La Lune ne tourne pas vraiment autour de la Terre. Les deux astres tournent ensemble autour d’un point commun, caché à l’intérieur de notre planète, et ce point porte un nom que tu croises en géométrie : le barycentre. Sa déf tient en une ligne, et elle sert du lycée jusqu’aux concours.
Une nuance rend la notion plus riche qu’un simple « point d’équilibre » : en mathématiques, les poids attribués aux points peuvent être négatifs, ce qui n’a aucun sens pour une masse physique. C’est cette liberté qui en fait un outil de calcul, et pas seulement une image tirée de la mécanique.
Quelle est la définition du barycentre ? ⚖️
Le barycentre G des points pondérés (A, a) et (B, b), avec a + b ≠ 0, est l’unique point qui vérifie a·⟶GA + b·⟶GB = →0. Les réels a et b sont appelés coefficients (ou poids) : on dit qu’on affecte a au point A et b au point B. La condition a + b ≠ 0 garantit que ce point existe et qu’il est unique.
La définition s’étend à n’importe quel nombre de points. Pour un système de points pondérés (A₁, a₁), …, (Aₙ, aₙ) dont le total n’est pas nul, un seul point G vérifie a₁·⟶GA₁ + … + aₙ·⟶GAₙ = →0. C’est la formulation du cours de géométrie affine de l’Université Paris-Sud, rédigé pour le concours du CAPES : elle vaut dans le plan comme dans l’espace, et l’ordre des points n’y change rien. En géométrie affine, les barycentres remplacent les combinaisons linéaires : on ne peut pas additionner deux points, mais on peut toujours chercher le point d’équilibre d’un groupe de points pondérés.
Longtemps emblématique de l’ancienne série scientifique de Première, supprimée en 2019, la notion relève désormais d’un nouveau programme de spécialité mathématiques de Première générale, applicable depuis la rentrée 2026 : ton professeur te dira ce qu’il en attend.
Commence toujours par additionner les coefficients. Si la somme vaut 0, le point cherché n’existe pas.
Si elle est non nulle, la déf garantit un point unique : tu peux te lancer.
Comment construire le barycentre de deux points ? 📍
Pour placer G, barycentre de (A, a) et (B, b), on exprime ⟶AG en fonction de ⟶AB, que l’on sait tracer : ⟶AG = b / (a + b) · ⟶AB. G se trouve sur la droite (AB), du côté du point le plus lourd.
📝 La relation vectorielle qui place G sur (AB)
La démonstration tient en trois étapes grâce à la relation de Chasles :
- Écrire la définition :
a·⟶GA + b·⟶GB = →0, - Remplacer ⟶GB par ⟶GA + ⟶AB :
(a + b)·⟶GA + b·⟶AB = →0, - Isoler le vecteur cherché :
⟶AG = b / (a + b) · ⟶AB.
Exemple : avec (A, 1) et (B, 3), on trouve ⟶AG = 3/4 · ⟶AB. Partage [AB] en quatre et place G au troisième repère depuis A. G est trois fois plus près de B que de A, logique puisque B pèse trois fois plus lourd.
💡 L’intuition physique de la balance
Pose 1 kg en A et 3 kg en B sur une tige légère : le point où il faut la tenir pour qu’elle reste horizontale, c’est G. Repères IREM décrit une expérience voisine : suspendre un solide plan à un fil, tracer la verticale, recommencer depuis un autre point. Toutes les droites se croisent au même endroit, le centre de gravité.
En 1827, August Ferdinand Möbius, professeur d’astronomie à Leipzig, a transformé cette idée en outil de géométrie analytique dans Der barycentrische Calcul, l’ouvrage fondateur des coordonnées barycentriques.
Souvent, on nomme ces principes de mots barbares : associativité, homogénéité, ... mais ainsi plutôt qu’éclairer les élèves sur le sens même de ces principes, on l’ôte.
Jean-François Lièvre, lycée de la Salle (Nantes), Repères IREM n° 45 (2001)
Isobarycentre et barycentre d’un triangle 🔺
Quand tous les points reçoivent le même coefficient, leur barycentre s’appelle l’isobarycentre. Pour un triangle ABC, celui des trois sommets est le point de concours des médianes, aussi appelé centre de gravité du triangle.
