Deux droites dans l'espace peuvent se croiser sans jamais se rencontrer. Ce fait contre-intuitif est au coeur de la position relative en géométrie de l'espace, un chapitre clé du programme de première S qui revient régulièrement au baccalauréat. Comprendre les configurations possibles entre droites et plans, c'est acquérir les fondations qui servent pour toute la géométrie vectorielle et analytique de terminale.
La subtilité de ce chapitre repose sur une distinction que beaucoup d'élèves découvrent tard : dans le plan, deux droites non parallèles sont forcément sécantes. Dans l'espace, ce n'est plus vrai. Les droites gauches, c'est-à-dire non coplanaires, constituent un troisième cas qu'il faut savoir identifier, démontrer et exploiter.
Détermination d'un plan : les trois cas fondamentaux 📐
Avant d'étudier les positions relatives, il faut savoir ce qui définit un plan dans l'espace. Un plan n'est pas seulement une surface infinie : c'est un objet géométrique caractérisé par des conditions précises. En pratique, un plan de l'espace est entièrement déterminé par l'une des trois configurations suivantes.
🔍 Trois points non alignés
Si A, B et C sont trois points distincts et non alignés, il existe un unique plan qui les contient. On le note (ABC). Cette propriété est celle qu'on utilise le plus souvent pour identifier un plan dans un exercice : dès que trois points d'une figure sont non alignés, ils définissent un plan. Si A et B sont deux points distincts d'un plan (P), alors la droite (AB) est entièrement incluse dans (P). Ce résultat, en apparence simple, est la base de nombreuses démonstrations.
📏 Deux droites sécantes ou parallèles
Deux droites (D) et (D') qui ont un point commun (droites sécantes) définissent un plan unique. Il en va de même pour deux droites strictement parallèles : elles sont coplanaires et déterminent un plan. En revanche, deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles ne définissent aucun plan commun : on dit qu'elles sont gauches.
📍 Une droite et un point extérieur
Une droite (D) et un point A n'appartenant pas à (D) définissent également un plan unique. Ce cas se ramène au premier : A, plus deux points distincts de (D), forment trois points non alignés qui déterminent le plan.
1. Trois points non alignés A, B, C - 2. Deux droites sécantes ou parallèles - 3. Une droite et un point extérieur. Ces trois conditions sont équivalentes et suffisantes pour définir un plan unique dans l'espace.
Position relative de deux droites dans l'espace 🔢
C'est ici que la géométrie de l'espace se distingue vraiment de la géométrie plane. Deux droites (D) et (D') de l'espace se trouvent dans l'une des deux grandes situations suivantes : soit elles sont coplanaires (contenues dans un même plan), soit elles sont non coplanaires (aucun plan ne les contient toutes les deux).
✅ Les droites coplanaires : sécantes ou parallèles
Quand deux droites sont coplanaires, deux sous-cas se présentent. Elles sont sécantes : elles ont exactement un point commun. Ou bien elles sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point commun mais sont contenues dans le même plan. Dans les deux cas, on peut écrire :
(D) ∩ (D') = {M} si les droites sont sécantes en M, ou (D) ∩ (D') = Ø si elles sont parallèles.
🔄 Les droites gauches : le cas spécifique à l'espace
Deux droites sont dites gauches (ou non coplanaires) lorsqu'il n'existe aucun plan qui les contient simultanément. Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. On peut écrire : (D) ∩ (D') = Ø, mais contrairement au cas parallèle, il n'existe aucun plan contenant les deux droites. C'est typiquement le cas de deux arêtes opposées d'un cube qui ne partagent ni sommet ni face.
📝 Théorème clé et sa démonstration
Voici un théorème fondamental régulièrement demandé au baccalauréat : soient A, B, C, D quatre points de l'espace tels que A, B et C ne soient pas alignés. Si la droite (CD) est parallèle à la droite (AB), alors le point D appartient au plan (ABC).
