Les équations du second degré sont une partie importante du programme de mathématiques au lycée. Mais les équations ne servent pas que dans une seule matière : on les retrouve aussi en physique, en sciences de l'ingénieur et en économie par exemple.
L'équation du second degré est de la forme ax² + bx + c = 0. Attention, a doit toujours être différent de 0.
Pour la résoudre, il faut calculer le discriminant delta, qui se note Δ. La formule est Δ = b² − 4ac.
Trois cas sont possibles :
- Si Δ > 0 : L'équation possède deux solutions réelles distinctes ;
- Si Δ = 0 : L'équation possède une solution réelle double ;
- Si Δ < 0 : L'équation n'admet aucune solution réelle.
Les voici :
Voici un tableau récapitulatif :
| Signe du discriminant | Nombre de solutions réelles | Position de la courbe (parabole) |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 solutions réelles | La parabole coupe l'axe des abscisses en 2 points distincts. |
| Δ = 0 | 1 solution double | La parabole est tangente à l'axe des abscisses (1 seul point de contact). |
| Δ <0 | 0 solution réelle | La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses (entièrement au-dessus ou en dessous). |
Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?
Une équation est dite du second degré ou polynomiale de niveau 2 ou encore trinôme quand elle peut s'écrire de la forme ax² + bx + c = 0.
Dans cette équation, x est une variable inconnue à déterminer et a, b et c sont des nombres des réels fixes qui se nomment coefficients. Les solutions de l'équation se nomment les racines.
Voici les rôles de ces différents éléments :
- Le coefficient a : obligatoirementnon nul, c'est le facteur devant x2. Si jamais a était nul, l'équation ne serait plus du second mais du premier degré ;
- Le coefficient b : il s'agit du facteur devant x, son signe peut être positif, négatif ou encore nul ;
- Le coefficient c : on le nomme terme constant. Il représente la valeur de l'équation quand x = 0.
Le discriminant et ses implications
Pour résoudre une équation du second degré, l’outil le plus important est le discriminant. On le note avec la lettre Delta majuscule (Δ).
Calcul du discriminant dans une équation du second degré
Le discriminant est un nombre réel que l’on définit uniquement à partir des coefficients de l’équation du second degré.
Δ = b² - 4ac
Il se nomme ainsi car sa valeur permet de distinguer (donc discriminer) le nombre et la forme des solutions de l’équation. Le tout sans avoir besoin de tracer un graphique.
Cas particuliers selon le discriminant
Le signe de Δ détermine la présence mais aussi le type des solutions. Voici les différents cas :
- Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes ;
- Δ = 0 : une solution réelle double ;
- Δ < 0 : pas de solution réelle.
Ces cas se traduisent aussi différemment au niveau de la courbe représentative de l’équation :
- Δ > 0 : la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts ;
- Δ = 0 : la parabole touche l’axe des abscisses en un seul point qui est aussi son sommet ;
- Δ < 0 : la parabole ne croise jamais l’axe des abscisses.
Méthodes de résolution des équations du second degré
Il existe plusieurs méthodes pour tenter de résoudre une équation du second degré. La méthode la plus utilisée est celle du discriminant mais d’autres techniques existent aussi et sont parfois plus simples à mettre en place selon la forme de l’équation.
Utilisation de la formule du discriminant
Cette méthode est la plus connue et fonctionne avec absolument toutes les équations du second degré.
Elle s’applique en 3 étapes simples.
- Calculer Δ grâce à la formule Δ = b² − 4ac ;
- Analyser le signe de Δ ;
- Appliquer la formule selon le cas.
Pour les formules à appliquer, cela dépendra du signe de Δ :
Factorisation d’une équation du second degré
Dans le cas où les deux racines sont connues ou semble évidentes, on peut factoriser l’équation P(x) = ax2 + bx + c sous la forme :
- Si Δ>0 : P(x) = a(x−x1)(x−x2) ;
- Si Δ=0 : P(x) = a(x−x0)2 ;
- Si Δ<0 : Le trinôme ne peut pas être factorisé.
