votre premier pavage. Cet exercice de géométrie est accessible à tout le monde.

Maintenant que vous avez votre motif de base, vous allez pouvoir vous en servir en venant le placer sur la feuille de papier [qui vous sert d’espace géométrique déterminé] et répéter des formes régulières.

Repérer les axes de symétrie et reporter votre tracé géométrique sur toute la feuille de papier.

Voilà vos lignes géométriques donnent un pavage ! C’est bien la redondance d’une même figure géométrique sans superposition qui assène ce rendu.

Maintenant que vous avez compris le concept en action sans utiliser le théorème de Thalès ni le théorème de Pythagore, vous pouvez vous amuser à essayer différents types de pavages.

Réaliser des figures variées pour vous entraîner. Employez un quadrilatère, un pentagone ou un octaèdre pour diversifier vos réalisations.

Vous verrez, cela est très amusant et vous permet de réaliser des exercices de mathématiques de manière très ludique.

Si vous souhaitez maîtriser le pavage et les axes de symétrie, regardez cette vidéo par Thomaths :

Nous vous donnons quelques exemples des polyèdres réguliers plus connus utilisant une forme géométrique différente.

Les plus célèbres pavages

Lors de vos exercices de maths, vous verrez qu’il existe une multitude de pavages très connus.

Qu'est ce que le pavage du caire ?
Pavage de Penrose, pavage du Caire, ruche, dallages sont autant d’exemples de pavage !

Très ressemblant aux cristaux, le pavage de Penrose est une des frises géométriques les plus connues. Le Palais de la Découverte explique en vidéo comment, avec des figures simples, réaliser ce pavage à base de pentagones, losanges, pentagrammes et des portions de pentagramme, mais aussi de quadrilatères.

Pour une démonstration de géométrie parfaite, le pavage du Caire est un excellent exemple. Ce pavage du plan euclidien est constitué de pentagones irréguliers placés selon un axe de symétrie.

On le retrouve dans les rues du Caire en Égypte, d’où son nom. Pour la petite description géométrique, ses pentagones consécutifs ont deux côtés de même longueur et un plus court.

Voici quelques exemples complémentaires :

  • Les pavages de l’abbaye royale de Nieul sur l’Autise,
  • Les pavages de l’église romane de Gargilesse,
  • Un pavage de la plage de Royan en forme de coquille Saint-Jacques,
  • Les mosaïques de l’Alhambra de Grenade,
  • Les pavages du château de Blois,
  • Les dallages les églises romanes,
  • Et bien d’autres !

Vous êtes prêt à dessiner des figures géométriques à l’intersection parfaite ? Utiliser votre imagination pour tracer des figures, mais garder à l’esprit que la réussite réside dans un centre de symétrie parfait.

Quelques exemples de pavages simples à réaliser

Si vous êtes en quête d’inspiration pour vos pavages, le net regorge d’idées et de tutoriels.

Quels pavages peut-on réaliser en maths ?
Plus que des mathématiques, le pavage donne un véritablement enseignement artistique. Amusez-vous à retrouver des formes géométriques et comprendre leur agencement dans une façade, une ruelle, un tableau !

Voici quelques exemples pour vous entraîner.

Dans un esprit très ludique, cette vidéo explique comment réaliser un pavage à l’aide d’une enveloppe ! Un poisson et un lapin à produire. De quoi occuper vos enfants !

Ici, réalisez un pavage en croix en commençant votre construction sur une feuille quadrillée. Un des plus simples à réaliser, il reste toutefois un des meilleurs exercices de maths. Il vous donnera des bases pour vous lancer dans de nouvelles réalisations.

Et les deux tutoriels suivants vous enseigneront comment réaliser un pavage avec un logiciel informatique. Il est vrai que le pavage n’est pas exclusivement réservé à un support physique.

D’ailleurs, l’information facilite la répétition de la forme, car il existe des manières de l’automatiser.

Le premier vous montrera comment transformer la forme initiale du rectangle et de décliner à l’infini des figures planes.

Le deuxième aide étape par étape à la construction d’un pavage avec rotation. Là aussi, vous vous rendrez compte que les possibilités sont infinies et que votre inventivité vous ouvrira le champ de belles créations.

Vous savez maintenant tout sur le pavage, du cours de géométrie à son application dans la vie quotidienne en passant par sa réalisation.

Pas besoin d’être mathématicien pour se lancer !

Vous n’avez plus qu’à vous essayer en commençant avec des figures simples. Figures planes, rotations, triangles équilatéraux, compas, triangle rectangle, équation, angles, laissez-vous porter par votre imagination. La pratique du pavage fera autant travailler votre intellect que votre sens inventif. De la famille des mathématiques, il est aussi apparenté aux loisirs créatifs et on comprend pourquoi ! Les possibilités sont infinies. Toutefois, si vous souhaitez, vous pourrez prendre un cours de remise à niveau en maths pour vous remémorer les notions de base. Il est vrai que pour certains la trigonométrie, Thalès et Pythagore sont loin !

Amusez-vous bien !

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Chloé