Les coniques

Par Olivier

Rédigé le 11 novembre 2009

2 minutes de lecture

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Soient F un point fixé et D une droite telle que F n'appartienne pas à D. Soit e un réel strictement positif. On considère l'ensemble des points M du plan de projeté orthogonal H sur D tels que M vérifie la condition suivante : la distance de m à F sur la distance MH est égale à e. Cet ensemble est appelé conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. Propriété : Les isométries et les similitudes transforment les coniques en des coniques de même excentricité. Si 0 1 , la conique est une hyperbole. Axe focal : L'axe focal d'une conique est la perpendiculaire à sa directrice D passant par F. Toute conique a pour axe de symétrie son axe focal. Sommets d'une conique : Les points d'intersection entre une conique et son axe focal sont appelés les sommets. Soit K le projeté orthogonal de F sur , K est le projeté orthogonal des éventuels sommets. Si e=1, la conique a un seul sommet, le point M, milieu de [FK]. Si e différent de 1, la conique a deux sommets : S, le barycentre de {(F, 1), (K, e)} et S', le barycentre de {(F, 1), (K, -e)}. Si e=1, la conique est une parabole (un seul sommet) ; si 01, il s'agit d'une hyperbole.
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choix du repère : Equation de la parabole de foyer F, de directrice D. Théorème : soit P la parabole de foyer F, de directrice D, de sommet S milieu de [KF]. Dans le repère défini ci-dessus, P a pour équation y²=2px, avec p=KF. p est appelé paramètre de la parabole. *Nature des ensembles des points d'équation y² = ax, a différent de 0, ou x² = ay, a différent de 0.1er cas : y² = ax, en posant a=2p2ème cas : x²=ay**
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Choix du repère. Soient S et S' les sommets : S = bary {(F, 1), (K, e)} et S' = bary {(F, 1), (K, -e)}. On prend pour origine O milieu de [SS'], pour axe des abscisses l'axe focal, et pour Equation réduiteEnsemble des points M (x, y) vérifiant (E) :Ensemble des points M(x, y) vérifiant (E') :

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Olivier

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