Comment calculer le discriminant d'un polynôme du second degré?

Définition et propriétés

Tout d'abord un polynôme c'est quoi ? C'est une expression formée de sommes et de produits de constantes et d'indéterminées, souvent notée x, y, z etc...  De plus, on parle de fonction polynomiale lorsqu'à tout x on associe un polynôme en fonction de x. Dans notre cas, nous étudions des polynômes à une seule inconnue. On pourra donc confondre les termes "polynôme" et "fonction polynomiale".

Un polynôme de degré 2 (ou encore du second degré) est une expression du type: ax² + bx + c avec a≠0 où x est l'inconnue à déterminer et a,b et c des nombres. Il est indispensable que a soit non nul, si non le polynôme n'est plus de degré 2. Par exemple, et sont des polynômes du second degré. Un polynôme à trois termes est appelé un trinôme.

Regardons les différentes propriétés de ces polynômes.

La représentation graphique d'un polynôme du second degré est une parabole. Lorsque a est positif, la parabole est tournée vers le haut c'est à dire que la courbe décroit puis remonte et son minimum est atteint en Lorsque a est négatif, la parabole est tournée vers le bas c'est à dire que la courbe croit puis redescend et atteint son maximum en

Par exemple, traçons les fonctions suivantes et

On observe ici que ces deux courbes coupent chacune l'axe des abscisses en deux points distincts : on appelle ces deux points les racines du polynôme.

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Le discriminant et les racines

Maintenant que l'on connait les variations d'une fonction polynomiale (fonction qui à tout x associe un polynôme), on va essayer de déterminer son signe. Pour cela, on détermine les racines du polynôme c'est à dire les valeurs pour lesquelles il s'annule. Cela revient à résoudre [ax^2+bx+c=0]

On calcule pour cela le discriminant, représenté par la lettre grecque delta :

Si le discriminant est positif, alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes : et  Lorsque a est un nombre positif, la fonction est positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines. Lorsque a est un nombre négatif, la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive entre les racines.

Dans ce cas, on peut factoriser la fonction  sous la forme

Si le discriminant est nul alors le polynôme admet une unique racine (ou plus précisément une racine double) qui est Cela correspond à l'extremum 'minimum ou maximum) de la parabole puisque s'il existe une unique racine c'est que la parabole passe une unique fois sur l'axe des abscisses, en un seul et unique point.

On peut alors factorisée la fonction sous la forme

Si le discriminant est négatif, le polynôme n'admet aucune racine réelle. Ainsi la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Elle est strictement au dessus et tournée vers le haut ou strictement en dessous et tournée vers le bas selon le signe de a.

Dans ces deux derniers cas, la fonction est soit toujours positive soit toujours négative.

Ainsi, le discriminant permet de trouver les racines du polynôme qui permettent à la fois de faire un tableau de signe du polynôme et de déterminer la forme factorisée du polynôme.

Lorsque b ou c sont nulles, il n'est pas nécessaire de passer par le discriminant pour obtenir les racines. En effet, si c est nulle, ax²+bx se factorise par x : ax²+bx=0 équivaut à x(ax+b)=0 donc soit x=0 soit ax+b=0. Si b est nulle, ax²+c=0 équivaut à ax²=-c ce qui revient à Si est négatif alors le polynôme n'a pas de racine sinon les racines sont ou

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La forme canonique

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture sous la forme où est l'abscisse de l'extremum du polynôme et [beta=f(alpha)] est l'ordonnée de l'extremum atteint par la polynôme.

Lorsque l'on connait l'extremum que le polynôme atteint, il est simple de donner la forme canonique.

A l'inverse, lorsque celui ci est inconnu, la forme canonique du trinôme permet de trouver facilement les coordonnées du sommet de la parabole. La forme canonique permet également de déterminer facilement les racines du polynôme puisque l'équation est simple à résoudre et ne requiert pas de calculer le discriminant. Il est donc nécessaire de savoir passer de la forme développée à la forme canonique.