🔍 Qu’est-ce qu’un isobarycentre ?
C’est le point d’équilibre d’un ensemble de points tous affectés du même coefficient non nul, que tu peux toujours prendre égal à 1. Le cas le plus simple : l’isobarycentre de deux points distincts A et B est le milieu de [AB], puisque ⟶GA + ⟶GB = →0.
📐 Où se trouve le barycentre d’un triangle ?
L’isobarycentre G des sommets de ABC est à l’intersection des trois médianes, ces droites qui joignent chaque sommet au milieu du côté opposé, aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Si I est le milieu de [AB], alors ⟶CG = 2/3 · ⟶CI, ce que la propriété de regroupement démontre en deux lignes (voir plus bas).
Un piège classique, relevé par l’IREM chez des élèves de Première STI : croire que le centre d’inertie d’un solide coïncide toujours avec l’isobarycentre de ses sommets. Dès que la matière se répartit inégalement entre les sommets, le point d’équilibre se déplace : le centre d’inertie dépend de cette répartition, pas seulement de la forme.
Pose 1 kg en A, 2 kg en B et 3 kg en C sur une plaque triangulaire : le point d’équilibre est le barycentre de (A, 1), (B, 2), (C, 3).
Il est plus proche de C que de A, et ce n’est pas le centre de gravité du triangle.
Quelles sont les propriétés du barycentre ? 🧮
Trois propriétés rendent ce point très maniable : l’homogénéité (multiplier tous les coefficients par un même réel non nul), l’associativité (regrouper des points) et le calcul des coordonnées dans un repère.
✏️ Homogénéité et propriété fondamentale
Les systèmes (A, 1), (B, 3) et (A, 2), (B, 6) donnent le même point : seul le rapport entre les poids compte. Plus généralement, multiplier chacun d’eux par un même réel k non nul ne déplace pas G, d’où l’habitude de ramener leur total à 1. La propriété fondamentale réduit ensuite deux vecteurs à un seul : pour tout point M du plan ou de l’espace,
a·⟶MA + b·⟶MB = (a + b)·⟶MG
La démonstration de cette propriété est immédiate : écris ⟶MA = ⟶MG + ⟶GA et ⟶MB = ⟶MG + ⟶GB, la définition annule le reste. En exercice, place M au bon endroit (en A, en B ou à l’origine du repère).
🔗 Qu’est-ce que l’associativité du barycentre ?
Cette propriété permet de remplacer un groupe de points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs coefficients (si elle est non nulle), sans changer le résultat final. L’ordre des regroupements est libre : commence par le groupe de points qui se simplifie le mieux, puis combine les barycentres partiels obtenus.
Pour ABC, où chaque sommet est affecté de 1, (A, 1) et (B, 1) se regroupent en I, milieu de [AB], affecté du coefficient 2. Reste (I, 2) et (C, 1) : la formule à deux points donne ⟶IG = 1/3 · ⟶IC, soit G aux deux tiers de la médiane depuis C. En regroupant autrement, on montre de même que G appartient aux deux autres médianes : ces trois droites ont donc un point de concours. L’IREM le vérifie avec cinq aimants identiques sur une tige de 20 cm : quel que soit le regroupement, l’équilibre ne bouge pas. Cette démonstration par regroupement se passe entièrement de coordonnées.
🧭 Coordonnées du barycentre
Dans un repère, si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c ≠ 0, ses coordonnées sont des moyennes pondérées :
x(G) = (a·x(A) + b·x(B) + c·x(C)) / (a + b + c) et y(G) = (a·y(A) + b·y(B) + c·y(C)) / (a + b + c)
Dans un repère de l’espace, la troisième coordonnée z(G) se calcule de la même façon. Application avec A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 6), de coefficients 1, 2 et 3 :
| Point | Coordonnées | Coefficient | Coefficient × x | Coefficient × y |
|---|---|---|---|---|
| A | (0 ; 0) | 1 | 0 | 0 |
| B | (6 ; 0) | 2 | 12 | 0 |
| C | (0 ; 6) | 3 | 0 | 18 |
| Somme | - | 6 | 12 | 18 |
| G | (12/6 ; 18/6) = (2 ; 3) | - | 2 | 3 |
Résultat : G(2 ; 3), attiré vers C, le point le plus lourd. Ces formules traduisent une propriété plus générale de la géométrie affine : les barycentres sont conservés par les applications affines (translations, homothéties, projections), et l’image du barycentre est le barycentre des images, avec les mêmes coefficients.
