«  Tant que les lois mathématiques renvoient à la réalité, elles ne sont pas absolues, et tant qu’elles sont absolues, elles ne renvoient pas à la réalité.  », Albert Einstein

Au programme de seconde, les intervalles vous permettront de vous intéresser à une partie déterminée de nombres algébriques.

Nombres entiers naturels, entiers relatifs et nombres rationnels, c’est là que les intervalles vous aideront à déterminer un ensemble des coordonnées, un ensemble limité ou encore un ensemble continu.

Superprof vous rafraîchit la mémoire sur cette notion fondamentale et ses propriétés réelles. Vous verrez, pas la peine de connaître Pythagore ni de théorème particulier. Les intervalles font appel à votre sens logique.

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Qu’est qu’un intervalle ?

Petit rappel de vos cours de math de seconde : on parle d’un intervalle pour désigner un ensemble, c’est-à-dire tous les éléments compris entre deux valeurs et donc compris dans l’intervalle.

Qu’est qu’un intervalle ?
On parle souvent d’un phénomène périodique, c’est-à-dire qui se répète de manière déterminée. Les intervalles pourront vous servir pour déterminer l’écart entre chaque phénomène !

Admettons un ensemble des réels R, ou si vous préférez une droite graduée de chiffres réels.

On appelle intervalle l’ensemble des nombres réels compris entre deux réels positifs ou réels négatifs a et b, ou de la même façon l’ensemble des points de la droite dont la marque est entre a et b.

Prenons pour exemple l’intervalle [4 ; 6]. Il désigne l’ensemble des réels x tels que 4 ≤ x et x ≤ 6.

Sont donc compris dans l’intervalle les nombres positifs 4, 5 et 6, x étant plus grand que 4 et plus petit ou égal à 6.

On distingue plusieurs types d’intervalles que nous détaillerons un peu plus loin :

  • L’intervalle borné ou intervalle fermé,
  • L’intervalle ouvert,
  • L’intersection entre deux intervalles ou plus,
  • La réunion d’intervalles.

Voyons maintenant comment un mathématicien applique les intervalles avec des nombres positifs et négatifs d’un ensemble défini, des chiffres après la virgule et différents ensembles.

Comment écrire sous forme d’intervalle ?

Les bornes de l’intervalle sont mentionnées avec des crochets. On distingue les intervalles ouverts ] a ; b [ , les intervalles fermés [a ; b] et les intervalles semi-ouverts [a ; b [ et ] a ; b].

Comment écrire sous forme d’intervalle ?
Ensemble convexe, ensemble fini, ensemble dénombrable, tous sont concernés par le calcul des intervalles.

Pour écrire les bornes, il faut suivre un ordre mathématique : l’ordre croissant, c’est-à-dire d’abord la borne inférieure puis la borne supérieure. Il ne faut jamais écrire de manière décroissante, car cela serait illogique.

Quand les crochets sont fermés, cela signifie que chaque borne appartient à l’intervalle. Quand les crochets sont ouverts, cela signifie que les bornes n’appartiennent pas à l’intervalle.

En revanche, il ne faut pas confondre les intervalles avec les ensembles de nombres qui s’écrivent en utilisant les accolades.

Par exemple, voici l’ensemble des nombres entiers {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Il comprend donc tous les chiffres de 0 à 9 inclus.

Pour désigner des ensembles abstraits, il faut les écrire sous la forme de lettres. Cette notation est emprunté au calcul littéral.

Quand vous calculer des intervalles, vous retrouverez fréquemment ceux que nous vous avons référencés ici :

  • N désigne l’ensemble des entiers naturels,
  • Z désigne l’ensemble des entiers relatifs,
  • D désigne l’ensemble des nombres décimaux,
  • Q désigne l’ensemble des nombres rationnels (c’est-à-dire les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de quotient de deux nombres entiers relatifs)
  • R désigne l’ensemble des réels,
  • I désigne l’intersection de deux ensembles,
  • U désigne l’union de deux intervalles.

Vous rencontrerez également des signes mathématiques pour désigner deux ensembles de nombres réels et leur interaction.

Cela paraît un peu compliqué et abstrait au premier abord, mais vous verrez avec de la pratique les intervalles sont très simples à utiliser. Elles sont la retranscription arithmétique d’un énoncé.

Elles permettent grâce à un schéma de départ sous forme de cercle, droite graduée de visualiser une donnée mathématique. Et grâce au schéma vous pourrez très rapidement visualiser comment interagissent plusieurs intervalles ensemble.

Répétez les exercices pour assimiler correctement tous les éléments et caractères utilisés pour écrire des intervalles. C'est ainsi que vous pourrez gagner du temps et calculer beaucoup plus vite.

Pour finir sur l’écriture des intervalles, voici un tableau récapitulatif des signes utilisés pour les exprimer :

Signes mathématiquesSignifications
Appartient
N’appartient pas
Ensemble infini
Intersection
Union
Pas égal à
Inférieur ou égal
Supérieur ou égal
< Strictement inférieur
> Strictement plus grand

Maintenant que vous êtes incollable sur la retranscription des intervalles tels les grands mathématiciens, grâce à un ensemble d’exemples, voici comment ces symboles mathématiques sont utilisés pour écrire un intervalle.

