Le compteur d’une voiture affiche une dérivée sans jamais le dire : la vitesse instantanée n’est rien d’autre que la dérivée de la distance parcourue par rapport au temps. En mathématiques, la dérivée d’une fonction joue exactement ce rôle : elle mesure, en chaque point, à quelle vitesse la courbe monte ou descend.
Toute la notion tient sur une seule idée géométrique, la pente de la tangente, puis sur une poignée de formules qui donnent les fonctions dérivées sans repasser à chaque fois par la définition. Une fois ces deux étages en place, étudier les variations d’une fonction devient une simple affaire de signe.
Qu’est-ce qu’une dérivée ? 📉
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la pente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. On l’obtient comme la limite du taux d’accroissement quand l’écart h tend vers 0. La fonction dérivéef' associe ce nombre à chaque réel a où il existe.
Concrètement, prends deux points de la courbe : M d’abscisse a et N d’abscisse a + h. La droite (MN) est une sécante, et sa pente s’obtient comme pour n’importe quelle droite. Quand h se rapproche de 0, le point N glisse vers M et la sécante pivote jusqu’à se confondre avec la tangente. Si sa pente se stabilise sur une valeur finie, la fonction est dite dérivable en a, et cette valeur est le nombre dérivé.
Il faut donc bien séparer deux notions. La première, f'(a), est un réel attaché à un seul point. La fonction dérivée f', aussi appelée dérivée première, associe à chaque réel x de son ensemble de dérivabilité la valeur f'(x). Une fonction est dite dérivable sur un intervalle lorsqu’elle est dérivable en tous les points de cet intervalle, et c’est sur ces domaines que l’on travaille ensuite.
La dérivation est l’un des chapitres centraux de l’analyse en Première générale, dans l’enseignement de spécialité mathématiques. Le programme de cette spécialité a été renouvelé par un arrêté du 26 février 2026, publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026 et appliqué depuis la rentrée 2026 : les élèves qui découvrent la notion de dérivée cette année travaillent donc avec ce nouveau texte.
Dérivée positive : la courbe monte. Dérivée négative : elle descend. Dérivée nulle : la tangente est horizontale, la courbe marque une pause, souvent au sommet d’une bosse ou au fond d’un creux.
Que signifie « dérivé » ? 🔤
Dans la langue courante, « dérivé » désigne ce qui découle d’autre chose : un mot dérivé d’une racine, une notion dérivée d’une idée plus générale. En mathématiques, la fonction dérivée découle de la fonction de départ, dont elle décrit la manière de varier en chaque point.
Le mot a aussi une histoire précise. Selon la revue PLOT de l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP), Gottfried Wilhelm Leibniz publie en 1684, dans la revue savante Acta Eruditorum de Leipzig, un article intitulé Nova methodus pro maximis et minimis. C’est le premier texte imprimé sur le calcul différentiel, qu’on appelle aussi calcul infinitésimal. Isaac Newton publie ses Principia deux ans plus tard.
Premier texte imprimé sur le calcul différentiel
Année de l’article de Leibniz dans les Acta Eruditorum (Source : APMEP, PLOT n° 26)
Le texte de Leibniz est si bref que ses contemporains peinent à le suivre. Johann Bernoulli, qui l’a pourtant étudié de près, en garde un souvenir mitigé.
En cinq ou six pages seulement il donne une idée fort légère du calcul différentiel, ce qui était une énigme plutôt qu’une explication.
Johann Bernoulli, mathématicien, à propos de l’article de Leibniz de 1684
C’est justement Bernoulli qui initie le marquis de L’Hospital à ces nouvelles méthodes, durant l’hiver 1691-1692. Il en sort en 1696 l’« Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes », premier traité de calcul différentiel, écrit en français. La célèbre règle de L’Hospital, qui sert à lever certaines formes indéterminées, doit d’ailleurs l’essentiel aux idées de son professeur.
Comment calculer un nombre dérivé en un point ? 📐
Pour calculer f'(a), la méthode tient en trois étapes : on écrit le taux d’accroissement de f entre a et a + h, on le simplifie, puis on cherche vers quelle valeur il tend quand h tend vers 0. Le résultat donne directement la pente de la tangente, donc son équation.
🔍 Le taux d’accroissement
Le taux d’accroissement de f entre a et a + h, pour h ≠ 0, s’écrit :
(f(a + h) − f(a)) / h
Prenons f(x) = x² et a = 3. On obtient ((3 + h)² − 9) / h = (6h + h²) / h = 6 + h. Quand h tend vers 0, ce quotient tend vers 6 : la fonction carré est dérivable en 3 et f'(3) = 6.
La simplification par h est l’étape clé. Tant que h reste au dénominateur, remplacer h par 0 n’a aucun sens : développe, factorise par h, et seulement ensuite fais tendre h vers 0. Cette partie relève de l’algèbre plus que de l’analyse : la plupart des erreurs viennent d’un développement mal mené, pas de la notion de dérivée elle-même.
