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Enoncé
I) exercice 1( A B C ) est un triangle rectangle en A tel que AB = a AC = 2a I désigne le milieu de [ A C ], G le barycentre de ( A, 3 )( B, -2 ) ( C, 1 )1° Construire G, préciser la nature de (A B I G) Calculer en fonction de a, GA , GB , GC2° A tout point M du plan on associe le réel f(M)= 3MA² - MB²+ MC²a) En remarquant que vecteur MA = vecteur MG+vecteur GA ; vecteur MB = vecteur MG+vecteurGB ; vecteur MC = vecteur MG+vecteur GC exprimer f(M) en fonction de MG et de a b) Déterminer et construire l’ensemble P des points M tels que f(M) = 2a² 3° A tout point M du plan, on associe le réel g(M) = 3MA² - 2MB² - MC² a) Démontrer que quel que soit M, 3 vecteur MA - 2 vecteur MB – vecteur MC est un vecteur V, indépendant de M, non nul b) Démontrer que quel que soit M, g(M) – g(B) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V g(M) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V – 2a² c) On désigne par delta l’ensemble des points du plan tels que g(M) = -2a² Vérifier que I, B appartiennent à delta 4° delta et P sont sécants en E et F. Démontrer que (GEC) et (GFC) sont équilateraux. II exercice 2 Soit alpha = 0.999……9 (la partie décimale est formée de 2001 chiffres égaux a 9) 2001 1° prouver que alpha
Réponse de notre équipe pédagogique
Suite à des erreurs d’énoncés, la réponse à la question n’est pas complète, mais 9/10 du problème est fait. Pour le dérangement, tu seras recrédité de 30 points. Bon travail et à bientôt! le correcteur. ( A B C ) est un triangle rectangle en A tel que AB = a AC = 2aI désigne le milieu de [ A C ], G le barycentre de ( A, 3 )( B, -2 ) ( C, 1 )1° Construire G, préciser la nature de (A B I G) Calculer en fonction de a, GA , GB , GC on a G barycentre de ((J,1),(C,1)) avec J barycentre de ((A,3),(B,-2)) On trace J : 3AJ -2BJ=0 ie 3AJ -2BA-2AJ =0 ie AJ = 2BA Puis G est le centre de [JC]. ABIG est un parallélogramme. En effet, en cours de maths en ligne, en appliquant le théorème des milieux dans le triangle CJA, I passe par le milieu de [AC], G par celui de [CJ] donc (GI) parallèle à (AJ) et selon la définition de J, parallèle à (AB). de plus en appliquant Thalès dans le traingle CJA, on obtient : GI/JA = CI/CA soit GI = a/2a*2a (puisque AJ = 2BA) donc GI = a = AB. Donc vecteur IG = vecteur BA donc ABIG est un parallélogramme. Dasn le triangle rectangle GIA, par Pythagore, on obtient : GA = V(GI²+IA²) = V(a²+a²) = aV2 De même dans GIC, GC = aV2 De plus GB = GH +Hb ou H est le milieu des di gonales de ABIG : dans le triangle rectangle GHI, on obtient par Pythagore : GH = (a²+(a/2)²) = aV(5/4)=0.5aV5 de même HB = V(a²+a²/4) = a/2 V(5) donc GB = aV5 2° A tout point M du plan on associe le réel f(M)= 3MA² - MB²+ MC²a) En remarquant que vecteur MA = vecteur MG+vecteur GA ; vecteur MB = vecteur MG+vecteurGB ; vecteur MC = vecteur MG+vecteur GC exprimer f(M) en fonction de MG et de a f(M) = 3(MG+GA)² -(MG + GB)² +(MG+GC)² =3( MG²+GA² +2GA.MG)) -(MG² +GB² +2MG.GB)+MG²+GC² +2GC.MG (. = scalaire) f(M) = 3MG² +3GA²-GB²+GC² +MG.(3GA-GB+GC) or 3GA-GB+GC =0 donc f(M) = 3MG² +3GA²-GB²+GC² = 3MG² +6a²-5a²+2a² = 3MG²+3a² f(M) = 3MG²+3a² b) Déterminer et construire l’ensemble P des points M tels que f(M) = 2a² f(M) = 2a² ssi 3MG²+3a² = 2a² ssi 3MG² = -a² ce qui est impossible il doit donc il y avoir une erreur d’énoncé. 3° A tout point M du plan, on associe le réel g(M) = 3MA² - 2MB² - MC² a) Démontrer que quel que soit M, 3 vecteur MA - 2 vecteur MB – vecteur MC est un vecteur V, indépendant de M, non nul en vecteur : 3MA -2MB -MC = 2MA +2BM +MA +MC donc par Chasles : 3MA-2MB-MC = 2BA +AC=V indépendant de M b) Démontrer que quel que soit M, g(M) – g(B) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V g(M) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V – 2a² g(M)-G(B) = 3MA²-2MB²-MC² -3BA² +2BB² +BC² = 3(MB+BA)²-2MB² -(MB+BC)² -3BA² +BC² = 3(MB²+BA²+2MB.BA) -2MB² -(MB²+BC²+2MB.BC) -3BA²+BC² = 6MB.BA - 2MB.BC = 2(3MB.BA-MB..BC) =2MB.(3BA-BA-AC) = 2MB.(2BA-AC) = 2MB.V donc g(M)-g(B) = 2MB.V et g(M) = 2MB.V - g(B) = 2MB.V-3BA²+BC²= 2MB.V - 3.a²+5a² = 2MB.V+2a² c) En cours de mathématiques, on désigne par delta l’ensemble des points du plan tels que g(M) = -2a² Vérifier que I, B appartiennent à delta g(M) = -2a² équivaut à 2MB.V = -4a² g(I) = 3IA²-2IB²-IC² = 3a²-4a²-a²=-2a² donc I appartient à delta g(B) = 3BA²-2BB²-BC² = 3a²-5a² = -2a² donc B appartient à delta 4° delta et P sont sécants en E et F. Démontrer que (GEC) et (GFC) sont équilateraux.II exercice 2Soit alpha = 0.999……9 (la partie décimale est formée de 2001 chiffres égaux a 9) 2001 1° prouver que alpha
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