"Les mathématiques consistent à prouver une chose évident par des moyens complexes." - Georges Polyà

Dès la classe de 4ème, les collégiens sont confrontés à la factorisation, un thème central des cours de mathématiques qui permet de calculer plus facilement une somme ou une soustraction, ainsi que la résolution de certaines équations.

A la rentrée 2020, le système scolaire français comptait 5 699 000 élèves inscrits dans le second degré, dont 3 432 900 au collège.

Or les apprenants souffrent parfois de difficultés pour factoriser des expressions littérales et simplifier le calcul.

Dans cet article, on révise avec vous les différentes méthodes pour factoriser une expression algébrique !

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Introduction : qu'est-ce que la factorisation ?

Factoriser une expression littérale revient à la transformer en un produit de deux ou plusieurs facteurs.

Quelles sont les bases à avoir dans les matières générales au collège ?
Un prof de mathématiques sait donner vie aux chiffres !

Cela sert à simplifier l'expression afin de rendre les calculs plus faciles à exécuter.

En calcul mental, par exemple, il est courant d'effectuer une factorisation en regroupant les termes semblables : d'un côté, le cerveau repère les facteurs communs, puis effectue la somme de deux termes de même nature.

Prenons l'exemple d'une opération simple telle que 200 x 25 + 425 x 25.

Pour trouver le résultat, on simplifie les calculs littéraux comme suit :

  • 200 x 25 + 425 x 25,
  • = 25 x (200+425),
  • = 25 x 625,
  • = 15 625.

25 sera donc ici le facteur ou dénominateur commun à ces multiplications.

Il ne reste plus qu'à additionner les deux autres termes et  appliquer un facteur commun, ici 25, pour parvenir à la résolution de l'équation

Supposons encore que l'on souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre deux cercles, l'un de 25 cm de rayon et l'autre de 15 cm de rayon.

Pour réussir ces calculs algébriques, on cherchera la différence des aires de chacun de ces deux cercles : A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²).

(π x 25²) - (π x 15²) revient à calculer d'abord chacun des deux produits au carré, puis à les multiplier par une valeur approchée de π (3,14), pour enfin effectuer la soustraction entre les deux aires.

Soit : A = π x (25² - 15²).

Grâce aux identités remarquables, on sait que la différences entre deux carrés prend la forme suivante :

  • a² - b² = (a - b) (a + b),
  • A = π (25 - 15) x (25 + 15),
  • = π x 10 x 40,
  • = π x 400, soit 400 π.

Si π prend une valeur approchée de 3,14, alors l'aire comprise entre les deux cercles de l'exemple est de 400 π, soit environ 1 256 cm².

Par ailleurs, factoriser des expressions algébriques en produit de facteurs est très utilisé pour résoudre des équations du premier degré.

Comment factoriser une expression littérale ?

Comme à chaque fois en maths lorsque vous souhaitez résoudre des calculs, développer des opérations ou transformer un produit, vous devez avant tout connaître les règles d'algèbre à appliquer.

Comment apprendre à poser une équation ?
Le plus difficile dans les maths, c'est de ne pas perdre le fil dans nos calculs !

Pour parvenir à factoriser une expression en un produit de facteurs, il faut d'abord chercher si l'on peut isoler un facteur commun.

Par exemple on va chercher le terme commun qui permet de multiplier le premier terme par la deuxième expression : 4x+20 par exemple, est égal à 2 x (2x + 10).

Factoriser implique donc d'avoir l'œil pour repérer les produits communs et décomposer l'expression.

Ainsi, pour factoriser en cours de maths, on va utiliser deux méthodes :

  • La distributivité,
  • Une identité remarquable.

Si l'on souhaite connaître le résultat de l'équation f(x) = 0, on sait qu'un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

Si f(x) = 0 peut s'écrire sous la forme y(x) x (g(x) = 0, il suffira de trouver une condition pour que y(x) = 0 ou pour que g(x) = 0.

Encore un autre exemple.

