Le calcul de la racine carrée d'un nombre est l'une des opérations fondamentales en mathématiques, et elle revient régulièrement dès la 3e dans les exercices :
De géométrie
D'algèbre
De trigonométrie
Le symbole √ (le radical) cache pourtant une logique très simple : trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le résultat d'origine. Ce qui rend la notion vraiment intéressante, c'est la distinction entre les racines carrées entières (les plus utiles à retenir) et les racines irrationnelles comme √2 ou √3, qui ne tombent jamais juste.
Cette page couvre chaque définition de la racine carrée, les propriétés essentielles, ainsi que les formules de racine carrée, les valeurs à connaître par cœur, et les techniques pour simplifier ou comparer des radicaux.
Et si besoin, en plus d'apprendre comment calculer une racine carrée ou encore à simplifier une racine carrée, voici le programme de maths de 3e !
Définition et propriétés de la racine carrée 📐
🔢 Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
Soit a un nombre réel positif ou nul. La racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif ou nul b tel que b² = a. Le symbole √ s'appelle le radical. Il a été popularisé en Europe par le mathématicien Christoph Rudolff au XVIe siècle, avant d'être adopté de façon universelle.
La racine carrée de 25 est 5, parce que 5² = 25. La racine carrée de 144 est 12, parce que 12² = 144. La racine carrée de 361 est 19, parce que 19² = 361. L'opération est l'inverse de l'élévation au carré. Deux valeurs particulières méritent d'être mémorisées immédiatement : √0 = 0 et √1 = 1.
📋 Les deux propriétés fondamentales
Deux règles structurent toute la théorie des racines carrées et reviennent constamment dans les exercices de 3e :
Propriété 1
La racine carrée d'un nombre est toujours positive
Par définition, √a ≥ 0 pour tout réel a ≥ 0. Même si 5 et -5 vérifient tous les deux x² = 25, seul 5 est la racine carrée de 25. L'autre valeur (-5) est parfois appelée la racine carrée négative, mais ce n'est pas ce que désigne le symbole √.
Propriété 2
Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée
Il est impossible de trouver un nombre réel b tel que b² = -4, car tout carré est positif ou nul. L'expression √(-4) n'est donc pas définie dans l'ensemble des réels. (Elle l'est en revanche dans les complexes, mais cela reste hors programme avant le lycée.)
🧮 La propriété fondamentale : √(a²) = a
Pour tout réel a ≥ 0, on a la relation fondamentale suivante :
√(a²) = a
La racine carrée de a² est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a². Comme a ≥ 0, ce nombre est bien a lui-même. Quelques applications directes : √9 = √(3²) = 3, √16 = √(4²) = 4, √361 = √(19²) = 19. Et dans l'autre sens : (√a)² = a, ce qui signifie que le carré de la racine redonne toujours le nombre de départ.
Si tu prends un nombre positif a, que tu l'élèves au carré, puis que tu calcules la racine carrée du résultat, tu retrouves a. En formule : √(a²) = a. Inversement, (√a)² = a. Ce va-et-vient entre les deux opérations est la clé pour résoudre la plupart des exercices sur les radicaux.
Voici un tableau récapitulatif des propriétés à retenir :
| Propriété / Règle | Formule | Exemple numérique | Contre-exemple / Erreur fréquente |
|---|---|---|---|
| Produit de radicaux | √(a × b) = √a × √b | √75 = √25 × √3 = 5√3 | √(a + b) ≠ √a + √b (ex. : √(9+16) = 5 ≠ √9+√16 = 7) |
| Quotient de radicaux | √(a / b) = √a / √b (b ≠ 0) | √(4/9) = √4 / √9 = 2/3 | Ne s'applique pas à la somme : √(a - b) ≠ √a - √b |
| Carré de la racine | (√a)² = a (pour a ≥ 0) | (√7)² = 7 | √(a²) = |a|, pas forcément a (ex. : √((-3)²) = 3, non -3) |
| Racine d'un carré parfait | √(n²) = |n| | √49 = √(7²) = 7 | √((-5)²) = 5 (et non -5) ; toujours prendre la valeur absolue |
| Simplification par facteur carré | √(k² × m) = k√m (k > 0) | √72 = √(36×2) = 6√2 | Oublier d'extraire tous les carrés : √72 ≠ √(4×18) = 2√18 (non simplifié) |
| Addition / Soustraction de radicaux | a√n ± b√n = (a ± b)√n | 3√5 + 2√5 = 5√5 | √5 + √3 ne se simplifie pas (radicands différents) |
| Racine d'un produit de carrés | √(a² × b²) = a × b (a,b ≥ 0) | √(9 × 16) = 3 × 4 = 12 | Ne pas confondre avec √(a² + b²) qui n'a pas de forme simplifiée entière |
| Puissance et racine | √a = a^(1/2) | √25 = 25^(1/2) = 5 | a^(1/2) × b^(1/2) = (a×b)^(1/2), mais a^(1/2) + b^(1/2) ≠ (a+b)^(1/2) |
Table complète des racines carrées de 1 à 20 📊
La maîtrise des carrés parfaitsde 1 à 20 est l'un des prérequis les plus rentables pour réussir les exercices de mathématiques au collège. Ces vingt valeurs reviennent sans cesse dans :
Les problèmes de géométrie
Les équations du second degré au lycée
Les calculs de distances
Apprendre cette table, c'est gagner plusieurs minutes précieuses à chaque contrôle.
