Une fonction notée f(x), le nombre e, la lettre Σ pour une somme, la loi normale, la formule de Bayes : vous manipulez chaque semaine des outils forgés il y a près de trois cents ans.
Les mathématiciens des Lumières ont transformé une invention récente, le calcul infinitésimal, en une langue universelle capable de décrire le mouvement des planètes, les cordes vibrantes ou les jeux de hasard.
Les mathématiques au XVIIIe siècle, c’est l’histoire d’une poignée de savants dispersés entre Bâle, Berlin, Saint-Pétersbourg, Londres et Paris, qui s’écrivent, se lisent, se contredisent… et inventent ensemble une bonne partie de votre programme. Voici qui ils étaient, où ils travaillaient et ce qu’ils vous ont laissé.
| Année | Événement | Mathématicien |
|---|---|---|
| 1700 | Fondation de l'Académie de Berlin, sous l'impulsion de Leibniz | Leibniz |
| 1713 | Publication posthume de l'Ars Conjectandi (loi des grands nombres) | Jacques Bernoulli |
| 1718 | The Doctrine of Chances | Abraham de Moivre |
| 1727 | Euler arrive à Saint-Pétersbourg ; notation e | Leonhard Euler |
| 1733 | Approximation de la loi binomiale par une courbe en cloche | Abraham de Moivre |
| 1734 | Notation f(x) | Leonhard Euler |
| 1735 | Mémoire sur les ponts de Königsberg (publié en 1741) | Leonhard Euler |
| 1736-1737 | Expédition de Laponie | Alexis Clairaut |
| 1738 | Hydrodynamica | Daniel Bernoulli |
| 1741 | Euler part pour Berlin | Leonhard Euler |
| 1743 | Traité de dynamique ; Théorie de la figure de la Terre | d'Alembert ; Clairaut |
| 1747 | Équation des cordes vibrantes | d'Alembert |
| 1751 | Premier volume de l'Encyclopédie et Discours préliminaire | d'Alembert |
| 1755 | Notation Σ | Leonhard Euler |
| 1756-1759 | Traduction des Principia | Émilie du Châtelet |
| 1759 | Retour de la comète de Halley, prédit par Clairaut | Alexis Clairaut |
| 1764 | Publication posthume de l'essai de Bayes | Thomas Bayes |
| 1766 | Lagrange succède à Euler à Berlin ; Euler retourne à Saint-Pétersbourg | Lagrange ; Euler |
| 1777 | Notation i ; naissance de Gauss | Euler ; Gauss |
| 1785 | Essai sur la probabilité des décisions (paradoxe de Condorcet) | Condorcet |
| 1788 | Mécanique analytique | Lagrange |
| 1795 | Cours de Laplace à l'École normale | Laplace |
| 1799 | Premiers volumes du Traité de mécanique céleste | Laplace |
Le XVIIIe siècle, âge d’or du calcul
Pourquoi parler d’un âge d’or ? Parce que les savants du XVIIIe siècle disposent d’un outil neuf, le calcul infinitésimal, et d’un réseau européen pour le perfectionner. Académies, revues savantes et lettres font circuler les idées plus vite que jamais. Voyons d’où vient cet outil et comment fonctionnait ce réseau de savants.
L’héritage de Newton et Leibniz
Le siècle s’ouvre sur un héritage encore tout chaud. À la fin du XVIIe siècle, Leibniz publie sa méthode différentielle (1684) et Newton ses Principia (1687).
Les deux hommes ont inventé, chacun de leur côté, le calcul infinitésimal : un outil pour raisonner sur des grandeurs qui varient de manière continue. Une querelle de priorité les oppose violemment, mais sur le continent, c’est la notation de Leibniz (dx, ∫) qui s’impose. Elle est si commode qu’elle permet à ses successeurs d’aller beaucoup plus loin que ses inventeurs.
Tout l’enjeu des mathématiques au XVIIIe siècle est là : exploiter cette nouvelle machine à calculer. On ne se contente plus de démontrer des théorèmes de géométrie, on cherche à mettre le monde en équations.
Les académies et la correspondance savante
Cette effervescence repose sur des institutions.
1666
L’Académie royale des sciences de Paris
1700
L'Académie royale des sciences de Prusse, aujourd'hui Académie des sciences de Berlin-Brandenbourg
1724
L'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg
Ces académies paient des savants à plein temps, publient leurs mémoires et organisent des concours dotés de prix qui orientent la recherche.
