Le cercle trigonométrique tient dans la paume de la main, et pourtant il contient toute la trigonométrie du programme de première ! Une fois que ce petit cercle de rayon 1 devient familier, le cosinus, le sinus et les angles cessent d'être des symboles abstraits pour enfin devenir des repères concrets.
La trigonométrie de première prolonge ce que l'on connaît déjà du triangle rectangle, mais elle change d'échelle : on quitte les degrés pour adopter le radian.
Aussi, on apprend à mesurer des angles qui dépassent allègrement les
Voici les notions, les formules et les méthodes qui reviennent le plus souvent en contrôle, expliquées pas à pas avec des exemples chiffrés !
Le cercle trigonométrique, la base de tout ⭕
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, tracé dans un repère orthonormé.
On choisit un sens de parcours : le sens direct (ou positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est sur ce cercle que se lit toute la trigonométrie du programme.
À chaque réel x, on associe un point M du cercle obtenu en parcourant une longueur x le long du cercle à partir du point de coordonnées (1 ; 0).
Comme le rayon vaut 1, cette longueur correspond exactement à la mesure de l'angle en radians. C'est ce lien entre une distance parcourue et un angle qui rend le cercle si pratique.
Les coordonnées du point M sont alors (cos x ; sin x) : l'abscisse de M donne le cosinus, l'ordonnée donne le sinus. Cette définition géométrique reste valable pour n'importe quelle valeur de x, y compris négative ou supérieure à un tour complet.
Avec un rayon de 1, le cosinus et le sinus se lisent directement comme des coordonnées, sans aucun calcul de proportion. C'est la même logique que dans le triangle rectangle, où cos = adjacent / hypoténuse : ici l'hypoténuse vaut 1, donc le côté adjacent vaut directement le cosinus.
Le radian : mesurer un angle autrement 📐
Jusqu'en seconde, les angles se mesuraient en degrés. En première, on introduit une nouvelle unité, le radian, mieux adaptée au cercle trigonométrique. Un radian correspond à l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle.
La conversion repose sur une équivalence à retenir : un tour complet vaut
ou 2π radians.
On en déduit qu'un angle plat de 180° vaut π radians, et qu'un angle droit de 90° vaut π/2 radians.
Pour passer d'une unité à l'autre, on utilise une simple proportionnalité. Pour convertir un angle de degrés en radians, on multiplie par π/180. Pour l'inverse, on multiplie par 180/π. Quelques valeurs reviennent constamment, alors autant les connaître par cœur :
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
Pour ancrer la conversion, prenons l'exemple de 45°. En multipliant par π/180, on obtient 45 × π/180 = π/4 radians. À l'inverse, un angle de π/3 radians vaut π/3 × 180/π = 60°. Avec un peu d'entraînement, ces passages deviennent automatiques.
Avant chaque calcul, vérifiez le mode de ta calculatrice : RAD pour les radians, DEG pour les degrés. Une erreur de mode fausse tous vos résultats de cosinus et de sinus, et c'est le piège numéro 1 en contrôle de première !
Cosinus et sinus : définitions et propriétés 📊
Pour tout réel x, le cosinus et le sinus sont définis comme les coordonnées du point associé à x sur le cercle trigonométrique. Le cosinus est l'abscisse, le sinus est l'ordonnée. Deux conséquences immédiates en découlent et structurent tous les exercices :
- D'abord, le cosinus et le sinus sont toujours compris entre -1 et 1, puisqu'un point du cercle ne peut pas sortir du carré qui l'entoure. On écrit
-1 ≤ cos x ≤ 1et-1 ≤ sin x ≤ 1. Aucune valeur de cosinus ou de sinus ne dépassera jamais ces bornes. - Ensuite, le théorème de Pythagore appliqué au point du cercle donne la relation fondamentale de la trigonométrie :
cos²x + sin²x = 1. Cette égalité est valable pour tout réel x et permet de retrouver un sinus à partir d'un cosinus, ou l'inverse, quand on connaît le signe attendu.
