Deux vecteurs qui pointent dans des sens opposés peuvent parfaitement être colinéaires. Le mot ne parle pas de sens mais de direction : deux vecteurs sont colinéaires dès que l’un s’obtient en multipliant l’autre par un nombre réel, positif ou négatif. Toute la géométrie repérée de Seconde s’appuie sur cette idée.
Son intérêt est très concret : un seul calcul, x × y' − y × x', suffit pour démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles. Il tranche là où une figure peut tromper l’œil.
Que veut dire colinéaire en maths ? 📐
Deux vecteurs →u et →v sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que →v = k × →u. Concrètement, ils ont la même direction : ils sont portés par des droites parallèles, même si leur sens ou leur longueur diffèrent.
Le coefficient de colinéarité k raconte toute l’histoire. Si k est positif, les deux vecteurs ont le même sens ; si k est négatif, ils sont de sens contraires. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque 0 × →u donne le vecteur nul quel que soit →u.
Le programme de Seconde enchaîne le produit d’un vecteur par un réel, puis le déterminant et ses applications. La fiche professeur de l’académie de Rennes résume ainsi la capacité attendue :
Caractériser l’alignement et le parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
Programme de mathématiques de Seconde, capacité attendue, cité par l’académie de Rennes (2021)
De nouveaux programmes entrent en vigueur en Seconde à la rentrée 2026, mais l’académie de Normandie précise que, pendant la transition, les vecteurs suivent l’ancien programme de Seconde. Ils restent un « outil efficace pour démontrer en géométrie et modéliser en physique ».
Comment savoir si des vecteurs sont colinéaires ? ✅
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs →u(x ; y) et →v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : x × y' − y × x' = 0. C’est la méthode la plus rapide, et elle fonctionne même quand une coordonnée vaut zéro.
🧮 La méthode du déterminant
Le déterminant de →u et →v, noté det(→u, →v), se calcule en croisant les coordonnées : le produit de x par y', moins le produit de y par x'.
det(→u, →v) = x × y' − y × x'
Exemple avec →u(2 ; 3) et →v(6 ; 9) :
det(→u, →v) = 2 × 9 − 3 × 6 = 18 − 18 = 0
Le déterminant est nul, donc →u et →v sont colinéaires. Sur une copie, écris le calcul, puis une conclusion qui cite le critère.
🔍 Trouver le coefficient de colinéarité
Une fois la colinéarité établie, on cherche le réel k tel que →v = k × →u. On divise une coordonnée de →v par la coordonnée correspondante, non nulle, de →u, puis on vérifie avec l’autre coordonnée.
- Avec →u(2 ; 3) et →v(6 ; 9) : k = 6 ÷ 2 = 3, et on vérifie que 3 × 3 = 9,
- Avec →u(0 ; 5) et →v(0 ; −2) : la première coordonnée de →u est nulle, on passe donc à la seconde, k = −2 ÷ 5 = −0,4. Le coefficient est négatif : les deux vecteurs sont de sens contraires.
Vérifie d’abord que le déterminant est nul : un quotient calculé sur deux vecteurs non colinéaires ne veut rien dire. Et divise toujours par une coordonnée non nulle du vecteur de référence, jamais par zéro.
❌ Montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires
Le critère fonctionne dans les deux sens : si le déterminant est différent de zéro, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Avec →u(1 ; 4) et →v(2 ; 5) :
det(→u, →v) = 1 × 5 − 4 × 2 = 5 − 8 = −3
Comme −3 ≠ 0, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Aucun coefficient ne peut convenir : 2 ÷ 1 = 2, alors que 5 ÷ 4 = 1,25.
Montrer que trois points sont alignés 📍
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⟶AB et ⟶AC sont colinéaires. La démonstration se fait donc en deux temps : calculer les coordonnées des deux vecteurs, puis leur déterminant.
Rappel utile : le vecteur ⟶AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA), c’est-à-dire l’arrivée moins le départ.
✅ Points alignés : un exemple complet
Prenons A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(4 ; 8).
- Coordonnées de ⟶AB : (3 − 1 ; 6 − 2), soit ⟶AB(2 ; 4),
- Coordonnées de ⟶AC : (4 − 1 ; 8 − 2), soit ⟶AC(3 ; 6),
- Déterminant : 2 × 6 − 4 × 3 = 12 − 12 = 0.
Le déterminant est nul : ⟶AB et ⟶AC sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés. On peut même préciser le coefficient : ⟶AC = 1,5 × ⟶AB, puisque 3 ÷ 2 = 1,5 et 6 ÷ 4 = 1,5.
🚫 Points non alignés : le contre-exemple
Remplaçons C par D(4 ; 7). Le vecteur ⟶AD a pour coordonnées (4 − 1 ; 7 − 2), soit (3 ; 5).
det(⟶AB, ⟶AD) = 2 × 5 − 4 × 3 = 10 − 12 = −2
Le déterminant vaut −2, il n’est pas nul : ⟶AB et ⟶AD ne sont pas colinéaires, et les points A, B et D ne sont pas alignés. Sur une figure, D semble presque posé sur la droite (AB) : seul le calcul tranche.