Démonstration : Les points A, B et C ne sont pas alignés, donc le plan (ABC) est bien défini. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc elles sont coplanaires : il existe un plan les contenant, et ce plan passe par A, B, C. C'est donc le plan (ABC). Puisque (CD) est incluse dans (ABC), le point D appartient à (ABC). CQFD.
Pour montrer que deux droites sont gauches, il faut prouver qu'elles n'ont pas de point commun ET qu'elles ne sont pas parallèles (directions non proportionnelles). Dans un repère, utiliser les vecteurs directeurs : si ces vecteurs ne sont pas colinéaires et si le système n'a pas de solution, les droites sont gauches.
La géométrie dans l'espace n'est pas une extension de la géométrie plane : c'est un univers nouveau où notre intuition visuelle doit être rééduquée, et où la démonstration rigoureuse remplace avantageusement l'évidence graphique.
Henri Lebesgue, mathématicien, Leçons sur les constructions géométriques (1950)
Position relative de deux plans dans l'espace 🏛️
Deux plans (P) et (P') de l'espace ne peuvent être que dans l'une de ces deux situations : soit ils se coupent (ils ont une droite en commun), soit ils sont parallèles (ils n'ont aucun point commun). Il n'existe pas de troisième cas, contrairement aux droites.
✂️ Plans sécants : une droite d'intersection
Si deux plans (P) et (P') se coupent, leur intersection est toujours une droite, notée (d). On écrit : (P) ∩ (P') = (d). Cette droite d'intersection est contenue dans chacun des deux plans. Pour la déterminer, il suffit de trouver deux points appartenant simultanément aux deux plans. Cette méthode est incontournable pour construire des sections planes dans les solides (pyramides, prismes, etc.).
↔️ Plans parallèles : aucun point commun
Deux plans sont strictement parallèles s'ils n'ont aucun point commun : (P) ∩ (P') = Ø. Pour démontrer que deux plans sont parallèles, le critère le plus utilisé est le suivant : si un plan contient deux droites sécantes parallèles respectivement à deux droites sécantes d'un autre plan, alors les deux plans sont parallèles. Ce critère permet de traiter efficacement les exercices sur les prismes et les cubes.
Configurations possibles entre deux droites de l'espace
Sécantes, parallèles, ou gauches - trois cas distincts à maitriser pour le baccalauréat de mathématiques
📐 Position relative d'une droite et d'un plan
Une droite (D) et un plan (P) peuvent se trouver dans trois configurations. Soit (D) est incluse dans (P) : tous les points de (D) appartiennent à (P). Soit (D) est parallèle à (P) : (D) n'a aucun point commun avec (P). Soit (D) est sécante à (P) : (D) coupe (P) en exactement un point. Dans ce dernier cas, si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, alors elle est perpendiculaire au plan tout entier - c'est la définition de la perpendiculaire à un plan, fondamentale pour les exercices de distances.
Méthodes pratiques pour les exercices du bac 🎯
La maîtrise des positions relatives ne se limite pas à la connaissance des définitions. Au bac, les questions portent souvent sur des démonstrations, des constructions ou des calculs qui mobilisent ces notions. Voici les stratégies qui permettent de traiter ces exercices avec efficacité.
🧮 Utiliser les vecteurs directeurs en repère
Dans un repère orthonormé, une droite est définie par un point et un vecteur directeur. Pour étudier la position relative de deux droites, on compare leurs vecteurs directeurs et on tente de résoudre le système d'équations paramétriques. Si les vecteurs directeurs u et v sont colinéaires (c'est-à-dire si u = k·v pour un réel k), les droites sont parallèles ou confondues. Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, on résout le système : une solution unique indique des droites sécantes, une incompatibilité indique des droites gauches.