Par exemple, si b = 0 ou c = 0, alors le calcul du discriminant n’est pas nécessaire. Pour 3x2 - 12 = 0, on trouve directement x2 = 4 donc x = 2 ou x = -2.
Si la manipulation des identités remarquables ou le repérage des facteurs communs vous posent des difficultés, être accompagné par un enseignant pédagogique permet de débloquer rapidement ces blocages. N'hésitez pas à consulter les profils disponibles pour prendre des cours particuliers de mathématiques sur Superprof afin d'assimiler ces réflexes.
Complétion du carré
La technique de complétion du carré est une technique qui consiste à faire apparaître le début d’une identité remarquable du type (x + E)2 = x2 + 2Ex + E2 afin d’isoler la variable x.
Prenons un exemple guidé : Résolvons l’équation x2 - 6x + 5 = 0.
- On repère que x2 - 6x est le début de (x-3)2 = x2 - 6x + 9 ;
- On réécrit donc l’expression : x2 - 6x = (x-3)2 - 9 ;
- On remplace dans l’équation (x-3)2 - 9 + 5 = 0 ⟹ (x-3)2 - 4 = 0 ;
- On reconnaît maintenant la forme d’une différence de deux carrés A2 - B2 = (A-B)(A+B) : ((x-3)-2)((x-3)+2 = 0 ⟹ (x-5)(x-1) = 0
- Les solutions sont donc x = 5 et x = 1.
Exemples de résolution d’une équation de second degré
Pour bien comprendre ces notions et avoir des exemples concrets, nous allons voir comment résoudre les équations dans les 3 cas différents du discriminant.
Exemple avec Δ > 0
Résolvons l’équation x2 - 3x - 10 = 0.
1. Identification des coefficients :
a = 1 ; b = -3 et c = -10.
2. Calcul du discriminant :
Δ = b2 - 4 ac = (-3)2 -4(1)(-10) = 9 + 40 = 49
3. Analyse du résultat :
Δ = 49 > 0. L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes :
Les solutions sont donc -2 et 5. On les note comme ceci :
Exemple avec Δ = 0
Résolvons l’équation suivante : 4x2 - 12x + 9 = 0.
1. Identification des coefficients :
a = 4 ; b = -12 et c = 9
2. Calcul du discriminant :
Δ = b2 - 4 ac = (-12)2 -4(4)(9) = 144 - 144 = 0
3. Analyse du résultat :
Δ = 0. L’équation admet donc une solution réelle double que l'on nomme x0 :
La solution est donc l'ensemble suivant :
Exemple avec Δ < 0
Résolvons l'équation 2x2 + 2x + 5 = 0.
1. Identification des coefficients :
a = 2 ; b = 2 et c = 5
2. Calcul du discriminant :
Δ = b2 - 4 ac = (2)2 -4(2)(5) = 4 - 40 = -36
3. Analyse du résultat :
Δ = −36 < 0. L'équation n'admet donc aucune solution dans ℝ.
Le discriminant étant négatif, la parabole ne rencontre jamais l'axe des abscisses : elle « flotte » entièrement au-dessus. Son sommet, marqué par le point rose, se situe en (−1/2 ; 4,5), c'est-à-dire à une hauteur minimale de 4,5 — toujours strictement positive. Concrètement, aucun nombre réel x ne peut rendre l'expression nulle : dans ℝ, l'équation n'a pas de solution et S = ∅. C'est la traduction graphique de Δ < 0.
La valeur −1/2 est commune au sommet de la parabole et aux deux racines
On peut cependant remarquer que dans l'ensemble des nombres complexes ℂ, l'équation possède deux solutions distinctes :
Les deux points roses sont symétriques par rapport à l'axe des réels : ce sont des nombres complexes conjugués, situation systématique lorsque a, b et c sont réels et Δ < 0. Ils partagent la même partie réelle −1/2, qui n'est autre que −b/2a, l'abscisse du sommet de la parabole du visuel précédent ; seule leur partie imaginaire, ±3/2, les distingue.
