Lancez une pièce dix fois : vous obtiendrez peut-être sept « pile ». Lancez-la dix mille fois : la proportion de « pile » sera très proche de la moitié. Cette intuition porte un nom, la loi des grands nombres, et un auteur : Jacques Bernoulli, mathématicien bâlois qui mit vingt ans à la démontrer.
Voici le portrait de l'homme, puis ce que sa découverte signifie concrètement pour vous, au lycée comme ailleurs.
6 janvier 1655-16 août 1705 à Bâle (Suisse)
Professeur de mathématiques à l'université de Bâle (1687–1705)
Ars Conjectandi (posthume, 1713)
Loi des grands nombres, loi de Bernoulli, nombres de Bernoulli, constante e
Une famille de génies à Bâle
Jacques Bernoulli naît à Bâle en 1655, dans une famille de négociants d'origine anversoise1. Son père, Nicolas, le destine à la théologie : Jacques obéit, obtient son diplôme de théologie en 1676, mais étudie en cachette les mathématiques et l'astronomie. Il choisit pour devise Invito patre sidera verso, « contre la volonté de mon père, j'étudie les astres ».
De 1676 à 1683, il voyage en France, aux Pays-Bas et en Angleterre, où il rencontre Robert Boyle et Robert Hooke. De retour à Bâle, il obtient en 1687 la chaire de mathématiques de l'université, qu'il occupe jusqu'à sa mort en 1705.
La famille Bernoulli compte au moins huit mathématiciens sur trois générations, d'où de fréquentes confusions.
Le « théorème de Bernoulli » de physique, sur la pression dans les fluides, est l'œuvre de Daniel, le neveu. La loi des grands nombres et la loi de Bernoulli en probabilités sont dues à Jacques.
Le calcul de Leibniz et la rivalité fraternelle
En 1684, Leibniz publie dans la revue Acta Eruditorum un article de six pages sur un nouveau calcul, le calcul différentiel. Le texte est si dense que peu de lecteurs le comprennent. Jacques s'y attelle et écrit à Leibniz en 1687 pour obtenir des explications. La réponse arrive trois ans plus tard : entre-temps, Jacques et son jeune frère Jean ont percé la méthode seuls. En 1690, Jacques emploie même le mot « intégral » dans son sens mathématique.
Jacques a lui-même formé Jean aux mathématiques. L'élève devient vite un rival, et la complicité tourne à l'aigreur.
Le point culminant est la brachistochrone : en 1696, Jean met les savants d'Europe au défi de trouver la courbe le long de laquelle une bille descend le plus vite d'un point à un autre. Jacques la résout, comme Leibniz, Newton et L'Hôpital.
Il réplique aussitôt par un problème plus difficile, dit isopérimétrique, que Jean traite de façon incomplète. S'ensuivent des années de piques publiques, au point que l'Académie des sciences de Paris invite les deux frères à modérer leurs polémiques. De cette querelle naît pourtant une nouvelle branche des mathématiques : le calcul des variations.
Découvrez aussi celui qu'on appelait le Newton français.
Ars Conjectandi (1713), le livre posthume
soit 8 ans après la mort de Jacques Bernoulli.
Jacques Bernoulli meurt en 1705 sans avoir achevé son grand livre sur les probabilités2. C'est son neveu Nicolas Bernoulli qui le fait publier à Bâle en 1713, sous le titre latin Ars Conjectandi, « l'art de conjecturer ». Le manuscrit avait été rédigé pour l'essentiel entre 1684 et 1689.
L'ouvrage compte quatre parties. Les trois premières reprennent et prolongent les travaux sur les jeux de hasard, notamment ceux de Christiaan Huygens, et posent les bases du dénombrement.
La quatrième est révolutionnaire : Bernoulli y applique les probabilités aux affaires « civiles, morales et économiques ». Il y définit la probabilité comme un degré de certitude, et y démontre le résultat qu'il dit avoir médité pendant vingt ans : son « théorème d'or », que l'on appellera plus tard loi des grands nombres3.
La loi des grands nombres expliquée simplement
Quand on répète un très grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence observée d'un résultat se rapproche de sa probabilité. Avec une pièce équilibrée, la proportion de « pile » tend vers 0,5. Sur dix lancers, elle peut valoir 0,8 ; sur dix mille, elle s'écarte rarement de 0,5 de plus d'un centième.
Cette loi ne dit pas que les « face » doivent « rattraper leur retard » après une série de « pile » : la pièce n'a pas de mémoire. L'écart en nombre de lancers peut même grandir ; c'est l'écart en proportion qui se réduit.
L'apport de Bernoulli est double. Il démontre ce que les joueurs pressentaient, et il le retourne : si l'on ignore la composition d'une urne de boules blanches et noires, des tirages répétés permettent de l'estimer avec une certitude aussi grande qu'on le souhaite.
C'est l'idée qui fonde aujourd'hui les sondages, les assurances et les statistiques. Vous verrez en terminale une version formelle, appuyée sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Apprenez-en plus sur la courbe de Gauss.
Loi de Bernoulli et schéma de Bernoulli
Le nom de Jacques Bernoulli accompagne les lycéens, car toute expérience à deux issues porte désormais son nom. Réussir ou rater un tir au but, obtenir « pile » ou « face », tirer une boule blanche ou noire : la situation est la même. On appelle conventionnellement l'une des issues « succès », de probabilité p, et l'autre « échec », de probabilité 1 – p.
