"Si la science était un être vivant, les mathématiques seraient le cœur." - Appolinaire Nsabimana
La France est connue pour ses inégalités scolaires dans l'apprentissage des mathématiques, et ce depuis les classes élémentaires jusqu'à la terminale. Selon une étude de l'OCDE basée sur l'enquête PISA de 2012 et ses recherches sur la compréhension des mathématiques par les élèves, 38 % des élèves Français(es) ne savent pas ce qu'est une moyenne arithmétique, contre 31 % des élèves dans le reste des pays de l'OCDE. Dès la classe de quatrième, les élèves sont confrontés à un parcours semé d'embûches et rencontrent ainsi des difficultés à maîtriser une des bases de l'algèbre : le développement. Le Mag' de Superprof se met dans la peau d'un prof de maths pour vous expliquer comment développer et réduire une ou plusieurs expressions littérales.
La distributivité pour développer un polynôme de premier degré
Les cours de mathématiques sont l'une des disciplines les plus importantes des classes de collège.
Pourtant, plus de la moitié des élèves Français(es) ont des résultats scolaires faibles ou médiocres en cours de maths. Apprendre à développer des opérations algébriques ne va pas forcément de soi. Et pourtant, il s'agit d'un thème central des programmes scolaires en maths, notamment en classe de troisième. Développer une expression consiste à l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une soustraction. Cela revient à transformer une multiplication (ou un produit) de plusieurs termes semblables en une opération de sorte que l'on obtienne des formules de type : k x (a + b) = k x a + k x b. Pour y parvenir, on va utiliser au choix deux méthodes de calcul littéral très répandues en cour de math :
- La distributivité de la multiplication,
- La double distributivité.
On appelle distributivité de la multiplication sur l'addition (ou sur la soustraction) une opération permettant de passer du produit d'une somme (ou d'une différence) de deux termes à une somme de produits. Ce n'est pas clair ? On s'explique en exemples : Soit l'équation suivante : 10 x 25 = 10 x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 = 200 + 50 = 250. Si 10 x 25 = 10 x (20 + 5), d'autres équations sont également exactes : 10 x 25 = 10 x (20 + 5) est effectivement égal à 10 x (35 - 10) :
- 10 x 25 = 10 x (35 - 10) = 10 x 35 - 10 x 10 = 350 - 100 = 250,
- 10 x 25 = 10 x (27 - 5 + 3) = 10 x 27 - 10 x 5 + 10 x 3 = 270 - 50 + 30 = 250.
La propriété de la distributivité permet de simplifier les calculs et d'être bien plus efficace en calcul mental qu'en cherchant le résultat sans passer par la décomposition de l'expression. La méthode permet également de supprimer les parenthèses et de tendre vers une écriture simplifiée. Le théorème est le suivant : une opération constituée d'un produit de nombres et de facteurs différents se distribue sur une opération sous la forme d'une somme de facteurs si, quels que soient les nombres a, b ou c, on a : a (b + c) = (a x b) + (a x c). On parle de distributivité gauche si a (b + c) = (a x b) + (a x c). A l'inverse, on dit que l'opération peut subir une distributivité droite si (a + b) x c = (a x c) + (b x c). Cette technique de distributivité permet le développement ordonné d'un polynôme de premier degré.
La double distributivité pour développer un polynôme de second degré
Nous allons maintenant voir que développer une expression mathématique n'est pas plus complexe lorsqu'elle comporte plusieurs polynômes de second degré.
Lorsqu'il s'agit de résoudre des équations constituées de polynômes de second degré en cours de maths (avec plusieurs coefficients et notamment la fonction carrée : soit f(x) = (x - 1)(2x + 3)), comment faire ? Nous allons voir que c'est plus facile qu'il n'y paraît. Pour développer la fonction f(x) = (x - 1)(2x + 3), il faut regrouper les termes entre eux et transformer un produit, faire apparaitre une somme de deux termes. Le mode opératoire est le suivant : (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d. Du coup, on obtient :
- (a + b) (c − d) = ac – ad + bc − bd,
- (a − b) (c + d) = ac + ad – bc − bd,
- (a − b) (c − d) = ac – ad – bc + bd.
Attention à ne pas oublier des termes et à bien respecter les priorités opératoires ainsi que la règle des signes ! Exemples :
- f(x) = (x - 1)(2x + 3),
- = x x 2x + x x 3 - 1 x 2x + (-1 x 3),
- = 2x² + 3x - 2x - 3,
- = 2x² + x - 3.
La forme développée de l'expression sera donc f(x) = 2x² + x - 3. Comment développer les expressions suivantes ? :
- f(x1) = (x + 3)(2x + 1) ,
- f(x2) = (5 + x)(3x − 2),
- f(x3) = (6 − 5x)(7 − 4x).
Voici le corrigé (essayez de faire l'exercice en masquant la correction) :
- f(x1) = 2x2 + x + 6x + 3 = 2x² + 7x + 3,
- f(x2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x = 3x² + 13x - 10,
- f(x3) = 20x² + 42 − 24x − 35x = 20x² - 59x + 42.
