Pourquoi les limites existent-elles ? Parce qu’une courbe ne s’arrête jamais au bord de ta feuille. Quand x devient immense, ou quand il frôle une valeur interdite, la limite décrit ce que fait la fonction là où le simple calcul de f(x) ne suffit plus. C’est elle qui dessine les branches infinies et les asymptotes de la représentation graphique.
Le cas le plus fréquent est la limite d’un polynôme du second degré, qui se règle en une ligne dès que tu connais la règle du terme dominant. Viennent ensuite les quotients et les racines carrées, où il faut repérer les formes indéterminées. L’exercice corrigé plus bas reprend cinq fonctions classiques, avec chaque résultat justifié.
Quelle est la limite d’un polynôme du second degré ? 📈
En +∞ comme en −∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Pour f(x) = ax² + bx + c avec a > 0, la limite vaut donc +∞ des deux côtés ; si a < 0, elle vaut −∞ des deux côtés.
🔝 La règle du terme de plus haut degré
Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Elle est définie sur tout l’intervalle ]−∞ ; +∞[, et sa courbe est une parabole.
Pour comprendre la règle, factorise par le monôme dominant : f(x) = x²(a + b/x + c/x²). Quand x tend vers l’infini, b/x et c/x² tendent vers 0, donc la parenthèse tend vers a. Il ne reste que ax². C’est exactement la méthode qu’applique Yvan Monka, professeur de l’académie de Strasbourg, à l’exemple −3x³ + 2x² − 6x + 1, qui tend vers −∞ en +∞.
➕ Le rôle du signe de a
Comme x² tend vers +∞ en +∞ et en −∞, tout dépend du signe du coefficient a :
- Si
a > 0, la parabole est tournée vers le haut et ses deux branches montent vers+∞, - Si
a < 0, elle est tournée vers le bas et ses deux branches descendent vers−∞, - En un réel
x₀, la limite vaut simplementf(x₀), car un polynôme est défini partout.
Exemple : pour f(x) = −2x² + 3x + 1, le terme dominant est −2x², donc lim f(x) = −∞ en +∞ et en −∞. En x = 1, tu remplaces : f(1) = −2 + 3 + 1 = 2.
Garde uniquement le terme de plus haut degré, puis regarde son signe.
Avec 5x² − 100x, le terme −100x impressionne, mais c’est 5x² qui l’emporte : la limite vaut +∞.
Comment calculer une limite pas à pas ? 🧮
Il n’existe pas une formule unique de limite : tu combines les limites des fonctions de référence avec les règles d’opérations (somme, produit, quotient). Si le résultat est une forme indéterminée, tu transformes l’expression, le plus souvent en factorisant par le terme dominant.
🧩 Les opérations sur les limites
Commence par les limites de référence. D’après le cours de Terminale d’Yvan Monka, √x tend vers +∞ en +∞, x³ tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en −∞, et 1/x tend vers 0 en ±∞. Près de 0, 1/x tend vers +∞ à droite et vers −∞ à gauche.
Aurélien Parigaux, enseignant au lycée Eugène Ionesco, précise le cas des puissances : 1/xⁿ tend vers +∞ quand x → 0⁺, et quand x → 0⁻ la limite vaut +∞ si n est pair, −∞ si n est impair. Ces résultats te serviront directement dans l’exercice.
Pour calculer un polynôme en un point, la règle de substitution suffit : si la fonction est définie en a, sa limite en a est f(a). Les difficultés n’apparaissent qu’aux bornes de l’ensemble de définition.
🔓 Lever une forme indéterminée
Les opérations ne concluent pas dans quatre situations, appelées formes indéterminées :
∞ − ∞, par exemplex² − 5xen+∞,0 × ∞, par exemplex × (1/x²)en+∞,∞/∞, par exemple(2x + 1)/(x − 3)en+∞,0/0, par exemple(x² − 1)/(x − 1)en 1.
La parade est presque toujours la même : factoriser. Avec x² − 5x = x²(1 − 5/x), la parenthèse tend vers 1, donc la limite vaut +∞. Pour un quotient de polynômes, divise numérateur et dénominateur par x : (2x + 1)/(x − 3) tend vers 2/1 = 2, le quotient des termes dominants.
