Deux droites dans l'espace peuvent se croiser sans jamais se rencontrer. Ce fait contre-intuitif est au cœur de la position relative dans l'espace, un chapitre clé du programme de première qui revient régulièrement au baccalauréat. Comprendre les configurations possibles entre droites et plans, c'est acquérir les fondations qui servent pour toute la géométrie vectorielle et analytique de terminale.
La subtilité de ce chapitre repose sur une distinction que beaucoup d'élèves découvrent tard : dans le plan, deux droites non parallèles sont forcément sécantes. Dans l'espace, ce n'est plus vrai. Les droites gauches, c'est-à-dire non coplanaires, constituent un troisième cas qu'il faut savoir identifier, démontrer et exploiter.
Détermination d'un plan : les trois cas fondamentaux 📐
Avant d'étudier les positions relatives, il faut savoir ce qui définit un plan dans l'espace. Un plan n'est pas seulement une surface infinie : c'est un objet géométrique caractérisé par des conditions précises. En pratique, un plan de l'espace est entièrement déterminé par l'une des trois configurations suivantes.
🔍 Trois points non alignés
Si A, B et C sont trois points distincts et non alignés, il existe un unique plan qui les contient. On le note (ABC). Cette propriété est celle qu'on utilise le plus souvent pour identifier un plan dans un exercice : dès que trois points d'une figure sont non alignés, ils définissent un plan. Si A et B sont deux points distincts d'un plan (P), alors la droite (AB) est entièrement incluse dans (P). Ce résultat, en apparence simple, est la base de nombreuses démonstrations.
📏 Deux droites sécantes ou parallèles
Deux droites (D) et (D') qui ont un point commun (droites sécantes) définissent un plan unique. Il en va de même pour deux droites strictement parallèles : elles sont coplanaires et déterminent un plan. En revanche, deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles ne définissent aucun plan commun : on dit qu'elles sont gauches.
📍 Une droite et un point extérieur
Une droite (D) et un point A n'appartenant pas à (D) définissent également un plan unique. Ce cas se ramène au premier : A, plus deux points distincts de (D), forment trois points non alignés qui déterminent le plan.
1. Trois points non alignés A, B, C - 2. Deux droites sécantes ou parallèles - 3. Une droite et un point extérieur. Ces trois conditions sont équivalentes et suffisantes pour définir un plan unique dans l'espace.
Voici un tableau récapitulatif :
| Condition | Description | Notation | Remarque |
|---|---|---|---|
| Trois points non alignés | Trois points distincts ABC non alignés définissent un unique plan | Plan (ABC) | Si A et B sont dans le plan alors la droite (AB) est entièrement incluse dans le plan |
| Deux droites coplanaires | Deux droites sécantes ou strictement parallèles définissent un unique plan | Plan contenant (D) et (D') | Deux droites gauches ne définissent aucun plan commun |
| Une droite et un point extérieur | Une droite (D) et un point A n'appartenant pas à (D) définissent un unique plan | Plan contenant (D) et A | Se ramène au cas trois points non alignés |
Maîtrises-tu à la fois les positions relatives et le programme de maths de seconde ?
Position relative de deux droites dans l'espace 🔢
C'est ici que la géométrie de l'espace se distingue vraiment de la géométrie plane. Deux droites (D) et (D') de l'espace se trouvent dans l'une des deux grandes situations suivantes : soit elles sont coplanaires (contenues dans un même plan), soit elles sont non coplanaires (aucun plan ne les contient toutes les deux).
✅ Les droites coplanaires : sécantes ou parallèles
Quand deux droites sont coplanaires, deux sous-cas se présentent. Elles sont sécantes : elles ont exactement un point commun. Ou bien elles sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point commun mais sont contenues dans le même plan. Dans les deux cas, on peut écrire :
(D) ∩ (D') = {M}si les droites sont sécantes en M, ou(D) ∩ (D') = Øsi elles sont parallèles.
🔄 Les droites gauches : le cas spécifique à l'espace
Deux droites sont dites gauches (ou non coplanaires) lorsqu'il n'existe aucun plan qui les contient simultanément. Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. On peut écrire : (D) ∩ (D') = Ø, mais contrairement au cas parallèle, il n'existe aucun plan contenant les deux droites. C'est typiquement le cas de deux arêtes opposées d'un cube qui ne partagent ni sommet ni face.