À mémoriser absolument :
valeurs remarquables de cosinus et de sinus suffisent à résoudre la grande majorité des exercices de trigonométrie de première (Source : Éduscol, programme de mathématiques, 2019)
✨ Les valeurs remarquables à connaître
Certaines valeurs de cosinus et de sinus reviennent sans cesse et doivent être disponibles en mémoire. Elles correspondent aux angles les plus courants exprimés en radians :
cos 0 = 1etsin 0 = 0cos(π/6) = √3/2etsin(π/6) = 1/2cos(π/4) = √2/2etsin(π/4) = √2/2cos(π/3) = 1/2etsin(π/3) = √3/2cos(π/2) = 0etsin(π/2) = 1
Pour le sinus, écrivez dans l'ordre √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 pour les angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2. Pour le cosinus, c'est exactement la même liste lue à l'envers ! Cette symétrie reflète une vraie propriété du cercle.
C'est quoi la formule en trigonométrie ? 🧮
Quand on parle de "la formule" de trigonométrie en première, on désigne le plus souvent la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1, qui sert de point d'appui à tous les calculs. Autour d'elle gravitent des formules de symétrie qui relient les valeurs d'angles associés. Elles évitent d'apprendre une infinité de valeurs en nous ramenant toujours aux valeurs remarquables !
Les angles opposés donnent cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x : le cosinus est une fonction paire, le sinus une fonction impaire. Cette différence se lit directement sur le cercle, par symétrie autour de l'axe horizontal.
La trigonométrie figure parmi les notions structurantes du programme de mathématiques de première générale, car elle prépare l'analyse des fonctions et l'étude des nombres complexes.
Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques de première générale, Éduscol (2019)
Pour les angles supplémentaires et les angles liés à π, on retient
relations très utiles.
Elles permettent de calculer le cosinus ou le sinus de presque n'importe quel angle du programme :
cos(π - x) = -cos xetsin(π - x) = sin xcos(π + x) = -cos xetsin(π + x) = -sin xcos(π/2 - x) = sin xetsin(π/2 - x) = cos xcos(π/2 + x) = -sin xetsin(π/2 + x) = cos x
Concrètement, pour calculer cos(5π/6), on remarque que 5π/6 = π - π/6, donc cos(5π/6) = -cos(π/6) = -√3/2. Ramener un angle inconnu à un angle remarquable est le réflexe central de la trigonométrie de première !
Les coordonnées polaires d'un point 🎯
Dans un repère, un point peut se repérer de
manières complémentaires :
- Les coordonnées cartésiennes donnent les projetés sur chaque axe, sous la forme d'un couple
(a ; b) - Les coordonnées polaires donnent la distance r du point à l'origine et l'angle θ formé avec l'axe horizontal
Le passage entre les deux systèmes s'appuie directement sur la trigonométrie. À partir des coordonnées polaires, on retrouve les cartésiennes avec a = r cos θ et b = r sin θ. La distance r se calcule par le théorème de Pythagore : r = √(a² + b²).
Cette double lecture éclaire le sens profond du cosinus et du sinus : ce sont les outils qui traduisent un angle en coordonnées et inversement. C'est aussi la porte d'entrée vers les nombres complexes, étudiés plus tard, où chaque point du plan se décrit par un module et un argument, exactement comme r et θ.
Comment réviser efficacement la trigonométrie de première ? 📝
Les équations trigonométriques de type cos x = a ou sin x = a sont une application directe du cours. Pour les résoudre, on cherche d'abord une solution évidente parmi les valeurs remarquables, puis on utilise les symétries du cercle pour trouver les autres solutions sur un intervalle donné.
La méthode la plus solide reste le tracé. Refaire le cercle à la main, y placer les angles remarquables et leurs cosinus-sinus transforme une liste de formules en une image cohérente. Beaucoup de réponses se lisent alors directement sur la figure, sans calcul.
La trigonométrie figure parmi les notions structurantes du programme de première générale, car elle prépare l'analyse des fonctions et l'étude des nombres complexes. La maîtriser dès maintenant représente un vrai investissement pour la terminale.
Tracez votre cercle, mémorisez les cinq valeurs remarquables, et le reste suivra naturellement. Vous avez déjà toutes les cartes en main pour réussir vos prochains contrôles !
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme de mathématiques de première générale." Éduscol, 2019, https://eduscol.education.fr/document/24001/download.
- Ministère de l'Éducation nationale. "Mathématiques : enseignement de spécialité, classe de première." Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019, 2019, https://www.education.gouv.fr/bo/19/Special1/MENE1901633A.htm.
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