Formes indéterminées à connaître
∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0 (Source : Yvan Monka, cours de Terminale)
Exercice corrigé : cinq limites à calculer ✏️
L’exercice demande 13 limites réparties sur cinq fonctions. Commence toujours par l’ensemble de définition : il dit à quelles bornes la question a un sens.
| Fonction | Ensemble de définition | Limites demandées |
|---|---|---|
f₁(x) = −3x/x³ | x ≠ 0 | En +∞, en −∞ et en 0 |
f₂(x) = √x − 3/x³ | ]0 ; +∞[ | En +∞, en −∞ et en 0 |
f₃(x) = 1/(x³ − 1) | x ≠ 1 | En +∞, en −∞ et en 1 |
f₄(x) = (√x − 1)(1 + 1/x) | ]0 ; +∞[ | En 0 et en +∞ |
f₅(x) = (√x − 1)/(1/x + 1) | ]0 ; +∞[ | En +∞ et en 0 |
♾️ Les limites en +∞ et en −∞
Pour f₁, simplifie d’abord : pour x ≠ 0, −3x/x³ = −3/x². Comme 1/x² tend vers 0 en +∞ et en −∞, f₁ tend vers 0 des deux côtés. La droite y = 0 est asymptote horizontale.
Pour f₂, en +∞, √x → +∞ et 3/x³ → 0 : la somme tend vers +∞. En −∞, la question n’a pas de sens, car √x n’est défini que pour x ≥ 0. Pour f₃, le dénominateur x³ − 1 tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en −∞, donc f₃ tend vers 0 dans les deux cas.
Pour f₄, √x − 1 → +∞ et 1 + 1/x → 1 : le produit tend vers +∞. Pour f₅, le numérateur tend vers +∞ et le dénominateur 1/x + 1 vers 1, donc le quotient tend vers +∞.
| Fonction | Point | Limite | Justification |
|---|---|---|---|
−3x/x³ | +∞ | 0 | −3x/x³ = −3/x² et 1/x² → 0 |
−3x/x³ | −∞ | 0 | Même simplification, 1/x² → 0 |
√x − 3/x³ | +∞ | +∞ | √x → +∞ et 3/x³ → 0 |
√x − 3/x³ | −∞ | Sans objet | √x n’est pas défini pour x < 0 |
1/(x³ − 1) | +∞ | 0 | Dénominateur → +∞ |
1/(x³ − 1) | −∞ | 0 | Dénominateur → −∞ |
(√x − 1)(1 + 1/x) | +∞ | +∞ | Produit de +∞ par 1 |
(√x − 1)/(1/x + 1) | +∞ | +∞ | Quotient de +∞ par 1 |
🎯 Les limites en 0 et en 1
En 0, f₁(x) = −3/x². Comme x² > 0 pour x ≠ 0, 1/x² tend vers +∞ à gauche comme à droite, donc f₁ tend vers −∞. La droite x = 0 est asymptote verticale.
Pour f₂, on travaille en 0⁺ : √x → 0 et 3/x³ → +∞, donc f₂ tend vers −∞. Pour f₄, l’ancienne version de ce corrigé annonçait +∞, c’est faux : √x − 1 tend vers −1 et 1 + 1/x vers +∞, donc le produit tend vers −∞. Pour f₅, le numérateur tend vers −1 et le dénominateur vers +∞, donc le quotient tend vers 0.
Reste f₃ en 1, la seconde correction. Le dénominateur x³ − 1 tend vers 0, mais son signe change : il est positif pour x > 1 et négatif pour x < 1. La fonction tend donc vers +∞ à droite et vers −∞ à gauche. Les deux limites diffèrent : f₃ n’a pas de limite en 1, et la droite x = 1 est asymptote verticale.
| Fonction | Point | Limite | Justification |
|---|---|---|---|
−3x/x³ | 0 | −∞ | −3/x² avec x² > 0, des deux côtés |
√x − 3/x³ | 0⁺ | −∞ | √x → 0 et 3/x³ → +∞ |
1/(x³ − 1) | 1⁺ | +∞ | Dénominateur → 0⁺ |
1/(x³ − 1) | 1⁻ | −∞ | Dénominateur → 0⁻, donc pas de limite en 1 |
(√x − 1)(1 + 1/x) | 0⁺ | −∞ | Produit de −1 par +∞ |
(√x − 1)/(1/x + 1) | 0⁺ | 0 | −1 divisé par +∞ |
Quand un dénominateur tend vers 0, étudie toujours son signe à gauche et à droite.