Imaginons que dans une évaluation de fin de trimestre, vous deviez résoudre l'équation algébrique suivante : 4x² = 64.

Résoudre l'équation de tête n'est pas aisé. Au mieux on remplacera chaque x par 1, 2, puis par x=3, x=n jusqu'à trouver la valeur de x pour 4x² = 64.

Mais si l'on transforme l'équation pour qu'elle ait un produit commun, alors elle sera beaucoup plus aisée à résoudre.

4x²=64 équivaut à 4x² - 64 = 0.

Ici, l'expression algébrique f(x) est 4x² - 64. Si f(x) est égal à 0, alors la soustraction de 4x² - 64 est nulle.

On remarque que f(x) possède une différence remarquable : une soustraction entre deux carrés.

D'où la possibilité de factoriser, avec (2x - 8) (2x + 8) = 0.

Pour rendre l'égalité vraie, il suffit alors que 2x - 8 = 0 ou 2x + 8 = 0.

Or 2x - 8 = 0 a pour solution 8/2, soit 4 et 2x + 8 a pour solution -4. L'équation 4x² = 64 a donc deux solutions : [-4 ; 4].

Attention : il faut être prudent dans la résolution des équations de second degré ou de premier degré, à la règle des signes. Après simplification, le passage d'un terme positif de l'autre côté du signe égal le fait devenir négatif et inversement.

Il faut également faire attention et mettre des parenthèses dans l'écriture des polynômes.

Supprimer les parenthèses reviendrait à ne plus appliquer les priorités opératoires.

Enfin, il faut toujours vérifier ses résultats afin de voir, empiriquement, si le raisonnement mathématique ne vous a pas induit en erreur.

Il peut être vexant de perdre bêtement des points à l'épreuve de maths du baccalauréat en raison d'une inversion des signes. Si on trouve, par exemple, que x = 2 pour 2x + 4 = 0

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La factorisation de plusieurs facteurs communs

Lorsque le facteur commun se compose d'un seul terme, l'opération est relativement simple.

Comment déterminer un facteur commun en algèbre ?
Pour bien comprendre l'arithmétique il est important de multiplier les exercices.

Mais que se passe-t-il lorsque le facteur commun est constitué de deux termes ?

Voici un petit exercice de factorisation :

Repérer le facteur commun, puis factoriser l'expression suivante : (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3).

L'expression prend la forme (ax + ...) + (ax + ...).

Ici, le facteur commun est (x + 3), avec deux termes. Pour factoriser, on va développer et réduire l'expression en utilisant le même procédé que pour un seul terme (2x + 4 = x(x+2)), mais il faudra insérer des crochets entre les parenthèses afin de bien isoler les termes sans se tromper.

Voici le résultat :

  • Le facteur commun est (x + 3),
  • On utilise la méthode de la distributivité en étant vigilant sur la règle des signes,
  • A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3),
  • A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)],
  • A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5),
  • A = (x + 3) (– 2x + 4).

Pour que A soit égal à 0, il faut que (x + 3) = 0 ou (-2x + 4) = 0.

On a donc deux solutions : x = -3 ou x = 2.

Factoriser avec les identités remarquables

On utilise la factorisation avec les identités remarquables lorsque l'on ne peut repérer aucun facteur commun dans l'expression littérale.

Les identités remarquables sont utilisées pour le développement mathématique d'expressions numériques.

Mais on les utilise également à l'envers pour factoriser.

Or on ne peut pas toujours trouver de diviseur commun. C'est là qu'une identité remarquable entre en scène.

Il y en a trois, à apprendre par cœur :

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²,
  • (a-b)² = a² - 2ab + b²,
  • (a+b) (a-b) = a² - b².

Très utiles pour résoudre des équations du second degré, les produits remarquables sont un des thèmes centraux des programmes scolaires en maths dès le niveau collège (en 4ème et en classe de troisième).

La première identité revient à écrire que le carré d'une somme de deux termes est égal au carré du premier plus le double produit du premier par le second plus le carré du second.