Entre deux publications, les idées circulent par lettres. Les mathématiciens européens entretiennent des correspondances considérables. C’est dans une lettre de 1742 que Christian Goldbach soumet à Euler la conjecture qui porte encore son nom et qui n’est toujours pas démontrée.
En France, on fait le plus souvent commencer les Lumières à la mort de Louis XIV (1715) et on les arrête à la Révolution (1789). Le mot désigne moins une période qu’une attitude : soumettre toute affirmation, y compris celles de l’autorité ou de la tradition, à l’examen de la raison critique. En 1784, le philosophe Emmanuel Kant résume cet état d’esprit par une devise latine, Sapere aude : « Ose savoir ». Les mathématiques, science de la démonstration, deviennent le modèle de cette raison.
Bâle, berceau d’une dynastie : des Bernoulli à Euler
Si une ville résume les mathématiques du XVIIIe siècle, c’est Bâle. Cette cité suisse voit naître une famille de mathématiciens, les Bernoulli, puis leur élève le plus célèbre, Leonhard Euler1. De maître à élève, le calcul de Leibniz y devient une méthode puissante, que ces savants diffusent ensuite dans toute l’Europe.
Jacques et Jean Bernoulli
Une ville suisse de taille modeste a fourni à l’Europe plusieurs de ses plus grands mathématiciens. À Bâle, Jacques Bernoulli (1655-1705) compte parmi les premiers à maîtriser le calcul de Leibniz. Son Ars Conjectandi, publié en 1713 après sa mort, contient la première démonstration de la loi des grands nombres.
Son frère cadet Jean Bernoulli (1667-1748), avec qui il finit brouillé, lui succède à la chaire de Bâle. Excellent pédagogue, il enseigne le calcul au marquis de L’Hôpital, auteur du premier manuel du genre en 1696. Son fils Daniel Bernoulli publie en 1738 Hydrodynamica, fondatrice de la mécanique des fluides.
Leonhard Euler, l’élève devenu maître
Né à Bâle en 1707, Leonhard Euler entre à l’université à quatorze ans. Jean Bernoulli refuse de lui donner des cours particuliers, mais accepte de le recevoir le dimanche après-midi pour répondre à ses questions.
Le maître repère vite le talent de l’élève. Euler rejoint Saint-Pétersbourg en 1727, part pour Berlin en 1741, puis revient en Russie en 1766, où il meurt en 1783. Devenu presque aveugle, il dicte ses travaux et en produit près de la moitié après son retour.
travaux (livres, articles, quelques lettres) dans son index de l’œuvre d’Euler, numérotés de E1 à E866 (2).
On lui doit des avancées en analyse, en théorie des nombres, en mécanique et même la naissance d’un domaine nouveau. En s’attaquant au problème des sept ponts de Königsberg (mémoire rédigé en 1735, publié en 1741), il pose les bases de ce qu’on appellera la théorie des graphes, aujourd’hui au cœur de l’informatique.
Le hasard mis en équations
Peut-on calculer ce qui relève du hasard ? Au XVIIIe siècle, trois savants répondent oui, chacun à sa manière. Moivre découvre la courbe en cloche, Bayes raisonne sur les causes d’un événement observé, Laplace rassemble le tout en une théorie cohérente. Les probabilités que vous étudiez au lycée sont nées de leurs travaux.
Moivre et la courbe en cloche
Les probabilités sont nées au siècle précédent autour des jeux de dés. Au XVIIIe siècle, elles deviennent une vraie théorie mathématique.
Abraham de Moivre3 (1667-1754), protestant né en Champagne, s’exile à Londres après la révocation de l’édit de Nantes. Il y gagne sa vie comme précepteur et publie en 1718 The Doctrine of Chances. En 1733, il montre que la loi binomiale, pour un grand nombre d’épreuves, peut être approchée par une courbe en cloche : la future loi normale.
Bayes et la probabilité des causes
En Angleterre toujours, le pasteur presbytérien Thomas Bayes (vers 1702-1761) s’intéresse à une question inverse : à partir d’événements observés, que peut-on dire de leur cause ?
Son essai, envoyé à la Royal Society par son ami Richard Price après sa mort, paraît dans les Philosophical Transactions en 1764. Il est à l’origine de ce que vous appelez la formule de Bayes.