Épreuve de Bernoulli
Expérience aléatoire qui n'a que deux issues, succès ou échec
Loi de Bernoulli de paramètre p
Loi de la variable qui vaut 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité 1 – p). Son espérance vaut p
Schéma de Bernoulli
Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
En répétant l'épreuve, on s'intéresse naturellement au nombre total de succès : c'est lui que décrit la loi binomiale. Et c'est exactement le cadre du théorème d'or : la fréquence des succès dans un schéma de Bernoulli se rapproche de p quand n grandit.
Côté programmes, selon Eduscol4, la spécialité mathématiques de première suit un nouveau programme depuis la rentrée 2026 : vous y représentez par un arbre la répétition de quelques épreuves de Bernoulliindépendantes (n ≤ 4).
En terminale5, le programme de 2019 reste appliqué jusqu'à la rentrée 2027 : il traite la loi de Bernoulli, le schéma de Bernoulli, la loi binomiale et la loi des grands nombres. Pour approfondir le calcul, consultez notre cours sur la loi binomiale.
Les autres traces de Jacques Bernoulli
La loi des grands nombres n'est pas le seul héritage de Jacques Bernoulli. Curieux de tout, il a croisé la route d'une constante devenue célèbre, laissé son nom à une suite de nombres et choisi pour sa tombe une courbe qui le fascinait. Voici trois traces moins connues de son œuvre.
Le nombre e et les intérêts composés
En 1683, Bernoulli se pose une question de banquier. Placez 1 écu à 100 % d'intérêt par an : vous obtenez 2 écus.
Si les intérêts sont versés deux fois par an, vous obtenez 2,25 écus ; douze fois par an, environ 2,61. Et si on les verse à chaque instant ? Bernoulli montre que la somme ne dépasse jamais 3 et se rapproche d'une limite d'environ 2,718. Cette constante sera plus tard notée e par Euler.
Les nombres de Bernoulli
Dans l'Ars Conjectandi, Bernoulli donne une formule générale pour additionner les puissances des entiers (1² + 2² + 3² + …). Elle fait apparaître une suite de coefficients, les nombres de Bernoulli.
Il se vante d'avoir calculé ainsi la somme des puissances dixièmes des mille premiers entiers en moins d'un demi-quart d'heure. Ces nombres jouent encore un rôle en théorie des nombres et en analyse.
La spirale de sa tombe
Bernoulli était fasciné par la spirale logarithmique, qu'il surnommait spira mirabilis, la « spirale merveilleuse » : agrandie ou tournée, elle reste identique à elle-même. Il demanda qu'on la grave sur sa tombe avec la devise Eadem mutata resurgo, « changée, je renaîtrai la même ».
Le graveur, peu au fait des mathématiques, sculpta une spirale d'Archimède, dont les spires sont régulièrement espacées. L'erreur est toujours visible dans le cloître de la cathédrale de Bâle.
L'héritage du théorème d'or
Jacques Bernoulli n'a jamais vu son grand livre imprimé. Pourtant, plus de trois siècles après sa mort, son théorème est partout. Quand un institut interroge mille personnes pour estimer l'opinion d'un pays, quand un assureur fixe le prix d'un contrat ou quand un laboratoire teste un médicament sur des milliers de patients, c'est la loi des grands nombres qui garantit que l'observation finit par refléter la réalité.
Son parcours rappelle aussi qu'une vocation peut s'imposer contre les attentes. Destiné à la théologie, Jacques a choisi les astres et les nombres, contre l'avis de son père. Il a dû composer avec un frère aussi brillant que rival, et c'est un neveu qui a sauvé son œuvre de l'oubli.
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues :
🧮 Répétée de façon indépendante, elle forme un schéma de Bernoulli
🪙 Sur un grand nombre de répétitions, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.
Trois idées simples, que vous manipulerez en première et en terminale, et qui portent toutes le nom du même homme. La prochaine fois que vous lancerez une pièce, vous saurez à qui penser.
Sources
- La famille Bernoulli : lequel fait quoi ? Éduscol STI, ministère de l'Éducation nationale. PDF, sti.eduscol.education.fr/sites/eduscol.education.fr.sti/files/ressources/pedagogiques/16034/16034-la-famille-bernoulli-lequel-fait-quoi-ensps.pdf. Consulté le 9 octobre 2026
- IREM de Caen. Diaporama 2 : probabilités et statistiques, commentaires d'histoire des mathématiques, seconde. 2020. PDF, irem-archive.unicaen.fr/IMG/pdf/diaporama_2_proba_stat___commentaires_hdm_2nde_2020.pdf. Consulté le 9 octobre 2026
- Lynch, Peter. « That's Maths: Jakob Bernoulli and the Law of Large Numbers. » The Irish Times, 16 déc. 2021, irishtimes.com/news/science/that-s-maths-jakob-bernoulli-and-the-law-of-large-numbers-1.4747255. Consulté le 9 octobre 2026
- Académie de Normandie. Nouveaux programmes du lycée, rentrée 2026 : présentation. PDF, mathematiques.ac-normandie.fr/IMG/pdf/nouveaux_programmes_lyce_es_r26_pre_sentation_ens.pdf. Consulté le 9 octobre 2026
- Académie de Rennes. Progression de terminale, spécialité mathématiques. PDF, pedagogie.ac-rennes.fr/sites/pedagogie.ac-rennes.fr/IMG/pdf/progression_terminales_v5_complet.pdf. Consulté le 9 octobre 2026
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