✏️ La tangente à la courbe
La tangente à la courbe au point d’abscisse a passe par le point (a ; f(a)) et a pour coefficient directeur le nombre dérivé. Son équation réduite est :
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Avec l’exemple de la fonction carré, f(3) = 9 et f'(3) = 6, donc la tangente a pour équation y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9. Tu peux vérifier : en x = 3, on retrouve bien y = 9.
Cette droite sert aussi d’approximation linéaire : près de a, la courbe et sa tangente se confondent presque, donc f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) × h pour de petites valeurs de h. Avec la fonction carré en a = 3 et h = 0,1, la tangente donne 9 + 6 × 0,1 = 9,6, alors que la vraie valeur est 3,1² = 9,61. L’erreur, ici 0,01, vaut exactement h² : plus h est petit, plus l’approximation linéaire est bonne.
À l’inverse, quand la tangente est déjà tracée, f'(a) se lit de manière graphique : on repère deux points de cette droite, puis on forme le rapport de la variation des ordonnées sur la variation des abscisses. Cette lecture graphique est un test classique des automatismes, qui ne demande aucune formule.
Si d(t) est la distance parcourue à l’instant t, le taux d’accroissement entre t et t + h donne une vitesse moyenne sur la durée h. Quand h tend vers 0, cette vitesse moyenne tend vers d'(t), la vitesse instantanée : celle qu’affiche le compteur.
Cette approche directe reste la définition, mais il devient vite lourd sur des expressions plus riches. Pour t’entraîner à la main sur plusieurs exemples, tu peux aussi réviser cela en cours de maths en ligne.
Comment calculer la dérivée d’une fonction ? 🧮
Pour obtenir la dérivée d’une fonction, on ne repasse pas par la définition : on combine les dérivées des fonctions usuelles avec quelques règles de dérivation (somme, produit, quotient). Il suffit de reconnaître la forme de l’expression, puis d’appliquer la formule adaptée.
La méthode est toujours la même : repérer la structure de l’expression (somme, quotient, puissance), vérifier où les fonctions qui la composent sont dérivables, appliquer la règle de dérivation qui convient, puis simplifier le résultat. Cette dernière étape compte autant que les autres, car c’est sous forme factorisée que l’on étudie ensuite le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
📝 Les dérivées usuelles
Chaque ligne du tableau ci-dessous se démontre à partir de la définition du nombre dérivé. Retiens surtout l’ensemble de dérivabilité, qui change pour la fonction inverse et pour la racine carrée.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Dérivable sur |
|---|---|---|
| k (constante réelle) | 0 | ℝ |
| mx + p | m | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| x² | 2x | ℝ |
| xⁿ (n entier, n ≥ 1) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
Le dérivé de 2x vaut donc 2 : c’est une fonction affine de coefficient directeur 2, dont la courbe est une droite à pente constante. La fonction racine, elle, est définie en 0 mais n’y est pas dérivable, car sa tangente y devient verticale.
🧮 Les règles de dérivation
Pour deux fonctions u et v dérivables sur un même intervalle et un réel k, les propriétés suivantes s’appliquent, à condition que v ne s’annule pas pour l’inverse et le quotient.
| Opération | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|
| Somme | u + v | u' + v' |
| Produit par un réel | k u | k u' |
| Produit | u v | u'v + uv' |
| Inverse | 1/v | −v'/v² |
| Quotient | u/v | (u'v − uv')/v² |
La règle du produit demande le plus d’attention : la dérivée de uv n’est pas u'v', erreur très fréquente en particulier dans les premiers exercices. Pour le quotient, le signe moins au numérateur et le carré au dénominateur sont les deux sources d’erreur à vérifier en premier.
✅ Exemples corrigés pas à pas
Exemple 1 : un polynôme. Soit f(x) = 3x³ − 5x² + 4x − 7. On dérive terme à terme avec la règle de la somme et celle de la multiplication par une constante : la dérivée de 3x³ est 3 × 3x² = 9x², celle de −5x² est −10x, celle de 4x est 4 et celle de la constante −7 est 0. On obtient :
f'(x) = 9x² − 10x + 4
Exemple 2 : un quotient. Soit g(x) = (2x + 1) / (x − 3), définie pour x ≠ 3. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = x − 3, donc u'(x) = 2 et v'(x) = 1. La formule du quotient donne :
g'(x) = (2(x − 3) − (2x + 1) × 1) / (x − 3)² = −7 / (x − 3)²
Un peu d’algèbre suffit : garde le dénominateur sous forme factorisée : un carré est toujours positif, donc le signe de g'(x) se lit directement. Ici, il est négatif pour tout x ≠ 3, et c’est précisément ce signe qui renseigne sur les variations de g.