Exercices sur les équations de second degré avec solutions
Maintenant que vous savez tout sur les équations du second degré, exercez-vous avec ces trois exercices corrigés.
Exercice 1 : Application directe
Résoudre dans ℝ l'équation : x2 − 5x + 6 = 0.
- Coefficients : a = 1 ; b = −5 ; c = 6.
- Discriminant : Δ = (−5)2 − 4 (1)(6) = 25 − 24 = 1.
- Solutions : Δ>0, donc deux racines réelles :
L'ensemble des solution est donc :
Exercice 2 : Équation incomplète sans passer par Δ
Résoudre dans ℝ l'équation : x2 − 8x = 0.
Comme le terme constant est nul (c = 0), il est plus rapide de factoriser directement par x.
- Factorisation : 2x (x−4) = 0.
- Propriétédu produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
- Solutions :
2x = 0 ⟹ x = 0
x−4 = 0 ⟹ x = 4
L'ensemble des solution est donc :
S = \{0 ; 4\}
Exercice 3 : Détermination d'un paramètre
Pour quelle(s) valeur(s) du réel m l'équation x2 − mx + 9 = 0 admet-elle une unique solution réelle ?
- Condition : une équation du second degré possède une unique solution double si et seulement si son discriminant est nul (Δ=0).
- Calcul de Δ : Δ = (−m)2 − 4 (1) (9) = m2 − 36.
- Résolution de Δ=0 : m2−36 = 0 ⟹ m2 = 36 ⟹ m = 6 ou m = −6.
- Conclusion : L'équation admet une solution unique si m=6 ou m=−6.
📐 Forme standard : Toute équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec la condition fondamentale que a n'est pas nul.
🧮 Le discriminant Δ : Il se calcule avec la formule Δ = b² − 4ac et dicte la nature des racines.
🟢 Si Δ>0 : Il existe deux solutions réelles distinctes
🟡 Si Δ=0 : Il existe une solution réelle double
🔴 Si Δ<0 : Il n'y a aucune solution dans ℝ (mais deux solutions complexes dans ℂ).
⚡ Gagner du temps : Pensez à vérifier les racines évidentes ou à factoriser directement si b = 0 ou c = 0 sans calculer le discriminant.
Maîtriser le calcul du discriminant et les méthodes de factorisation demande un peu d'entraînement. Si vous souhaitez surmonter vos difficultés, préparer un devoir surveillé ou consolider vos bases, prendre des cours particuliers de mathématiques sur Superprof avec un professeur qualifié est un excellent moyen de progresser à votre rythme.
Sources
- Éduscol. "Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique." Éduscol, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, https://eduscol.education.gouv.fr/1723/programmes-et-ressources-en-mathematiques-voie-gt. Consulté le 6 août 2026.
- APMEP. "Ressources et séquences pédagogiques sur le trinôme du second degré." Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, https://www.apmep.fr/Mathematiques-au-lycee. Consulté le 6 août 2026.
- Académie de Versailles. "Fiche de synthèse : Équations du second degré et discriminant." Ressources pédagogiques de Mathématiques, https://www.maths.ac-versailles.fr. Consulté le 6 août 2026.
Résumer avec l'IA :
Vous avez aimé cet article ? Notez-le !
Loading...
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
Très merveilleuse les mathématiques vraiment j’aimerais être forte en maths
que vient faire la formule du phénol au milieu des calculs???pour faire plus savant ?
Bonjour ! Pour un soutien sur mesure, découvrez nos formateurs sur Superprof. Ils sont prêts à vous aider selon vos besoins pour atteindre vos objectifs. Contactez-les pour commencer votre parcours personnalisé ! Bonne journée. :)
Aide moi comment résoudre ax2+bx+c=0 en utilisant la méthode de résolution par factorisation
Bonjour ! Rencontrez nos formateurs qualifiés sur Superprof, qui sont là pour vous proposer un soutien personnalisé. Excellente journée à vous ! :)
Quel est la formule de la méthode d’identification aidez moi
J’adore 👍 cette article.
Aidé moi à traité certains exercices
Les quels