Si les deux limites diffèrent, comme pour 1/(x³ − 1) en 1, la fonction n’a pas de limite en ce point.
Les limites sont-elles au programme de Première ? 🎓
Non : les limites de fonctions relèvent de la spécialité mathématiques en Terminale. En Première, tu étudies le second degré et les limites de suites, ce qui prépare directement les calculs de cet exercice.
📅 Ce que changent les nouveaux programmes
Selon la présentation de l’académie de Normandie (juin 2026), les nouveaux programmes de mathématiques sont parus au Bulletin officiel du 2 avril 2026. Ils s’appliquent à la rentrée 2026 en Seconde et en Première, puis à la rentrée 2027 en Terminale.
Dans la spécialité de Première, la partie Algèbre comprend les équations et fonctions polynômes du second degré, et la partie Analyse les variations et courbes représentatives. La fonction racine carrée y est introduite, et la notion de limite porte sur les suites, y compris celles qui n’ont pas de limite. La même présentation signale la parabole représentative comme retirée de ce programme de Première.
🧭 Pourquoi l’ancienne étiquette « 1re S » ne tient plus
La série S a disparu avec la réforme du baccalauréat 2021. L’inspection de mathématiques de l’académie de Guyane range le chapitre « Limites des fonctions » en Terminale, avec un « renforcement sensible sur suites, limite des fonctions ». Elle insiste aussi sur le lien entre le calcul et le dessin :
Courbes : registre graphique, point de vue global, mais aussi local pour les limites et les tangentes.
Inspection pédagogique régionale de mathématiques, académie de Guyane, Zoom sur la partie Analyse
Chaque limite calculée plus haut se lit en effet sur la courbe : une limite nulle en +∞ donne une asymptote horizontale, une limite infinie en 1 une asymptote verticale. Pour t’entraîner à faire ces allers-retours entre calcul et graphique, un accompagnement ciblé aide beaucoup. Partout en France, il est possible de trouver un accompagnement adapté, par exemple avec des cours particuliers de maths.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Quelle est la limite de 3x en +∞ ?
La limite de 3x en +∞ est +∞. En effet, x tend vers +∞ et le multiplier par un nombre strictement positif ne change pas ce comportement. En −∞, 3x tend vers −∞. En un point réel, tu remplaces simplement : en 0, 3x tend vers 0. Attention au signe du coefficient : −3x tend au contraire vers −∞ en +∞.
💡 Quelle est la limite de racine de x en 0 ?
La limite de √x quand x tend vers 0 est 0. La fonction racine carrée est définie en 0 et √0 = 0, donc la substitution suffit, en ne considérant que les valeurs x ≥ 0. En +∞, en revanche, √x tend vers +∞, plus lentement que x. Pour 1/√x, la limite vaut +∞ en 0⁺ et 0 en +∞.
🔍 Quel est le degré d’un polynôme nul ?
Le polynôme nul, celui dont tous les coefficients valent 0, n’a pas de degré au sens habituel, car il n’a aucun coefficient non nul. Selon les ouvrages, on dit que son degré n’est pas défini, ou on lui attribue par convention le degré −∞. Ce n’est donc pas un polynôme du second degré : celui-ci exige a ≠ 0 devant x².
Sources 📚
- Académie de Normandie. Nouveaux programmes au lycée : présentation aux enseignants. Inspection de mathématiques, 2026, https://mathematiques.ac-normandie.fr/IMG/pdf/nouveaux_programmes_lyce_es_r26_pre_sentation_ens.pdf.
- Académie de Guyane. Zoom sur la partie Analyse. Inspection pédagogique régionale de mathématiques, https://maths.dis.ac-guyane.fr/IMG/pdf/zoom_sur_analyse.pdf.
- Monka, Yvan. Limites, continuité, convexité. Cours de Terminale, maths-et-tiques, https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Tlccfct.pdf.
- Parigaux, Aurélien. Limites de fonctions. Cours de Terminale spécialité, lycée Eugène Ionesco, 2026, https://parigaux.pages.math.cnrs.fr/_static/CoursTerminalesSpecialite/CoursLimitesFonctions.pdf.
Résumer avec l'IA :
Vous avez aimé cet article ? Notez-le !
Loading...
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
limite x tend vers 0 racine X au cube – x carré
Svp svp svp