✏️ Construire la section plane d'un solide
La construction de sections planes est une application directe des positions relatives entre plans. La méthode repose sur un principe simple : l'intersection de deux plans est une droite, et pour trouver cette droite, il suffit de trouver deux de ses points. Dans un prisme ou une pyramide, on identifie les faces du solide (chacune est contenue dans un plan), on cherche les intersections du plan sécant avec chaque face, et on relie les points obtenus. Les règles sur les plans parallèles permettent souvent de trouver des directions de tracé sans calcul.
📊 Tableau récapitulatif des positions relatives
Pour mémoriser efficacement l'ensemble des configurations, voici un récapitulatif structuré des cas possibles selon les objets considérés :
- Droite / Droite : sécantes (1 point commun), parallèles (0 point commun, coplanaires), gauches (0 point commun, non coplanaires),
- Droite / Plan : incluse dans le plan, parallèle au plan (0 point commun), sécante au plan (1 point commun),
- Plan / Plan : sécants (intersection = 1 droite), parallèles (0 point commun).
Foire Aux Questions ❓
🤔 Qu'est-ce que la position relative de deux droites dans l'espace ?
La position relative de deux droites dans l'espace décrit comment deux droites se situent l'une par rapport à l'autre. Trois cas existent : les droites sont sécantes (elles ont exactement un point commun), parallèles (coplanaires et sans point commun), ou gauches (non coplanaires et sans point commun). Ce dernier cas est spécifique à la géométrie de l'espace et n'a pas d'équivalent dans le plan.
🤔 Comment démontrer que deux droites sont gauches ?
Pour démontrer que deux droites sont gauches, il faut montrer deux choses simultanément : d'abord qu'elles ne sont pas parallèles (leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires), ensuite qu'elles n'ont pas de point commun (le système d'équations paramétriques est incompatible). L'absence de solution au système, combinée à la non-colinéarité des vecteurs directeurs, prouve que les droites sont gauches.
🤔 Combien de cas existent pour la position relative de deux plans ?
Il n'existe que deux cas pour la position relative de deux plans dans l'espace : soit les plans sont sécants (leur intersection est une droite), soit ils sont parallèles (ils n'ont aucun point commun). Contrairement aux droites, il n'y a pas de cas "gauche" pour les plans. Deux plans sont toujours soit parallèles, soit sécants.
🤔 Comment un plan est-il déterminé dans l'espace ?
Un plan dans l'espace est entièrement déterminé par l'une de ces trois conditions : trois points non alignés (A, B, C forment le plan ABC), deux droites coplanaires sécantes ou parallèles, ou une droite et un point extérieur à cette droite. Ces trois conditions sont équivalentes et permettent chacune de définir un unique plan.
🤔 Quelle est la difference entre droites paralleles et droites gauches ?
Les droites parallèles et les droites gauches n'ont toutes deux aucun point commun, mais elles diffèrent par leur relation à un plan commun. Des droites parallèles sont coplanaires : il existe un plan qui les contient toutes les deux, et leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Des droites gauches sont non coplanaires : aucun plan ne les contient simultanément, et leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Sources 📚
- Ministère de l'Education nationale. "Programme de mathématiques de première générale." Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019, Education nationale, 2019, https://www.education.gouv.fr/bo/19/Special1/MENE1901666A.htm.
- Ministère de l'Education nationale. "Annales du baccalauréat - Mathématiques Terminale générale." Annales zéro et sujets officiels, Eduscol, 2023, https://eduscol.education.fr/2137/annales-du-baccalaureat-general.
- Berger, Marcel. Géométrie - volumes 1 et 2. Cassini, Paris, 2009. (Référence universitaire fondamentale sur la géométrie euclidienne.)
- Sésamath. "Chapitre Géométrie dans l'espace - Première S." Manuel de mathématiques Sésamath Première S, Sésamath, 2011, https://www.sesamath.net/index.php?sesapage=manuels&rubrique=lycee&classe=premiere.
- Lebesgue, Henri. Leçons sur les constructions géométriques. Gauthier-Villars, Paris, 1950. (Ouvrage de référence historique sur les fondements de la géométrie.)
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