🔢 Quelle est la racine carrée de 1 à 10 ?
Les dix premières racines carrées entières sont les plus utilisées au quotidien dans les exercices de géométrie et d'algèbre :
1² = 1, donc√1 = 1,2² = 4, donc√4 = 2,3² = 9, donc√9 = 3,4² = 16, donc√16 = 4,5² = 25, donc√25 = 5,6² = 36, donc√36 = 6,7² = 49, donc√49 = 7,8² = 64, donc√64 = 8,9² = 81, donc√81 = 9,10² = 100, donc√100 = 10.
🔢 Quelle est la racine carrée de 11 à 20 ?
La suite des dix valeurs suivantes est tout aussi utile, notamment pour le calcul de diagonales et les exercices de Pythagore avec de grands nombres :
11² = 121, donc√121 = 11,12² = 144, donc√144 = 12,13² = 169, donc√169 = 13,14² = 196, donc√196 = 14,15² = 225, donc√225 = 15,16² = 256, donc√256 = 16,17² = 289, donc√289 = 17,18² = 324, donc√324 = 18,19² = 361, donc√361 = 19,20² = 400, donc√400 = 20.
Une astuce pour mémoriser rapidement : les carrés des multiples de 5 (25, 100, 225, 400) sont particulièrement faciles à retrouver. Partir de ces ancres et recalculer les valeurs voisines par déduction est bien plus efficace que d'apprendre la liste de façon linéaire. Autre repère utile : un carré parfait se termine toujours par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 en base 10. Un nombre se terminant par 2, 3, 7 ou 8 ne peut jamais être un carré parfait.
Carrés parfaits entre 1 et 400
Les 20 premiers carrés parfaits (de 1² = 1 à 20² = 400) sont ceux que tout élève de 3e gagne à connaître instantanément pour gagner du temps en calcul, notamment avec le théorème de Pythagore.
Pour t'aider, voici un tableau récapitulatif :
| n | n² (carré) | √(n²) (racine carrée) | Valeur décimale approchée |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1,000 |
| 2 | 4 | 2 | 2,000 |
| 3 | 9 | 3 | 3,000 |
| 4 | 16 | 4 | 4,000 |
| 5 | 25 | 5 | 5,000 |
| 6 | 36 | 6 | 6,000 |
| 7 | 49 | 7 | 7,000 |
| 8 | 64 | 8 | 8,000 |
| 9 | 81 | 9 | 9,000 |
| 10 | 100 | 10 | 10,000 |
| 11 | 121 | 11 | 11,000 |
| 12 | 144 | 12 | 12,000 |
| 13 | 169 | 13 | 13,000 |
| 14 | 196 | 14 | 14,000 |
| 15 | 225 | 15 | 15,000 |
| 16 | 256 | 16 | 16,000 |
| 17 | 289 | 17 | 17,000 |
| 18 | 324 | 18 | 18,000 |
| 19 | 361 | 19 | 19,000 |
| 20 | 400 | 20 | 20,000 |
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Comment calculer la racine carrée et la simplifier 🧮
Au-delà des valeurs entières, les élèves de 3e doivent aussi savoir manipuler des expressions contenant des radicaux : simplifier √72, comparer √50 et 7, ou encore utiliser les règles de calcul avec des produits et des quotients sous le radical. Voici les techniques à maîtriser.
✏️ Produit et quotient de racines carrées
Pour tous nombres positifs a et b, deux propriétés essentielles permettent de factoriser ou développer les radicaux :
√(a × b) = √a × √b
√(a / b) = √a / √b (avec b ≠ 0)
Ces propriétés sont très utiles pour simplifier des radicaux. Par exemple, √75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3. De même, √(4/9) = √4 / √9 = 2/3. En revanche, il n'existe pas de formule générale pour √(a + b) : √(9 + 16) ≠ √9 + √16, soit √25 = 5 ≠ 3 + 4 = 7. Cette erreur classique est à éviter absolument dans les copies de contrôle.