Le barycentre en physique : centre de masse 🌍
En physique, le barycentre de points matériels s’appelle le centre de masse, ou centre d’inertie : les poids sont les masses de ces points matériels. Pour deux corps, x(G) = (m₁·x₁ + m₂·x₂) / (m₁ + m₂), et G se rapproche toujours du plus lourd.
D’après la fiche pédagogique de l’Agence spatiale européenne (ESA, 2015), le centre de masse Terre-Lune se trouve à environ 4 650 km du centre de la Terre, dont le rayon est un peu inférieur à 6 400 km : il est donc sous la surface terrestre, et environ 80 fois plus éloigné du centre de la Lune que de celui de la Terre. Parmi les applications astronomiques, la même fiche cite la détection d’exoplanètes et l’étude des systèmes d’étoiles binaires.
Barycentre Terre-Lune
kilomètres environ depuis le centre de la Terre, soit à l’intérieur du globe (Source : ESA, 2015)
Tu peux retrouver cet ordre de grandeur toi-même : la Terre pèse environ 81 fois plus que la Lune et leurs centres sont distants d’environ 384 000 km. Avec la Terre à l’origine, x(G) = 384 000 × 1 / 82 ≈ 4 700 km, très proche de la valeur de l’ESA. Selon la même source, le Soleil concentre environ 99,85 % de la masse du Système solaire, d’où un barycentre proche de son centre.
Pour maîtriser la notion, varie les cas (deux points, trois points, coefficients négatifs). Et pour un regard extérieur, la capitale regorge de professionnels expérimentés : des cours particuliers de maths à Paris peuvent t’aider à consolider ces automatismes.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Le barycentre existe-t-il toujours ?
Non : il faut que la masse totale soit non nulle. Avec (A, 1) et (B, -1), la relation ⟶GA - ⟶GB = →0 revient à ⟶BA = →0, impossible si A et B sont distincts. Dès que cette somme diffère de zéro, en revanche, le point existe et il est unique.
💡 Un coefficient peut-il être négatif ?
Oui, en mathématiques ce sont des réels quelconques, négatifs compris, contrairement aux masses en physique. G sort alors du segment : avec (A, 2) et (B, -1), on obtient ⟶AG = -1 · ⟶AB, donc G est le symétrique de B par rapport à A. Le segment [AB] correspond exactement aux barycentres de A et B affectés de coefficients positifs.
🔍 Barycentre, centre de gravité et centre de masse : est-ce pareil ?
Ce sont trois facettes d’une même idée. Le barycentre est l’objet mathématique, défini avec des coefficients quelconques. Le centre de masse est celui de points matériels pondérés par leurs masses. Le centre de gravité se confond avec lui dans un champ de pesanteur uniforme (le cas des objets du quotidien).
Sources 📚
- David, Marie-Claude, Frédéric Haglund et Daniel Perrin. « Géométrie affine, deuxième partie : Barycentres. » Université Paris-Sud, préparation au CAPES de mathématiques, 8 décembre 2003, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~mcld/GAEL/Gael/bar.pdf.
- Lièvre, Jean-François. « Isobarycentre et centre d’inertie en première STI. » Repères IREM, n° 45, octobre 2001, https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/medias/fichier/iwr01025_1702831558829-pdf.
- Agence spatiale européenne (ESA). « Balles barycentriques : les orbites et le centre de masse. » Teach with space, fiche P07, 2015, https://hackanexoplanet.esa.int/wp-content/uploads/2022/11/P07-Barycentric-balls-french.pdf.
- Légifrance. « Arrêté du 26 février 2026 », programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de Première, voie générale. Journal officiel, n° 0074, 27 mars 2026, https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000053723235.
- Möbius, August Ferdinand. Der barycentrische Calcul. Leipzig, Barth, 1827.
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