Son nom revient partout : en géométrie, en analyse, en théorie des graphes, et même en physique. Leonhard Euler (1707-1783) est sans doute le mathématicien dont vous croiserez le plus souvent le nom au lycée puis dans le supérieur. Au point qu'on s'y perd : formule d'Euler, identité d'Euler, constante d'Euler, nombre d'Euler… Ces notions ne désignent pas la même chose.
Cet article vous propose de suivre la vie du mathématicien Euler1, de Bâle à Saint-Pétersbourg, puis de démêler ce qui porte son nom, une notion après l'autre.
15 avril 1707 - 18 septembre 1783
Suisse
Jean Bernoulli
Analyse, théorie des nombres, géométrie, graphes, mécanique, astronomie, optique
866 titres recensés dans l'index Eneström
Les ponts de Königsberg, S − A + F = 2, e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Leonhard Euler, de Bâle à Saint-Pétersbourg et Berlin
Leonhard Euler naît à Bâle le 15 avril 1707, dans la famille d'un pasteur. Son père le destine à la théologie. Mais à l'université de Bâle, où il entre à 14 ans, le jeune homme suit les cours de Jean Bernoulli2, l'un des plus grands mathématiciens de son temps.
Bernoulli lui conseille de lire seul des ouvrages difficiles et le reçoit le dimanche après-midi pour l'aider sur les points bloquants. C'est aussi lui qui convainc le père d'Euler de laisser son fils se consacrer aux mathématiques.
Saint-Pétersbourg
1727-1741
Berlin
1741-1766
Retour à Saint-Pétersbourg
1766-1783
Saint-Pétersbourg, première étape (1727-1741)
Faute de poste en Suisse, Euler rejoint en mai 1727 la toute jeune Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, fondée par Pierre le Grand. Il y retrouve Daniel Bernoulli, fils de son maître. Il y publie ses premiers grands travaux, dont la résolution du problème des ponts de Königsberg.
Berlin, sous Frédéric II (1741-1766)
En 1741, Frédéric II l'invite à rejoindre l'Académie de Berlin. Euler y reste vingt-cinq ans.
pendant son séjour à Berlin.
Les relations avec le roi, qui préfère les beaux esprits aux calculateurs, restent pourtant fraîches.
Le retour en Russie (1766-1783)
En 1766, Catherine II le rappelle à Saint-Pétersbourg, où il finit sa vie. Il y meurt le 18 septembre 1783, à 76 ans.
Travailler sans voir : une productivité intacte
Vers 1740, alors qu'il est encore à Saint-Pétersbourg, Euler perd l'usage d'un œil après une grave maladie. Le portrait de Handmann, peint en 1753, montre d'ailleurs un regard visiblement asymétrique.
Après son retour en Russie, une cataracte atteint l'autre œil. En 1771, une opération lui rend la vue pendant quelques jours, avant qu'il ne devienne presque totalement aveugle. La même année, un incendie détruit sa maison.
La cécité n'a pas ralenti Euler. Selon MacTutor, il rédige près de la moitié de son œuvre totale après 1766, c'est-à-dire en ayant presque perdu la vue. Deux atouts expliquent ce prodige :
La dictée : ses fils et des assistants, comme Nicolas Fuss, mettent ses raisonnements par écrit. Fuss aide ainsi à préparer plus de 250 articles en sept ans environ
Une mémoire hors norme : Euler mène de tête des calculs longs et délicats, dont il garde chaque étape en mémoire
recensées dans l'index Eneström établi par Gustaf Eneström entre 1910 et 1913 (3).
Les ponts de Königsberg (1736) : la naissance des graphes
En 1736, Euler s'attaque à une énigme posée par les habitants de Königsberg, en Prusse. Le problème semble d'abord anecdotique : une simple promenade à travers la ville.
Pourtant, sa solution ouvre un domaine entièrement nouveau des mathématiques4, la théorie des graphes, aujourd'hui utilisée pour modéliser les réseaux routiers, informatiques ou sociaux.
Le problème
À Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad), la rivière Pregel entoure une île, le Kneiphof, puis se sépare en deux bras. La ville est ainsi découpée en quatre zones, reliées par sept ponts. Les habitants se posent une question : peut-on faire une promenade qui traverse chaque pont une fois et une seule ?
La réponse d'Euler
Euler résout le problème en 1736 et son mémoire, en latin, est publié en 1741. Son idée géniale consiste à oublier les distances, la forme des rives et la longueur des ponts. Seul compte qui est relié à qui.