Laplace, la synthèse
En France, Pierre-Simon Laplace4 (1749-1827) reprend ces idées dès les années 1770 et les systématise. Sa Théorie analytique des probabilités (1812) et son Essai philosophique sur les probabilités (1814), tiré d’un cours donné à l’École normale en 1795, font la synthèse du siècle. Il est aussi l’auteur du Traité de mécanique céleste, dont les premiers volumes paraissent en 1799.
Paris et l’Encyclopédie
Au milieu du siècle, Paris devient l’un des grands centres de la vie intellectuelle européenne. Les mathématiciens y fréquentent l’Académie des sciences, les salons et les auteurs de l’Encyclopédie. Ils mesurent la Terre, prédisent le retour d’une comète, traduisent Newton ou appliquent le calcul au vote. Voici les principales figures de cette scène parisienne.
D’Alembert, mathématicien de l’Encyclopédie
À Paris, les mathématiques se mêlent au grand projet intellectuel du siècle : l’Encyclopédie. Jean Le Rond d’Alembert5 (1717-1783) en dirige la partie mathématique aux côtés de Diderot et rédige le Discours préliminaire qui ouvre le premier volume en 1751.
Il est aussi l’auteur d’un Traité de dynamique (1743) et publie en 1747 l’équation des cordes vibrantes, ou équation des ondes.
Il n’y a, pour parler exactement, que celles qui traitent du calcul des grandeurs […] qu’on puisse regarder comme marquées au sceau de l’évidence.
Jean Le Rond d’Alembert, Discours préliminaire de l’Encyclopédie, 1751
Clairaut, Émilie du Châtelet, Condorcet
Alexis Clairaut6 (1713-1765) participe en 1736-1737 à l’expédition de Laponie, qui confirme l’aplatissement de la Terre aux pôles prévu par Newton. En 1758, il annonce le retour de la comète de Halley pour le printemps suivant : elle passe au plus près du Soleil en mars 1759, à un mois près de sa prédiction.
Clairaut accompagne aussi Émilie du Châtelet (1706-1749) dans sa traduction des Principia de Newton. Elle y travaille jusqu’à sa mort, en 1749. Une partie paraît en 1756, l’ensemble en 1759.
Nicolas de Condorcet (1743-1794), secrétaire de l’Académie des sciences, applique les probabilités aux votes dans un essai de 1785. Il y décrit le paradoxe qui porte son nom : une majorité peut préférer A à B, B à C… et C à A.
Lagrange, de Turin à Paris
Né à Turin en 1736, Joseph-Louis Lagrange succède à Euler à l’Académie de Berlin en 1766, puis s’installe à Paris en 1787. Sa Mécanique analytique (1788) reformule toute la mécanique sans aucune figure, par le seul calcul. Il présidera la commission chargée du système métrique.
Gauss, le passage de relais
Le siècle se referme sur un génie qui appartient déjà au suivant. Carl Friedrich Gauss naît à Brunswick en 1777. Avant ses 21 ans, il montre que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas, un problème resté ouvert depuis l’Antiquité. Ses Disquisitiones Arithmeticae (1801) refondent la théorie des nombres.
La même année, il calcule l’orbite de Cérès, un astre perdu de vue peu après sa découverte : on le retrouve presque exactement là où il l’avait prévu. Sa méthode des moindres carrés, et la courbe en cloche qu’on appelle aujourd’hui « gaussienne », prolongent directement les travaux de Moivre et de Laplace.