📝 Théorème clé et sa démonstration
Voici un théorème fondamental régulièrement demandé au baccalauréat : soient A, B, C, D quatre points de l'espace tels que A, B et C ne soient pas alignés. Si la droite (CD) est parallèle à la droite (AB), alors le point D appartient au plan (ABC).
La géométrie dans l'espace n'est pas une extension de la géométrie plane : c'est un univers nouveau où notre intuition visuelle doit être rééduquée, et où la démonstration rigoureuse remplace avantageusement l'évidence graphique.
Henri Lebesgue, mathématicien, Leçons sur les constructions géométriques (1950)
Démonstration : Les points A, B et C ne sont pas alignés, donc le plan (ABC) est bien défini. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc elles sont coplanaires : il existe un plan les contenant, et ce plan passe par A, B, C. C'est donc le plan (ABC). Puisque (CD) est incluse dans (ABC), le point D appartient à (ABC). CQFD.
Pour montrer que deux droites sont gauches, il faut prouver qu'elles n'ont pas de point commun ET qu'elles ne sont pas parallèles (directions non proportionnelles). Dans un repère, utiliser les vecteurs directeurs : si ces vecteurs ne sont pas colinéaires et si le système n'a pas de solution, les droites sont gauches.
Voici un tableau récapitulatif :
| Configuration | Coplanaires | Point commun | Vecteurs directeurs | Notation de l'intersection | Exemple géometrique |
|---|---|---|---|---|---|
| Droites sécantes | Oui | Un point commun | Non colinéaires | (D) ∩ (D') = {M} | Deux arêtes adjacentes d'un cube |
| Droites parallèles | Oui | Aucun | Colinéaires (u = k·v) | (D) ∩ (D') = Ø | Deux arêtes opposées de la même face d'un cube |
| Droites gauches | Non | Aucun | Non colinéaires | (D) ∩ (D') = Ø | Deux arêtes opposées de faces différentes d'un cube |
En dehors des positions relatives, connais-tu la perspective cavalière ?
Position relative de deux plans dans l'espace 🏛️
Deux plans (P) et (P') de l'espace ne peuvent être que dans l'une de ces deux situations : soit ils se coupent (ils ont une droite en commun), soit ils sont parallèles (ils n'ont aucun point commun). Il n'existe pas de troisième cas, contrairement aux droites.
✂️ Plans sécants : une droite d'intersection
Si deux plans (P) et (P') se coupent, leur intersection est toujours une droite, notée (d). On écrit : (P) ∩ (P') = (d). Cette droite d'intersection est contenue dans chacun des deux plans. Pour la déterminer, il suffit de trouver deux points appartenant simultanément aux deux plans. Cette méthode est incontournable pour construire des sections planes dans les solides (pyramides, prismes, etc.).
↔️ Plans parallèles : aucun point commun
Deux plans sont strictement parallèles s'ils n'ont aucun point commun : (P) ∩ (P') = Ø. Pour démontrer que deux plans sont parallèles, le critère le plus utilisé est le suivant : si un plan contient deux droites sécantes parallèles respectivement à deux droites sécantes d'un autre plan, alors les deux plans sont parallèles. Ce critère permet de traiter efficacement les exercices sur les prismes et les cubes.
Configurations possibles entre deux droites de l'espace
Sécantes, parallèles, ou gauches - trois cas distincts à maitriser pour le baccalauréat de mathématiques
📐 Position relative d'une droite et d'un plan
Une droite (D) et un plan (P) peuvent se trouver dans trois configurations. Soit (D) est incluse dans (P) : tous les points de (D) appartiennent à (P). Soit (D) est parallèle à (P) : (D) n'a aucun point commun avec (P). Soit (D) est sécante à (P) : (D) coupe (P) en exactement un point. Dans ce dernier cas, si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, alors elle est perpendiculaire au plan tout entier - c'est la définition de la perpendiculaire à un plan, fondamentale pour les exercices de distances.