La seconde précise que le carré d'une différence de deux termes est égal au carré du premier moins le double produit du premier par le second plus le carré du second. Et enfin, la dernière veut que le produit de la somme de deux termes par leur différence est égal au carré du premier moins le carré du second.

Exemple :

Comment factoriser l'expression a² + 6a + 9 ?

Réponse : a² + 6a + 9 = a² + 2a  x 3 + 3², d'où a² + 6a + 9 = (a+3)².

Comment factoriser x² - 81 ?

On va chercher une valeur de x pour laquelle le carré vaut 81 : x = 9.

D'où, en utilisant l'identité remarquable n°3, la factorisation suivante : x² - 81 = (x + 9) (x - 9).

Grâce à la factorisation, vous saurez résoudre une équation avec des nombres entiers, des nombres relatifs, des fractions et de multiples racines carrées.

Nous allons voir, pour compliquer la tâche, comment factoriser un polynôme du second degré.

Cours de maths : factoriser un polynôme du second degré

La factorisation d'un polynôme de second degré fait irruption dans les exercices de maths des élèves en classe de première générale ou de terminale technologique.

Quels sont les outils à disposition pour nous aider en maths ?
Ma calculatrice est devenue ma meilleure amie en cours de mathématiques !

Factoriser dans ce cas, revient à récrire l'expression de calcul littéral sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.

Soit a, b et c, trois nombres réels avec a ≠ 0, et ∆ le discriminant du polynôme ax2 + bx + c.

La propriété mathématique est la suivante : si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax² + bx + c, alors il peut être factorisé sous la forme a (x-x1) (x-x2).

Si x0 est la seule racine d'un polynôme du second degré ax² + bx + c, alors on peut factoriser sous la forme a (x-x0)².

Comme la multiplication (ou le produit) de a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0), on considère alors que x0 est une racine double.

On en déduit le théorème suivant :

  • Si ∆ = 0, le polynôme ax2 + bx + c a une unique racine double réelle notée x(0) = - (b/2a) et, pour tout x réel, ax2 + bx + c = a (x - x0)².
  • Si ∆ < 0, le polynôme ax2 + bx + c ne peut pas être factorisé dans ℝ,
  • Si ∆ > 0, le polynôme ax2 + bx + c admet alors 2 racines réelles distinctes, notées (x1) = (-b - √∆)/2a et (x2) = (-b + √∆)/2a et, pour tout réel, ax² + bx + c a (x-x1) (x-x2).

Si c = 0, alors la forme factorisée de l'expression ax² + bx + c devient x (ax + b).

Vous pourrez très bien suivre des cours de mathématiques en ligne afin de perfectionner vos connaissances, faire des exercices de factorisation, et mieux comprendre vos cours de lycée pour éviter les pièges ou encore vous familiariser avec chaque cas particulier.

Pour aller plus loin dans les cours de maths à domicile ou grâce aux cours de mathématiques en ligne, apprenez également à factoriser des fractions et à faire apparaitre la factorisation sur votre calculatrice !

La factorisation permet enfin de d'écrire un programme de calcul dans un algorithme, de regrouper les termes afin de trouver plus facilement un résultat, à condition de ne pas se tromper avec les nombres entre parenthèses !

Si vous vous sentez perdu(e) face au calcul numérique, la décomposition ou encore les opérations algébriques, n'hésitez pas à prendre des cours de calcul avec un prof particulier !

Superprof saura vous aider à apprendre à résoudre un inéquation, utiliser la formule adéquate ou encore à comprendre un tableau de signe ou la notion de factoring.

Grâce à des séries d'exercices corrigés, vous pourrez passer au crible vos erreurs et révéler le mathématicien qui sommeille en vous !

Il est temps de mettre en évidence vos talents de manière remarquable, de réécrire cette partie de l'équation à votre avantage et d'inverser la tendance !

Alors, prêt(e) à devenir un super calculateur ?

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Caroline