🔍 Simplifier une racine carrée par factorisation
Pour simplifier une racine carrée comme √72, on cherche à extraire les facteurs carrés du nombre sous le radical. On décompose 72 en produit de facteurs dont l'un est un carré parfait : 72 = 36 × 2, et 36 = 6². Donc :
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
La méthode la plus sûre pour trouver le plus grand facteur carré est la décomposition en facteurs premiers. Exemple avec √180 : 180 = 2² × 3² × 5, donc √180 = 2 × 3 × √5 = 6√5. Cette technique évite de rater un facteur carré et garantit une forme pleinement simplifiée.
Voici un tableau récapitulatif pour t'aider à y voir plus clair :
| Nombre sous le radical | Décomposition en facteurs carrés | Forme simplifiée | Plus grand facteur carré extrait |
|---|---|---|---|
| √8 | 8 = 4 × 2 = 2² × 2 | 2√2 | 4 |
| √12 | 12 = 4 × 3 = 2² × 3 | 2√3 | 4 |
| √18 | 18 = 9 × 2 = 3² × 2 | 3√2 | 9 |
| √20 | 20 = 4 × 5 = 2² × 5 | 2√5 | 4 |
| √27 | 27 = 9 × 3 = 3² × 3 | 3√3 | 9 |
| √32 | 32 = 16 × 2 = 4² × 2 | 4√2 | 16 |
| √45 | 45 = 9 × 5 = 3² × 5 | 3√5 | 9 |
| √48 | 48 = 16 × 3 = 4² × 3 | 4√3 | 16 |
| √50 | 50 = 25 × 2 = 5² × 2 | 5√2 | 25 |
| √72 | 72 = 36 × 2 = 6² × 2 | 6√2 | 36 |
| √75 | 75 = 25 × 3 = 5² × 3 | 5√3 | 25 |
| √80 | 80 = 16 × 5 = 4² × 5 | 4√5 | 16 |
| √98 | 98 = 49 × 2 = 7² × 2 | 7√2 | 49 |
| √108 | 108 = 36 × 3 = 6² × 3 | 6√3 | 36 |
| √125 | 125 = 25 × 5 = 5² × 5 | 5√5 | 25 |
| √128 | 128 = 64 × 2 = 8² × 2 | 8√2 | 64 |
| √147 | 147 = 49 × 3 = 7² × 3 | 7√3 | 49 |
| √180 | 180 = 36 × 5 = 6² × 5 | 6√5 | 36 |
| √200 | 200 = 100 × 2 = 10² × 2 | 10√2 | 100 |
| √243 | 243 = 81 × 3 = 9² × 3 | 9√3 | 81 |
| √245 | 245 = 49 × 5 = 7² × 5 | 7√5 | 49 |
| √288 | 288 = 144 × 2 = 12² × 2 | 12√2 | 144 |
| √320 | 320 = 64 × 5 = 8² × 5 | 8√5 | 64 |
| √363 | 363 = 121 × 3 = 11² × 3 | 11√3 | 121 |
| √392 | 392 = 196 × 2 = 14² × 2 | 14√2 | 196 |
📊 Comparer des radicaux sans calculatrice
Pour comparer deux radicaux comme √50 et 7, la méthode consiste à élever les deux membres au carré (les deux étant positifs, l'inégalité est préservée) : comparer √50 et 7 revient à comparer 50 et 7² = 49. Puisque 50 > 49, on conclut que √50 > 7.
Cette technique s'applique aussi pour encadrer un radical entre deux entiers consécutifs. Pour encadrer √30 : 5² = 25 et 6² = 36, donc 25 < 30 < 36, ce qui donne 5 < √30 < 6. On peut ainsi approcher la valeur décimale sans calculatrice. L'encadrement à un dixième près se fait ensuite en testant 5,4² = 29,16 et 5,5² = 30,25, ce qui donne 5,4 < √30 < 5,5.
Pour encadrer √n entre deux entiers consécutifs k et k+1 : cherche le plus grand k tel que k² ≤ n, puis vérifie que (k+1)² > n. Exemple : pour √47, on a 6² = 36 et 7² = 49. Comme 36 ≤ 47 <49, on obtient 6 <√47 <7. Cette compétence est exigible au brevet.
La racine carrée et le théorème de Pythagore 📐
Le théorème de Pythagore est certainement le contexte dans lequel les élèves de 3e rencontrent le plus souvent les racines carrées. Maîtriser le calcul de radicaux est donc indissociable de la maîtrise du théorème lui-même.
