Comment calculer la moyenne, la médiane et l'étendue ?

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C'est parti

Introduction

Les statistiques sont nécessaires pour étudier et comprendre des données. Leur but est de présenter les données de manière plus claire et compréhensible en les représentant sous forme de diagrammes ou de graphiques.

Tableaux, diagrammes et graphiques

Commençons par regarder les différentes façons d'illustrer les données. En classe de 6ème, on apprend à comprendre et extraire les informations de ses illustrations.

Le tableau à double entrée

Pour comprendre le fonctionnement du tableau à double entrée, on étudie un premier exemple. Dans un train, il y a 150 personnes, 40 sont dans le train pour le travail : 25 vont à Paris, 5 à Rennes et 10 à Marseille. Les autres passagers sont dans le train pour le tourisme : 33 vont à Rennes, 48 à Paris et 29 à Marseille. On obtient le tableau suivant :

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Les diagrammes en barres et circulaires

Prenons un deuxième exemple simple. Un éleveur recense le nombre d'animal de chaque espèce qu'il possède. Il compte 25 poules, 7 canards, 15 vaches, 12 cochons et 21 chèvres. On a plusieurs solutions pour illustrer les données :

• Le tableau

• Le diagramme circulaire

La diagramme circulaire nous permet d'identifier rapidement la répartition des données. Finalement, ce diagramme représente la notion de pourcentage. Dans notre exemple, on voit qu'environ un quart des animaux recensés sont des chèvres. L'animal le plus recensés est la poule et le moins recensé est le canard. Cependant, ce type de diagramme ne nous offre pas de valeurs précises, et lorsque les données sont trop proches les unes des autres, on ne pourra rien constater. En classe de troisième, il est nécessaire de savoir construire un diagramme circulaire. Pour cela, on commence par déterminer la mesure de l'angle de chaque secteur du diagramme puisque les angles sont proportionnels au nombre de réponses de chaque catégorie. Pour notre exemple, on obtient :

• Le diagramme en bâtons

Le diagramme à barre permet d'identifier rapidement les valeurs les plus élevées et les plus faibles. Il permet par la même occasion d'avoir une idée plus ou moins précise de cette valeur. Plus les valeurs seront écartées les unes des autres, plus l'échelle choisie sera grande : on aura une idée moins précise des valeurs. Dans notre exemple, l'animal que l'éleveur possède en plus grand nombre est la poule avec environ 25 poules. Au contraire l'animal que l'éleveur possède en plus petit nombre est le canard, avec environ 7 canards.

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L'histogramme

Étudions un troisième exemple. Dans une classe de 19 élèves, on souhaite étudier la taille des enfants. Après les avoir mesurés on obtient les tailles suivantes en centimètre : 128 - 132 - 140 - 129 - 141 - 136 - 137 - 132 - 139 - 128 - 134 - 136 - 151 - 138 - 134 - 139 - 136 - 148 - 146. Quand les données recueillies sont très variés, on peut les rassembler en différentes classes.

Le graphique

Lorsque l'on étudie des données par rapport à une variable (au temps, à la vitesse, etc..) on souhaite constater une évolution. On préfèrera donc utiliser un graphique. Par exemple, on l'utilisera si l'on souhaite comprendre l'évolution de la population en France en fonction des années. On obtiendra une courbe (représentant une fonction) avec l'axe des abscisses correspondant au temps et l'axe des ordonnées à la population.

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Effectif et fréquence

L'effectif

Dans une série statistique, l'effectif d'une donnée est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total est le nombre de valeurs de la série statistique. Pour le premier exemple, l'effectif de la destination "Rennes" est 38. L'effectif du motif "tourisme" est 110. L'effectif total est le nombre total de passagers : 150. Ici, l'effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque destination mais aussi à la somme des effectifs de chaque motifs. Reprenons l'exemple de l’éleveur, l'effectif de l'espèce "poule" est 25. De même, l'effectif de l'espèce "vache" est 15. L'effectif total est la somme des effectifs de chaque espèce : 25+7+15+12+21=80. Concernant notre troisième exemple, l'effectif de la taille "128" est 2. L'effectif de la taille "136" est 3. L'effectif total est de 19.