Représentons chaque zone par un point (un sommet) et chaque pont par un trait (une arête). Comptons ensuite le nombre d'arêtes qui partent de chaque sommet : c'est son degré.
L'île du Kneiphof (A) est reliée par 5 ponts
La rive nord (B), la rive sud (C) et la zone est (D) le sont chacune par 3 ponts
Chaque pont (lignes bleues) devient une arête du graphe : on ne garde que les liaisons entre zones.
Or, à chaque passage par une zone, le promeneur entre par un pont et ressort par un autre. Une zone traversée utilise donc ses ponts par paires. Seuls le point de départ et le point d'arrivée peuvent avoir un nombre impair de ponts. Ici, les quatre sommets sont de degré impair : la promenade est impossible.
Graphe eulérien : la notion qui en découle
On appelle aujourd'hui chaîne eulérienne un parcours qui emprunte chaque arête d'un graphe exactement une fois. Si ce parcours revient à son point de départ, on parle de cycle eulérien, et le graphe est dit eulérien.
Pour un graphe connexe (d'un seul tenant), la règle est simple :
| Nombre de sommets de degré impair | Ce qui est possible |
|---|---|
| 0 | Un cycle eulérien (on revient au départ) |
| 2 | Une chaîne eulérienne, d'un sommet impair à l'autre |
| 4 ou plus | Aucun parcours de ce type |
Euler a démontré que la condition est nécessaire. La preuve qu'elle suffit viendra plus tard, avec Carl Hierholzer (publiée en 1873).
Ce raisonnement, qu'Euler rattachait à une « géométrie de position », est considéré comme l'acte de naissance de la théorie des graphes. Les graphes figurent aujourd'hui au programme de maths expertes en terminale5 (vocabulaire, matrice d'adjacence, marches aléatoires).
Deux formules d'Euler à ne pas confondre et l'identité d'Euler
Quand on parle de « la » formule d'Euler, il faut préciser laquelle. Deux résultats très différents portent ce nom.
La formule d'Euler pour les polyèdres
Pour un polyèdre convexe (cube, tétraèdre, prisme…), notons S le nombre de sommets, A le nombre d'arêtes et F le nombre de faces. Euler énonce en 1750, dans une lettre à Christian Goldbach, la relation suivante :
8 sommets, 12 arêtes, 6 faces, et 8 − 12 + 6 = 2. Sur un tétraèdre : 4 − 6 + 4 = 2. Le résultat ne dépend ni des longueurs ni des angles, seulement de la façon dont les éléments sont reliés : le même esprit que pour les ponts de Königsberg.
La formule d'Euler pour les nombres complexes
Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler relie l'exponentielle et la trigonométrie. Pour tout réel θ :
Cette écriture permet de noter tout nombre complexe de module r sous la forme r e^(iθ), appelée forme exponentielle.
Elle transforme les produits de complexes en simples additions d'arguments. La formule d'Euler permet aussi de retrouver très vite la formule de Moivre, (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).
En géométrie, la formule d'Euler est S − A + F = 2 : elle compte sommets, arêtes et faces d'un polyèdre convexe.
En analyse complexe, c'est e^(iθ) = cos θ + i sin θ : elle relie exponentielle et trigonométrie.
Dans un exercice, le contexte tranche : on parle de faces et d'arêtes, ou de module et d'argument.
L'identité d'Euler : e^(iπ) + 1 = 0
En remplaçant θ par π dans la formule complexe, on obtient cos π = −1 et sin π = 0, donc e^(iπ) = −1. On l'écrit souvent sous la forme :
C'est l'identité d'Euler, souvent citée comme la plus belle formule des mathématiques. Elle réunit cinq constantes fondamentales :
0
Neutre de l'addition
1
Neutre de la multiplication
e
≈ 2,718, base du logarithme naturel, parfois appelé « nombre d'Euler »
i
Tel que i² = −1
π
≈ 3,14159, rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre
Connaissez-vous le théorème de Bayes ?
