Chapitres
- 01. Notions et définitions indispensables en mathématiques
- 02. Les entiers naturels : propriétés et principes à connaître
- 03. Nombres réels : opérations et règles de calcul importantes
- 04. Règles de calcul en algèbre : développer, factoriser et réduire
- 05. Équations et inéquations : méthodes pour résoudre efficacement
- 06. Majorants, minorants et bornes : comprendre les notions clés
- 07. Nombres complexes : définitions, propriétés et calculs essentiels
- 08. Conjugué d’un nombre complexe : définition et interprétation géométrique
- 09. Résolution des équations du second degré : méthodes et astuces
- 10. Exercices pratiques sur les identités remarquables
Notions et définitions indispensables en mathématiques
Ensembles de nombres (N, Z, Q, R, C)
N désigne l’ensemble des entiers naturels, on écrit N = {0, 1, 2, . . .}.
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs, on écrit Z = {. . . ; −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Q désigne l’ensemble des nombres rationnels : Q = { a/b ; a ∈ Z, b ∈ N∗ }.
R désigne l’ensemble des nombres réels, on a : R∗ = R{0}.
R+ = {x ∈ R; x > 0} et R− = {x ∈ R; x ≤ 0}.
Tout élément appartenant à R et n’appartenant pas à Q est appelé irrationnel (√2 ∈ R \ Q signifie que √2 est un irrationnel).
C désigne l’ensemble des nombres complexes : C = {a + ib ; a ∈ R et b ∈ R} avec i² = −1
Exemples de nombres (naturels, relatifs, rationnels, irrationnels, complexes)
- 0, 1, 2 sont des entiers naturels.
- -3, -2, 6 sont des entiers relatifs.
- 1/3 , 1/2 , −1, 2 sont des nombres rationnels.
- π, √2, e sont des nombres irrationnels.
- 1 + i = (1 + i√3) / 2 sont des nombres complexes.
Remarque : on a les inclusions suivantes : N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, R ⊂ C
Les entiers naturels : propriétés et principes à connaître
En mathématiques, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels. Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe
de récurrence, nous allons dans la suite du cours décrire les principaux raisonnements permis par la
récurrence.
Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.
Récurrence faible : démonstration pas à pas
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont l’initialisation, l’hérédité et la conclusion, cette dernière étant souvent "oubliée" mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !
Exemple
Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.
Initialisation : P(n0) vraie, en effet : . . .
Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.
Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).
Récurrence forte : extension du principe
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Récurrence : quand l’utiliser
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel.
Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe
de récurrence faible.
Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent
plus rapide.
Notation des intervalles d’entiers naturels
Étant données deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p. On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire.
Nombres réels : opérations et règles de calcul importantes
Addition des réels
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a + b = b + a (commutativité)
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.
Multiplication des réels
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × b = b × a (commutativité)
- (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)
La multiplication des réels est aussi commutative et associative.
Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
- (a + b) × c = a × c + b × c (distributivité à droite)
C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.
Règles de calcul sur les quotients
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :
a/b + c/d = (ad + bc)/bd ; a/b × c/d = ac/bd ; a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0
Valeur absolue et inégalité triangulaire
Soit x un réel, on notera |x| =
- x si x > 0
- −x si x < 0
Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un
axe gradué.
Théorème : Inégalité triangulaire
Soient x et y deux nombres réels, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
avec égalité en (1) seulement si xy ≤ 0 et égalité en (2) seulement si xy ≥ 0
Calcul avec radicaux
- Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
- Soit x un réel positif, √x² = x.
- Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.
Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel s’échoue bien des étudiants débutants... vous voilà prévenus.
Identités remarquables : développement et factorisation faciles
Pour tous réels a et b on a :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Règles de calcul en algèbre : développer, factoriser et réduire
Développer une expression consiste à supprimer les parenthèses en respectant les règles de distributivité et des identités remarquables.
Factoriser une expression consiste à transformer une somme ou une différence en produit en respectant les règles de factorisation et les identités remarquables.
Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles.
Distributivité et identités remarquables
On peut utiliser la distributivité de la multiplication.
\[ k \times \left( a + b \right) = k \times a + k \times b \]
\[ k \times \left( a - b \right) = k \times a - k \times b \]
\[ \left( a + b \right) \times \left( c + d \right) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d \]
\[ \left( a - b \right) \times \left(c + d \right) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d \]
\[ \left( a + b \right) \times \left(c - d \right) = a \times c - a \times d + b \times c - b \times d \]
\[ \left( a - b \right) \times \left( c - d \right) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d \]
Partie entière d'un réel
Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋.
Équations et inéquations : méthodes pour résoudre efficacement
Types d’intervalles de nombres réels
Les différents types d’intervalles de nombres réels :
- [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
- ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
- ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
- [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
- ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.
Équation du premier et second degré
Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité.
Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres
de l’égalité.
Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a.
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆.
On rappelle alors le résultat suivant :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x₀ = −b/(2a)
Dans le cas où ∆ > 0 on a le résultat suivant :
x1 + x2 = −b/a
x1 × x2 = c/a
Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.
Inéquations et règles de manipulation
Une inégalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’inégalité.
Une inégalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres de l’inégalité.
Une inégalité change de sens lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres de l’inégalité.
Majorants, minorants et bornes : comprendre les notions clés
Généralités sur majorants et minorants
On considère une partie A de R.
- S’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x 6 M alors on dit que A est majorée par M et M est un majorant de A.
- S’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x ≥ m alors on dit que A est minorée par m et m est un minorant de A.
