Correction d'un devoir de maths

2)démontrer que l’équation g(x)=0 a une solution unique notée a et donner un encadrement de a d’amplitude 0.01 Le tableau de variations de g nous indique que g est décroissante puis est négatif pour x>-1/2 g décrit alors une bijection de [-oo,-1/2[ vers [-21,+oo[. Il y a donc une et une seule solution à g(a)=0, avec a<-1/2 Je vous laisse cherche l’encadrement (procéder par dichotomie : calculer g(-2)>0,puis g(1), etc.) 3) en déduire le signe de la fonction g sur R g est positive sur ]-oo,a] puis négative B:étude de la fonction f: 1)déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (c’est-à-dire en -00, en +00, en-1/2 et en 1/2) en +oo, limf = lim(2x^3/-4x²) = lim(-1/2x)=-oo en -oo, limf = lim(2x^3/-4x²) = lim(-1/2x)= +oo en -1/2, lim(2x^3-5)=-21/4<0 et lim(1-4x²)=0 avec 1-4x²>0 si x<-1/2, 1-4x²<0 si x>-1/2 Ainsi, limf(-1/2, x<-1/2) = -oo limf(-1/2, x>-1/2) = +oo De même, en 1/2, lim(2x^3-5)=-19/4<0 et lim(1-4x²)=0 avec 1-4x²<0 si x<1 2, 1-4x²>0 si x>1/2 Ainsi, limf(1/2, x<1>1/2) = -oo 2)déterminer la dérivée de la fonction f et montrer que l’on a: f’(x)=g(x)*h(x) pour tout x différent de -1/2 etx différent de 1/2 ou h est une fonction à préciser. Pour tout x de Df, f’(x)=[6x²(1-4x²)-(2x^3-5)(-8x)]/(1-4x²)² = (6x²-8x^4-40x)/(1-4x²)² = 2xg(x)/(1-4x²)² En cours de maths en ligne, il suffit de poser h(x)=2x/(1-4x²)² 3)déduire alors de la question A)3) le signe de f’ sur R{-1/2,1/2} h est positif sur IR+,négatif sur IR- Donc f’ est négatif sur ]-oo,a], positive sur [a,0], négative sur IR+ 4)dresser le tableau de variation de la fonction f

5)montrer qu’il existe 3 réels a,b et c tels que l’on ait pour tout x différent de -1 et x différent de 1 f(x)=ax+ bx+c/1-4x². On a f(x)=(2x^3-5)/(1-4x²) =(-1/2x(1-4x²)+1/2x-5)/(1-4x²) = -x/2 + (x/2-5)/(1-4x²) On a alors a=-1/2; b=1/2; c=-5