📐 Calculer l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle de côtés a, b et d'hypoténuse c, le théorème de Pythagore donne c² = a² + b². Pour trouver c, on isole la variable et on calcule la racine carrée des deux membres.
Exemple avec un triangle de côtés 12 cm et 5 cm : c² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, donc c = √169 = 13 cm. La connaissance de √169 = 13 permet d'obtenir un résultat exact immédiatement. D'autres triplets pythagoriciens courants à connaître : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) et (9, 40, 41).
Quand la racine carrée ne tombe pas juste, on laisse la réponse sous forme de radical exact ou on encadre la valeur. Par exemple, avec a = 2 et b = 3 : c = √(4 + 9) = √13. Puisque 3² = 9 et 4² = 16, on a 3 < √13 < 4. En valeur approchée au dixième : √13 ≈ 3,6.
🔄 Vérifier si un triangle est rectangle
La réciproque du théorème de Pythagore permet aussi de vérifier si un triangle est rectangle sans avoir à calculer de racine carrée. Il suffit de comparer les carrés des trois côtés. Si les longueurs a, b et c (avec c le plus grand) vérifient c² = a² + b², alors le triangle est rectangle en l'angle opposé à c.
Exemple : est-ce que le triangle de côtés 5, 12 et 13 est rectangle ? On vérifie : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². La réponse est oui. Cette vérification directe par les carrés est plus rapide et évite les erreurs d'arrondi liées aux valeurs décimales.
Les mathématiques ne sont pas seulement la résolution de problèmes. Elles sont aussi un langage pour comprendre les structures qui nous entourent, des plus simples aux plus complexes.
Henri Poincaré, mathématicien et physicien français (1854-1912)
En plus de la fonction racine carrée, maîtrisez-vous les identités remarquables ?
Racines carrées irrationnelles : valeurs approchées à retenir 🎯
Tous les nombres positifs n'ont pas une racine carrée entière. √2, √3, √5 ou encore √7 sont des nombres irrationnels : leur développement décimal est infini et non périodique. On ne peut pas les écrire comme une fraction. Dans ce cas, on travaille avec des valeurs approchées ou des encadrements, selon la précision demandée par l'exercice.
Plusieurs racines carrées non entières apparaissent très fréquemment en mathématiques et méritent d'être connues avec une bonne approximation :
√2 ≈ 1,414
diagonale d'un carré de côté 1
√3 ≈ 1,732
hauteur d'un triangle équilatéral de côté 2
√5 ≈ 2,236
hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 1 et 2
Mais il y a aussi :
√7 ≈ 2,646
√10 ≈ 3,162
Ces approximations apparaissent souvent dans les formules de trigonométrie et de géométrie analytique. Les reconnaître de vue permet de vérifier rapidement la cohérence d'un résultat : si tu trouves une longueur de 3√2 ≈ 4,24, tu sais qu'elle doit être proche de 4 et non de 8 ou de 1.
Maîtriser la racine carrée, c'est poser des bases solides pour tous les cours de géométrie du collège et du lycée. Des carrés parfaits de 1 à 20 à la simplification d'expressions avec radicaux, chaque étape construit une compétence réutilisable. Si certaines notions restent floues ou si les exercices du brevet restent bloquants, travailler avec un professeur de mathématiques peut permettre de débloquer rapidement les difficultés.
Envie de progresser en maths et de mieux comprendre comment calculer une racine carrée ou bien de simplifier une racine carrée grâce aux cours sur la racine carrée ? Trouve un cours avec un professeur particulier de maths chez Superprof près de chez toi ou en ligne pour maîtriser les racines carrées, le théorème de Pythagore et tout le programme de 3e.
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme de mathématiques du cycle 4 (classes de 5e, 4e et 3e)." Bulletin officiel spécial, n°11, 26 novembre 2015, https://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?pid_bo=33400. Consulté le 28 septembre 2026.
- Polya, George. Comment résoudre un problème. Princeton University Press, 1945. (Traduction française : Dunod, 1965.), https://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/MUSCU/MUSCU8.PDF. Consulté le 28 septembre 2026.
- Académie de Montpellier. "Ressources mathématiques - Les radicaux au collège." Direction des Services Départementaux de l'Education Nationale, 2023, https://pedagogie.ac-montpellier.fr/ressources-pedagogiques/8136. Consulté le 28 septembre 2026.
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Mes observations sont positive
Vérifier si 15⁰= ( racine de3+racine de 2)/4
Pourriez vous me dire comment faire si je veux avoir la racine carrée d’un nombre décimal comme 3,998 par exemple sans calculatrice