En somme, développer un produit de facteurs équivaut à faire un peu de gymnastique mentale !
Comment ordonner et réduire des expressions algébriques ?
Avec le développement ou le double développement d'un ou deux facteurs, ou même s'il y a un troisième facteur, on peut se retrouver avec beaucoup d'additions et de soustractions de nombres et de termes à une seule inconnue (x).
C'est la raison pour laquelle les cours et exercices de maths vous demanderont souvent d'ordonner et de réduire les expressions littérales. Cela vous servira notamment plus tard, pour factoriser une expression avec un facteur commun. Réduire une expression consiste à faire les sommes algébriques des termes de même nature. Ordonner revient à écrire dans l'ordre des puissances croissantes ou des puissances décroissantes. Cela équivaut à classer l'enchainement des opérations algébriques ayant la même valeur. Autrement dit, on va repérer et ranger ensemble les x², les x, et les unités sans inconnue. Par exemple :
- 2x + 12 + 4x² - 6x + 4x² + 2,
- = 8x² - 4x + 14.
Ou bien encore si l'on souhaite mettre en évidence l'expression suivante sous sa forme développée : (3x + 1) (2x + 4)
- (3x + 1) (2x + 4) = 3x x 2x + 3x x 4 + 2x + 4,
- = 6x² + 12x + 2x + 4,
- = 6x + 14x + 4.
C'est paradoxal, mais l'étape de développement d'une expression de type polynôme (type d'écriture contenant des carrés et des variables inconnues) s'appelle l'expansion : celle-ci permet de l'exprimer en somme de facteurs (dont on aura supprimé les formes de factorisation), pour obtenir une écriture plus longue, mais permettant une simplification des calculs. C'est à cette dernière étape que l'on effectue la réduction. Pour ne plus jamais vous tromper, il n'y a pas de remède miracle : il faut multiplier les exercices de maths pour que le développement devienne un automatisme ! L'enchainement des opérations va devenir rapide et fluide, il vous suffit d'appliquer la formule adaptée et de vous faire confiance. Les calculs algébriques ne vous auront jamais paru aussi simples en cours de maths !
Rappel des propriétés algébriques : les identités remarquables
Très utiles pour développer des expressions algébriques, les identités remarquables doivent être apprises par cœur.
Une identité remarquable est un cas particulier de développement avec une produit remarquable. On appelle identités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des variables polynomiales, permettant de simplifier l'écriture des calculs, à factoriser une expression ou au contraire à la développer. Elles sont également utiles pour résoudre des équations du second degré. Soit a et b des nombres quelconques. Les inconnues a et b peuvent être des nombres entiers, des nombres réels ou complexes. Les trois identités remarquables du second degré sont les suivantes :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²,
- (a - b)² = a² - 2ab + b²,
- (a + b) (a - b) = a² - b².
La deuxième identité remarquable est considérée comme un cas particulier de la première. On appelle un produit remarquable les expressions (a + b)², (a - b)² et (a + b) (a - b). De l'autre côté du signe égal, a² + 2ab + b² est une somme remarquable, tout comme a² - 2ab + b² et a² - b². Les égalités remarquables permettent de transformer un produit algébrique en simplifiant les modes opératoires. Soit f(x) = (2x - 3)² + (x + 5) (3 - x). Pour développer l'expression, on va d'abord développer le produit remarquable (2x - 3)² :
- (2x - 3)² = (2x)² - 2 x 2x x 3 + 3²,
- = 4x² - 12x + 9.
Dont f(x) = 4x² - 12x + 9 + (x + 5) (3 - x). On va ensuite développer le deuxième terme en utilisant la méthode de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ( (x + 5) (3 - x)). (x + 5) (3 - x) = x (3 - x) + 5 (3 - x) = 3x - x² + 15 - 5x = -x² - 2x + 15. D'où f(x) = 4x² - 12x + 9 - x² - 2x + 15 = 3x² - 14x + 24. Attention à bien mettre des parenthèses, surtout lors de la première étape de votre développement remarquable ! Eviter ce genre de pièges est la garantie de la bonne application des règles de calcul et vous permettra de distribuer correctement. Alors on range sa calculatrice, et on apprend à résoudre une équation par soi-même grâce au développement mathématique ! Triangle, rectangles, équation, fractions, valeurs littérales, forme canonique, tout ceci va vous paraître familier en quelques coups de crayon ! Plus besoin de machines, le mathématicien, c'est vous !
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Merci pour votre aide
bonjour je suis un eleve de 2nd je voudrais une aide sur deux exercices que je n’ai pas compris merci de votre compréhension
Bonjour,
Vous pouvez faire appel à un professeur particulier avec l’accord de vos parents.
Bon courage à vous
Je vous le conseille merci dite amen François pour être mathématicien
Je sais pas comment on fait pour développer
Bonsoir je suis un élève de 2nd je voudrais que vous m’aidiez avec les formules de expression avec au exposant 3
Merci,
Je viens avec grand plaisir retrouver ce que j’avais oublier.Maintenant à 69 ans ,je vais pouvoir me distraire en résolvant quelques problèmes.