«  D’ordinaire, une vie s’inscrit entre deux nombres qui délimitent le parcours terrestre, l’entrée et la sortie, à charge de celui-là, l’évoqué mathématique, de résoudre cette équation pleine d’inconnu que pose l’entre-deux.  », Jean Rouaud

Comment résoudre un intervalle ?

Voyons maintenant comment résoudre un intervalle. Ne vous inquiétez pas, il suffit de bien lire l’énoncé et de poser un schéma pour visualiser ce qui contient un ensemble, ce qui fait parti de l’ensemble ou ce qui en est exclus.

Attention toutefois, regardez bien le sens des crochets. Ils sont déterminants pour bien savoir si la borne appartient ou non à l’intervalle.

Comment résoudre une intervalle ?
Prêt à vous lancer dans le calcul des intervalles ?

Si vous avez bien compris comment lire les signes mathématiques, vous pourrez distinguer les intervalles suivants :

Intervalles bornés

Il contient les bornes de l’intervalle, soit les points qui le bornent. On peut le noter de différentes manières en admettant deux réels a et b tels que x est l’ensemble des réels tels que :

  • [a ; b] = a ≤ x ≤ b,
  • [a ; b] = a ≤ x < b,
  • ] a ; b] = a < x ≤ b,
  • ] a ; b [= a < x < b.

Quand les crochets sont fermés, x est supérieur ou égal à a et inférieur au égal à b. Si les crochets sont ouverts, x est strictement supérieur à a et strictement inférieur à b.

Vous voyez, il existe un ensemble des définitions possible.

Intervalles non bornés

Soient a et b différents nombres :

  • [a ; ∞[= x ≥ a,
  • ] a ; ∞[= x > a,
  • ] - ∞ ; b] = x ≤ b,
  • ] - ∞ ; b [= x < b.

On parle d'intervalle non borné quand une des bornes est l'infini. On ne sait pas où commence ou où finit l'intervalle.

L’interaction des intervalles

L’intersection des intervalles [a ; b] et [c ; d] est l’ensemble x des réels compris à la fois dans [a ; b] et [c ; d]. On note alors l’intersection par le signe arrondi « inter » ∩.

Soit a, b, c et d quatre nombres entiers positifs tels que l’intersection I entre ces deux intervalles se note de deux façons équivalentes :

I=[a ; b] ∩ [c ; d] ou I=[c ; d] ∩ [a ; b]

Par exemple :

2 ∈[0 ; 5] ∩[2 ; 6] car 2 ∈[0 ; 5] et 2 [2 ; 6]

Pour déterminer l’intersection de deux intervalles, l’idéal est de représenter un ensemble sur une droite réelle. Ainsi, vous verrez directement comment se place chaque élément et ce qui est commutatif, c’est-à-dire les éléments qui forment un ensemble.

Réunion d’intervalles

Il s’agit de l’ensemble des nombres réels x qui est soit dans l’intervalle [a ; b] soit dans l’intervalle [c ; d].

L’union se note avec le signe ∪.

Soit a, b, c et d quatre nombres imaginaires tels que l’union U entre ces deux intervalles se note :

U=[a ; b] ∪ [c ; d] ou U=[c ; d] ∪ [a ; b]

Par exemple :

2 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] car 2 ∈[0 ; 5]

3,8 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] car 3,8 ∈[0 ; 6]

Pour déterminer l’intersection de deux intervalles, on représente les deux intervalles sur un axe gradué et on repère l’ensemble de chiffres du premier intervalle plus l’ ensemble des nombres du deuxième intervalle.

Inéquations

Pour cette possibilité il faut retenir que l’ensemble solution d’une inéquation est toujours un intervalle ou un ensemble vide.

Une inéquation d’inconnu x est une expression de la forme :

A (x) ≤ B(x) ou A(x)<B(x)

où x est une variable inconnue.

Résoudre l’inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est satisfaite : l’ensemble de ces réels x est alors appelé ensemble des solutions de l’inéquation.

On dit que deux inéquations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions.

Voici les transformations possibles sur les inéquations pour les transformer en inéquation équivalente :

  • Ajouter ou soustraire un même nombre non nul aux deux membres,
  • Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif non nul,
  • Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre négatif non nul,
  • Développer, factoriser ou réduire les membres.

Inégalités

Pour les inégalités, il y a trois règles à connaître. La première est que l'on peut ajouter ou soustraire un même nombre à chaque membre d’une inégalité : si a≤b, alors a+c≤b+c.

La deuxième est que l'on peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens : si a≤b et c≤d, alors a+c≤b+d.

Et enfin la troisième est que l'on peut multiplier ou diviser chaque membre d’une inégalité par un même nombre non nul, à condition de changer le sens de l’inégalité si ce nombre est négatif.

Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel x est la distance entre le point O et le point M d’abscisse x sur une droite graduée.

Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment ?
Comment calculer l’union d’intervalles ou les intersections ? Vous devez avoir toutes les réponses grâce à notre article.

Retenez que la distance entre deux réels a et b est la distance des points A d’abscisse a et B d’abscisse b sur une droite graduée.

Nous espérons que cet article vous aura fait réviser les grandes notions propres aux intervalles. Comme vous l’aurez compris, en mathématiques on utilise des nombres réels allant de -∞ à +∞. La plupart du temps on aimerait s’intéresser qu’à une partie de ces nombres. C’est que les intervalles rentrent en jeu pour déterminer les chiffres appartenant à l’ensemble ou à contrario ceux qui en sont exclus.

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