Voici un tableau récapitulatif :
| Objets considérés | Configuration | Points communs | Notation de l'intersection | Critère de démonstration |
|---|---|---|---|---|
| Droite / Droite | Sécantes | Un point | (D) ∩ (D') = {M} | Vecteurs non colinéaires + système compatible (une solution) |
| Droite / Droite | Parallèles | Aucun | (D) ∩ (D') = Ø | Vecteurs directeurs colinéaires (u = k·v) |
| Droite / Droite | Gauches | Aucun | (D) ∩ (D') = Ø | Vecteurs non colinéaires + système incompatible (aucune solution) |
| Droite / Plan | Incluse dans le plan | Infinité | (D) ⊂ (P) | Deux points de la droite appartiennent au plan |
| Droite / Plan | Parallèle au plan | Aucun | (D) ∩ (P) = Ø | La droite est coplanaire avec une droite parallèle à (P) |
| Droite / Plan | Sécante au plan | Un point | (D) ∩ (P) = {A} | Résolution du système équation plan + paramétrique droite |
| Plan / Plan | Sécants | Une droite entière | (P) ∩ (P') = (d) | Trouver deux points communs aux deux plans |
| Plan / Plan | Parallèles | Aucun | (P) ∩ (P') = Ø | Chaque plan contient deux droites sécantes parallèles aux deux droites sécantes de l'autre plan |
Es-tu à l'aise avec les équations du second degré en plus des positions relatives ?
Méthodes pratiques pour les exercices du bac 🎯
La maîtrise des positions relatives ne se limite pas à la connaissance des définitions. Au bac, les questions portent souvent sur des démonstrations, des constructions ou des calculs qui mobilisent ces notions. Voici les stratégies qui permettent de traiter ces exercices avec efficacité.
🧮 Utiliser les vecteurs directeurs en repère
Dans un repère orthonormé, une droite est définie par un point et un vecteur directeur. Pour étudier la position relative de deux droites, on compare leurs vecteurs directeurs et on tente de résoudre le système d'équations paramétriques. Si les vecteurs directeurs u et v sont colinéaires (c'est-à-dire si u = k·v pour un réel k), les droites sont parallèles ou confondues. Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, on résout le système : une solution unique indique des droites sécantes, une incompatibilité indique des droites gauches.
✏️ Construire la section plane d'un solide
La construction de sections planes est une application directe des positions relatives entre plans. La méthode repose sur un principe simple : l'intersection de deux plans est une droite, et pour trouver cette droite, il suffit de trouver deux de ses points.
Dans un prisme ou une pyramide, on identifie les faces du solide (chacune est contenue dans un plan), on cherche les intersections du plan sécant avec chaque face, et on relie les points obtenus. Les règles sur les plans parallèles permettent souvent de trouver des directions de tracé sans calcul.
📊 Tableau récapitulatif des positions relatives
Pour mémoriser efficacement l'ensemble des configurations, voici un récapitulatif structuré des cas possibles selon les objets considérés :
Droite / Droite
sécantes (1 point commun), parallèles (0 point commun, coplanaires), gauches (0 point commun, non coplanaires)
Droite / Plan
incluse dans le plan, parallèle au plan (0 point commun), sécante au plan (1 point commun)
Plan / Plan
sécants (intersection = 1 droite), parallèles (0 point commun)
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Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale" Bulletin officiel spécial n°14 du 2 avril 2026, Éducation nationale, 2019, https://www.education.gouv.fr/bo/2026/Hebdo14/MENE2602917A. Consulté le 31 juillet 2026.
- Ministère de l'Education nationale. "Annales des épreuves du baccalauréat des voies générale et technologique, Eduscol, 2026, https://eduscol.education.gouv.fr/5199/annales-des-epreuves-du-baccalaureat-des-voies-generale-et-technologique. Consulté le 31 juillet 2026.
- Sésamath. "Chapitre Géométrie dans l'espace - Première S." Manuel de mathématiques Sésamath Première S, Sésamath, 2011, https://www.sesamath.net/index.php?sesapage=manuels&rubrique=lycee&classe=premiere. Consulté le 31 juillet 2026.
- Semantic scholar, Leçons sur les constructions géométriques, https://www.semanticscholar.org/paper/Le%C3%A7ons-sur-les-constructions-g%C3%A9om%C3%A9triques-Lebesgue/4b6ac0faecc5485d57efc925442e6615b7855aa4. Consulté le 31 juillet 2026.
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