À quoi sert la dérivée ? 📊
La dérivée sert d’abord à étudier les variations d’une fonction : sur un intervalle, si f'(x) est positive, f est croissante, et si elle est négative, f est décroissante. Ce lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation est un théorème central de l’analyse. Les points où f' s’annule en changeant de signe signalent un extremum local, maximum ou minimum.
Prenons f(x) = x³ − 3x sur ℝ. Sa dérivée vaut f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Elle s’annule en −1 et en 1, et l’étude de son signe donne le tableau de variations suivant.
| Intervalle ou point | Signe de f'(x) | Comportement de f |
|---|---|---|
| ]−∞ ; −1[ | Positif | Croissante |
| x = −1 | Nul | Maximum local : f(−1) = 2 |
| ]−1 ; 1[ | Négatif | Décroissante |
| x = 1 | Nul | Minimum local : f(1) = −2 |
| ]1 ; +∞[ | Positif | Croissante |
Cette méthode en trois temps (dériver, étudier le signe, conclure sur les variations) revient dans presque tous les exercices d’analyse. Elle permet aussi de trouver pour quelles valeurs de x une fonction atteint son maximum ou son minimum, donc de résoudre des problèmes d’optimisation, comme chercher l’aire maximale d’un enclos, le coût minimal d’une production ou l’instant où une vitesse atteint son maximum.
Ces réflexes comptent dès la fin de la Première. D’après le ministère de l’Éducation nationale, l’épreuve anticipée de mathématiques est un écrit de 2 heures, de coefficient 2, passé sans calculatrice. Elle s’ouvre sur une partie d’automatismes notée sur 6 points, suivie d’exercices indépendants sur 14 points. Les élèves de Première de 2026-2027 la passent en juin 2027, pour la session 2028 du baccalauréat, selon la note de service publiée au Bulletin officiel spécial du 17 septembre 2026.
Sans calculatrice, dériver de tête un polynôme ou un quotient simple devient un vrai gain de temps, et cela s’entraîne. Un calculateur de dérivées en ligne peut servir à vérifier tes résultats pendant les révisions, à condition d’avoir d’abord cherché toi-même. De nombreux professionnels proposent leurs services à domicile ou en visio : un prof de maths peut t’aider à automatiser ces gestes bien avant le jour de l’épreuve.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Quelle différence entre dérivée et primitive ?
Une primitive fait le chemin inverse de la dérivée. Si F' = f sur un intervalle, on dit que F est une primitive de f. Par exemple, x² est une primitive de 2x, tout comme x² + 5, puisque la dérivée d’une constante est nulle. Une fonction admet donc une infinité de primitives, qui diffèrent d’une constante, alors que sa dérivée, quand elle existe, est unique.
💡 Toutes les fonctions sont-elles dérivables ?
Non. Une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable. La valeur absolue en est l’exemple classique : en 0, le taux d’accroissement vaut 1 à droite et −1 à gauche, il n’a donc pas de limite unique et la courbe forme un angle. La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 non plus, car sa tangente y est verticale. Retiens la propriété dans le bon sens : la dérivabilité en un point entraîne la continuité en ce point, mais une fonction continue n’est pas forcément dérivable.
🔍 Comment noter la dérivée d’une fonction ?
La notation la plus courante est f'(x), qui se lit « f prime de x ». Tu croiseras aussi df/dx, issue du calcul différentiel de Leibniz, très utilisée en physique pour écrire une vitesse sous la forme dx/dt, quand la variable est le temps t. Cette notation rappelle que la dérivée est un rapport de petites variations : celle de la fonction sur celle de la variable. En dérivant une seconde fois, tu obtiens la dérivée seconde, ou dérivée d’ordre 2, notée f''(x), qui renseigne sur la courbure de la courbe. En physique, la dérivée seconde de la position par rapport au temps est l’accélération.
Sources 📚
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de Première générale, arrêté du 26 février 2026 (NOR MENE2602917A). » Bulletin officiel n° 14, 2 avril 2026, https://www.education.gouv.fr/bo/2026/Hebdo14/MENE2602917A.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Épreuve anticipée de mathématiques en classe de Première. » education.gouv.fr, 2026, https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/epreuve-anticipee-de-mathematiques-en-classe-de-premiere-450607.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Note de service définissant l’épreuve anticipée de mathématiques (NOR MENE2622640N). » Bulletin officiel spécial n° 4, 17 septembre 2026, https://www.education.gouv.fr/bo/2026/Special4/MENE2622640N.
- Borowczyk, Jacques. « Doit-on réhabiliter l’identité numérique du marquis de l’Hospital ? » PLOT, n° 26, APMEP, 2009, https://bibnum.publimath.fr/APL/APL09028.pdf.
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