Le langage mathématique que nous a laissé Euler
Vous utilisez chaque jour des notations fixées ou popularisées par Euler, souvent sans le savoir :
| Notation | Sens | Apport d'Euler |
|---|---|---|
| f(x) | une fonction de x | introduite en 1734 |
| e | base du logarithme naturel | utilisée dès 1727 |
| Σ | somme de plusieurs termes | introduite en 1755 |
| i | racine carrée de −1 | introduite en 1777 |
| π | rapport périmètre / diamètre | proposée par William Jones en 1706, imposée par Euler |
La constante d'Euler, à ne pas confondre avec e
La constante d'Euler (ou d'Euler-Mascheroni), notée γ (gamma), vaut environ 0,5772. Elle mesure l'écart, quand n devient très grand, entre la somme 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n et ln(n). Elle n'a rien à voir avec e ≈ 2,718, la base de l'exponentielle. Sa nature exacte reste aujourd'hui un problème ouvert.
Ce qui porte le nom d'Euler
| Notion | Domaine | En une phrase |
|---|---|---|
| Formule d'Euler (polyèdres) | Géométrie | S − A + F = 2 pour tout polyèdre convexe |
| Formule d'Euler (complexes) | Analyse | e^(iθ) = cos θ + i sin θ |
| Identité d'Euler | Analyse | e^(iπ) + 1 = 0, cas particulier θ = π |
| Constante d'Euler γ | Analyse | γ ≈ 0,5772, à ne pas confondre avec e |
| Graphe eulérien | Graphes | graphe parcourable en passant une seule fois par chaque arête, en revenant au départ |
| Droite d'Euler | Géométrie du triangle | orthocentre, centre de gravité et centre du cercle circonscrit sont alignés |
Un vulgarisateur de génie, en français
Euler ne s'adressait pas qu'aux savants. Entre 1760 et 1762, depuis Berlin, il écrit 234 lettres à la princesse Frédérique-Charlotte de Brandebourg-Schwedt, puis à sa sœur cadette. Il les rédige en français, la langue des cours européennes et de l'Académie de Berlin.
Publiées entre 1768 et 1772 sous le titre Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie, elles expliquent simplement la lumière, le son, la gravitation, le magnétisme ou la logique. Le livre connaît un succès européen et sera traduit dans de nombreuses langues.
Dans ces lettres, Euler illustre les raisonnements logiques par des cercles. « Tout A est B » devient un cercle A dessiné à l'intérieur d'un cercle B. « Aucun A n'est B » devient deux cercles séparés.
Ces diagrammes d'Euler ne représentent que les relations qui existent réellement. Plus d'un siècle plus tard, John Venn en tirera ses diagrammes (1880), qui dessinent toutes les intersections possibles. Vous les utilisez en probabilités pour représenter des événements A ∩ B ou A ∪ B.
Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.
Propos attribué à Pierre-Simon de Laplace par Guglielmo Libri vers 1846
Cette attribution indirecte à Pierre-Simon de Laplace est jugée douteuse par l'historien Ed Sandifer.
Leonhard Euler, un maître toujours d'actualité
De Bâle à Saint-Pétersbourg, en passant par Berlin, Leonhard Euler a traversé le XVIIIe siècle en transformant presque tous les domaines qu'il a touchés. Avec les ponts de Königsberg, il invente une nouvelle façon de penser les liaisons, qui mène aux graphes. Avec ses deux formules, il relie les sommets d'un cube d'un côté, l'exponentielle et la trigonométrie de l'autre.
La formule d'Euler désigne soit S − A + F = 2, soit e^(iθ) = cos θ + i sin θ ; l'identité d'Euler en est le cas θ = π ; la constante γ n'est pas le nombre e. Et chaque fois que vous écrivez f(x) ou Σ, vous parlez un peu la langue d'Euler.
Découvrez aussi le mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Sources
- The Euler Archive. Édité par Erik Tou et Chris Goff, University of the Pacific, scholarlycommons.pacific.edu/euler/. Consulté le 12 octobre 2026
- O'Connor, John J., et Edmund F. Robertson. « Leonhard Euler. » MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/. Consulté le 12 octobre 2026
- Tou, Erik. « The Eneström Index. » The Euler Archive, faculty.washington.edu/etou/euler/indexes/enestrom.html. Consulté le 12 octobre 2026
- Sandifer, C. Edward. « Euler as a Teacher, Part 2. » How Euler Did Even More, Mathematical Association of America, 2014, cambridge.org/core/books/how-euler-did-even-more/euler-as-a-teacher-part-2-february-2010/A7FF8BB01DE284FA252F473AA543DFEB. Consulté le 12 octobre 2026
- Ministère de l'Éducation nationale. « Programme de mathématiques expertes, classe terminale. » Éduscol, eduscol.education.fr/document/24574/download. Consulté le 12 octobre 2026
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