La fréquence

La fréquence d'une donnée, dans une série statistique, est égale au quotient de l'effectif de la donnée par l'effectif total de la série. En multipliant la fréquence d'une donnée par cent, on obtient le pourcentage de cette donnée. En reprenant le premier exemple, on a que la fréquence de la destination "Rennes" est  [\frac{38}{150}] La fréquence du motif "tourisme" est [\frac{110}{150}] Pour le deuxième exemple, on a que la fréquence de l'espèce "poule" est [\frac{25}{80}=0.3125] Ainsi, environ 31% des animaux de l'élevage sont des poules. De même, la fréquence de l'espèce "vache" est [\frac{15}{80}=18.75] Presque 19% des animaux sont des vaches. Enfin, avec la taille des élèves, on a que la fréquence de la taille "128" est [\frac{2}{19}] et la fréquence de la taille "136" est [\frac{3}{19}] D'après notre histogramme, 7 élèves mesurent entre 125 et 135 cm. Ainsi, environ 37% des élèves mesurent entre 125 et 135 cm.

Moyenne, médiane et étendue

La moyenne

Dans une série statistique, la moyenne est égale à la somme de toutes les valeurs de la série divisée par l'effectif total. Considérons la taille des élèves d'une classe comme précédemment. On avait les valeurs : 128 - 132 - 140 - 129 - 141 - 136 - 137 - 132 - 139 - 128 - 134 - 136 - 151 - 138 - 134 - 139 - 136 - 148 - 146. Donc la taille moyenne d'un élève est (128+132+140+129+141+136+137+132+139+128+134+136+151+138+134+139+136+148+146)/19 ce qui vaut environ 137 cm. Prenons un autre exemple et supposons que Pauline, Sophie, Antoine et Nicolas ont respectivement pour argent de poche : 22€, 19€, 36€ et 15€. En moyenne, ils ont chacun [\frac{22+19+36+15}{4}=23] soit 23€ chacun. Lorsque l'on retrouve plusieurs fois la même valeur, on peut simplifier les calculs en multipliant les valeurs par leurs effectifs respectifs. Cela évite de répéter plusieurs fois la même valeur. Pour la taille des élèves on a pour calcul : (128x2+129+132x2+134x2+136x3+137+138+139x2+140+141+146+148+151)/19 On appelle ça la moyenne pondérée.

La médiane

Lorsqu'une série statistique est ordonnée, la valeur médiane est celle qui partage cette série en deux parties de même effectif. D'une façon générale la médiane d'une série de valeur est telle que 50% des valeurs lui soient inférieures ou égales et 50% des valeurs lui soient supérieures ou égales. Dans notre exemple, les tailles n'étaient pas ordonnées. Il faut donc les ranger dans l'ordre croissant. On a : 128-128-129-132-132-134-134-136-136-136-137-138-139-139-140-141-146-148-151 La valeur au milieu est la 10è valeur. Il y a bien 9 valeurs au dessus et 9 valeur en dessous. La médiane est donc 136 cm. Dans notre autre exemple, on avait 15€-19€-22€-36€. Le nombre de valeur étant pair, on prend les deux valeurs du milieu et on fait leur moyenne[\frac{19+22}{2}=20.5] La médiane est 20.5€.

L'étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur. Pour la taille des élèves, on obtient 151-128= 23. L'enfant le plus petit et l'enfant le plus grand ont 23 cm d'écart. Concernant l'exemple suivant on a pour étendue 36-15=21. La plus grande différence d'argent de poche entre deux enfants est de 21€. C'est entre Antoine et Nicolas. Attention, deux séries statistiques peuvent avoir même moyenne, même médiane et même étendue sans pour autant se ressembler ! Par exemple, étudions les notes de deux élèves. Le premier a : 2-10-10-10-10-10-18 Le deuxième a : 2-5-7-10-13-15-18 Ces séries ont pour moyenne 10, pour médiane 10 et pour étendue 16. La différence est la dispersion des notes.