- Si A est majorée et minorée alors on dit que A est bornée.
Les réels m et M ci-dessus n’appartiennent pas nécessairement à la partie A
Exemple pratique
La partie A = { 1/n ; n ∈ N∗} est bornée par 0 et 1.
Définitions : plus petit et plus grand élément
- S’il existe α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≤ α alors on dit que α est le plus grand élément de A. On note α = max(A).
- S’il existe β ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≥ β alors on dit que β est le plus petit élément de A. On note β = min(A).
Une partie de R n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément
Borne supérieure et borne inférieure
Soit A une partie de R, notons M+ (resp. M−) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.
- Si M+ possède un plus petit élément alors c’est le plus petit des majorants de A, on l’appelle la borne supérieure de A, notée sup(A).
- Si M− possède un plus grand élément alors c’est le plus grand des minorants de A, on l’appelle la borne inférieure de A, notée inf(A).
Théorème sur les bornes supérieures et inférieures
Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.
Caractérisation des bornes
Soit A une partie non vide et majorée de R et α ∈ R.
α = sup(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≤ α
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, α − ε < x ≤ α
Soit A une partie non vide et minorée de R et β ∈ R.
β = inf(A) ⇐⇒
- ∀x ∈ A, x ≥ β
- ∀ε > 0, ∃x ∈ A, β ≤ x < β + ε
Nombres complexes : définitions, propriétés et calculs essentiels
Définition et forme algébrique
On admet l’existence d’un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, contenant R et un nombre non réel noté i vérifiant i² = −1.
C est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels.
Cet ensemble est structuré par une addition et une multiplication induites par l’addition et la multiplication dans R.
C = {a + ib ; (a, b) ∈ R²}
Égalité et propriétés des complexes
L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe (où a et b sont des réels) est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
Notations : a = Re(z) et b = Im(z).
Deux nombres complexes sont égaux seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,
i.e : a + ib = a' + ib' ⇐⇒ a = a' et b = b'.
Conséquences :
- un complexe est nul seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles ;
- la forme algébrique d’un nombre complexe est unique.
∀(z, z') ∈ C² , zz' = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z' = 0
Conjugué d’un nombre complexe : définition et interprétation géométrique
Un nombre complexe qui s’écrit iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur.
Conséquences :
- un complexe est réel seulement si sa partie imaginaire est nulle ;
- un complexe est imaginaire pur seulement si sa partie réelle est nulle.
On note iR l’ensemble des imaginaires purs.
Soit z = x+iy un complexe sous forme algébrique. Le nombre x−iy noté z¯ est appelé conjugué de z. z¯ = x − iy
Nombre imaginaire pur et nombre réel
Soit z ∈ C.
z ∈ R ⇐⇒ z = ¯z
z ∈ iR ⇐⇒ z = −z¯
où z = iy
Attention : pour a et b ∈ R, a − ib n’est pas le conjugué de a + ib si a et b ne sont pas spécifiés.
Conjugaison et symétrie axiale
Soit M un point d’affixe z dans le plan complexe.
Le point M' d’affixe z' est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses du repère
La conjugaison est donc interprétée en terme de symétrie axiale dans le plan complexe.
Par suite il est facile de voir que le conjugué du conjugué d’un complexe z est égal à z. On dit que la conjugaison est une involution.
Résolution des équations du second degré : méthodes et astuces
Solutions réelles et complexes selon le discriminant
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
On pose ∆ = b² − 4ac et l’on a :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (−b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a.
- Si ∆ < 0 alors l’équation possède deux solutions qui sont des nombres complexes conjugués :
x1 = (−b − i√|∆|) / 2a et x2 = (−b + i√|∆|) / 2a.
On dispose d’un résultat permettant la factorisation de l’expression ax² + bx + c = 0 si a non nul.
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
- Si l’équation possède deux solutions réelles ou complexes x1 et x2 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
- Si l’équation possède une solution x0 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x0)²
dans le cas où ∆ ≠ 0 on a le résultat suivant :
x1 + x2 = −b/a
x1 × x2 = c/a
Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.
Exercices pratiques sur les identités remarquables
Développer (a + 3)²
(a + 3)² = a² + 2 × a × 3 + 3² = a² + 6a + 9
Factoriser a² + 10a + 25
a² + 10a + 25 = (a + 5)² = (a + 5)(a + 5)
Développer (X - 5)²
(X - 5)² = X² - 2 × X × 5 + 5² = X² - 10X + 25
Factoriser y² - 6y + 9
y² - 6y + 9 = (y - 3)² = (y - 3)(y - 3)
Développer (a - 3)(a + 3)
(a - 3)(a + 3) = a² - 9
Factoriser t² - 25
t² - 25 = (t + 5)(t - 5)
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Comment voulez-vous que l’on apprécie les mathématiques avec un tel charabia incompréhensible et dénué de tout sens pratique.
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Chui né en 62 j’ai suivis des cours en Afrique..,et ,je suis honter par les maths la géométrie c’est le doigt dans le nez.. mais alors l’algeb
Améliorer mon niveau en mathématiques
Bonjour, il y a une coquille dans la deuxième identité remarquable présentée.
(a – b)² = a² – 2ab² + b²
Devrait être :
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Merci pour ton commentaire David! Nous avons corrigé cette petite erreur grâce à toi ;)
Je ne suis pas sure mais je crois il y a une erreur à la deuxième je crois il y a un carré en trop
Hello Fanny, on te confirme que l’exercice est correct.