| Mathématicien | Dates | Ville(s) | Apport majeur | Où vous le rencontrez |
|---|---|---|---|---|
| Jacques Bernoulli | 1655-1705 | Bâle | Loi des grands nombres (Ars Conjectandi, 1713) | Lycée (probabilités, échantillonnage) |
| Jean Bernoulli | 1667-1748 | Bâle | Diffusion du calcul de Leibniz ; maître d'Euler | Prépa (règle de L'Hôpital) |
| Abraham de Moivre | 1667-1754 | Vitry-le-François, Londres | Approximation de la loi binomiale par la loi normale (1733) | Lycée, prépa (loi normale) |
| Thomas Bayes | v. 1702-1761 | Londres, Tunbridge Wells | Probabilité des causes (essai publié en 1764) | Lycée (probabilités conditionnelles), informatique (IA) |
| Émilie du Châtelet | 1706-1749 | Paris, Cirey | Traduction des Principia de Newton (1756-1759) | Culture scientifique |
| Leonhard Euler | 1707-1783 | Bâle, Saint-Pétersbourg, Berlin | Notations f(x), e, i, Σ ; théorie des graphes | Lycée, maths expertes, NSI, prépa |
| Alexis Clairaut | 1713-1765 | Paris | Figure de la Terre (1743) ; retour de la comète de Halley (1759) | Physique, culture scientifique |
| Jean Le Rond d'Alembert | 1717-1783 | Paris | Traité de dynamique (1743) ; équation des ondes (1747) ; Encyclopédie | Prépa, physique (ondes) |
| Joseph-Louis Lagrange | 1736-1813 | Turin, Berlin, Paris | Mécanique analytique (1788) ; système métrique | Prépa (multiplicateurs de Lagrange, mécanique) |
| Nicolas de Condorcet | 1743-1794 | Paris | Probabilités appliquées au vote ; paradoxe de Condorcet (1785) | Lycée (EMC, maths), sciences politiques |
| Pierre-Simon Laplace | 1749-1827 | Beaumont-en-Auge, Paris | Théorie analytique des probabilités (1812) ; Mécanique céleste (dès 1799) | Lycée (probabilités), prépa |
| Carl Friedrich Gauss | 1777-1855 | Brunswick, Göttingen | Disquisitiones Arithmeticae (1801) ; moindres carrés ; orbite de Cérès | Lycée (courbe de Gauss), prépa |
Ce que vous utilisez encore aujourd’hui
Ces travaux ne relèvent pas seulement de l’histoire. Les symboles, les lois et les méthodes inventés au XVIIIe siècle se retrouvent dans votremanuel, dans vos copies d’examen et dans les logiciels que vous utilisez. Voici ce que les mathématiciens des Lumières vous ont légué, notation par notation, notion par notion.
Des notations nées au XVIIIe siècle
Ouvrez votre manuel : Euler est partout.
C’est lui qui introduit :
- La notation f(x) pour une fonction (1734)
- La lettre e pour la base des logarithmes naturels (1727)
- Le symbole Σ pour la somme (1755)
- La lettre i pour la racine carrée de −1 (1777)
- Il popularise aussi la lettre π.
Ces choix ont survécu parce qu’ils rendent les calculs lisibles.
Probabilités, loi normale et graphes
En spécialité mathématiques, les probabilités conditionnelles et la formule de Bayes descendent directement des réflexions de Bayes et de Laplace sur la « probabilité des causes ». La loi des grands nombres de Jacques Bernoulli justifie qu’une fréquence observée sur un grand échantillon approche une probabilité.
La loi normale, entrevue par Moivre, est au cœur des statistiques. Quant aux graphes d’Euler, vous les retrouvez en option mathématiques expertes, en NSI et dans tous les algorithmes de calcul d’itinéraire.
Si vous préparez votre Grand oral, ces mathématiciens des Lumières offrent des sujets idéaux : ils relient une notion du programme à une histoire humaine, faite de rivalités, d’exils et de lettres échangées à travers l’Europe.
Sources
- Euler, Leonhard. « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis » (E53). Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 8, 1741, p. 128-140. Euler Archive, University of the Pacific, https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/53/. Consulté le 17 octobre 2026
- Eneström, Gustaf. « The Eneström Index ». Traduit par Greta Perl, Euler Archive, https://faculty.washington.edu/etou/euler/indexes/enestrom.html. Consulté le 17 octobre 2026
- O’Connor, John J., et Edmund F. Robertson. « Abraham de Moivre ». MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre/. Consulté le 17 octobre 2026
- O’Connor, John J., et Edmund F. Robertson. « Pierre-Simon Laplace ». MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Laplace/. Consulté le 17 octobre 2026
- d’Alembert, Jean Le Rond. « Discours préliminaire des éditeurs ». Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, t. 1, Briasson, David, Le Breton, Durand, 1751. Gallica, Bibliothèque nationale de France, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k50533b.texteImage. Consulté le 17 octobre 2026
- O’Connor, John J., et Edmund F. Robertson. « Alexis Clairaut ». MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Clairaut/. Consulté le 17 octobre 2026
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