Une séquence type en Seconde
heures consacrées à la colinéarité, de la définition à l’alignement et au parallélisme (fiche professeur, académie de Rennes, 2021)
Montrer que deux droites sont parallèles ou sécantes ↔️
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; sinon, elles sont sécantes. Tout repose donc sur le choix d’un vecteur directeur, puis sur le même calcul de déterminant.
🧭 Qu’est-ce qu’un vecteur directeur d’une droite ?
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul dont la direction est celle de (d). Si A et B sont deux points distincts de la droite, ⟶AB en est un vecteur directeur. Une droite en admet une infinité, tous colinéaires entre eux.
Quand la droite est donnée par une équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur de coordonnées (−b ; a) la dirige. Pour la droite d’équation 2x − y + 1 = 0, on a a = 2 et b = −1 : le vecteur →u(1 ; 2) est un vecteur directeur.
Pour ax + by + c = 0, prends le vecteur (−b ; a). Pour une équation réduite y = mx + p, le vecteur (1 ; m) convient : avec y = 2x + 1, tu retrouves (1 ; 2).
⚖️ Droites parallèles et droites sécantes
Comparons trois droites et leurs vecteurs directeurs, lus avec la règle (−b ; a) :
- (d) :
2x − y + 1 = 0, de vecteur directeur →u(1 ; 2), - (d') :
4x − 2y − 3 = 0, de vecteur directeur →v(2 ; 4), - (d'') :
x + y − 7 = 0, de vecteur directeur →w(−1 ; 1).
Pour (d) et (d') : det(→u, →v) = 1 × 4 − 2 × 2 = 0. Les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles. Elles sont même strictement parallèles : leurs équations réduites, y = 2x + 1 et y = 2x − 1,5, n’ont pas la même ordonnée à l’origine.
Pour (d) et (d'') : det(→u, →w) = 1 × 1 − 2 × (−1) = 1 + 2 = 3. Le déterminant n’est pas nul, les droites sont sécantes. Pour trouver leur point d’intersection, on égalise les équations réduites y = 2x + 1 et y = −x + 7 : 2x + 1 = −x + 7, d’où 3x = 6, puis x = 2 et y = 5. Les droites se coupent au point de coordonnées (2 ; 5).
Ce calcul d’intersection reste au programme : sur les droites du plan, l’académie de Normandie ne relève « pas de changement notable » en 2026.
Quels sont les trois types de vecteurs ? 🧩
Il n’existe pas de classification officielle en trois types. En Seconde, la réponse attendue distingue le plus souvent le vecteur nul, les vecteurs égaux et les vecteurs opposés, trois cas particuliers de vecteurs colinéaires :
- Le vecteur nul : ses coordonnées sont (0 ; 0), il est colinéaire à tout vecteur,
- Les vecteurs égaux : même direction, même sens, même longueur, donc k = 1,
- Les vecteurs opposés : même direction, même longueur, sens contraires, donc k = −1.
Le tableau ci-dessous associe chaque question classique sur la colinéarité à son outil et à la condition à vérifier.
| Ce qu’il faut montrer | Outil | Condition à vérifier |
|---|---|---|
| Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') colinéaires | Déterminant | x × y' − y × x' = 0 |
| Deux vecteurs non colinéaires | Déterminant | x × y' − y × x' ≠ 0 |
| Coefficient de colinéarité | Quotient de coordonnées | v = k × u, vérifié sur les deux coordonnées |
| Trois points A, B, C alignés | Vecteurs AB et AC | det(AB, AC) = 0 |
| Deux droites parallèles | Vecteurs directeurs | Déterminant nul |
| Deux droites sécantes | Vecteurs directeurs, puis équations réduites | Déterminant non nul, puis intersection |
Avec le déterminant, la colinéarité devient un réflexe : un calcul, une conclusion, et la démonstration est bouclée. Refais les exemples sans regarder les calculs, puis invente tes propres points. Partout en France, il est possible de trouver un accompagnement adapté : des cours de maths permettent de consolider ces méthodes avant les contrôles.
Les questions fréquentes ❓
🤔 Le vecteur nul est-il colinéaire à tous les vecteurs ?
Oui, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, car 0 × →u donne le vecteur nul pour n’importe quel →u. Le déterminant le confirme : avec (0 ; 0) et (x' ; y'), on obtient 0 × y' − 0 × x' = 0. C’est pourquoi un vecteur directeur doit être non nul.
💡 Deux vecteurs colinéaires ont-ils toujours le même sens ?
Non, deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas forcément le même sens. Tout dépend du signe du coefficient k : s’il est positif, les sens coïncident, s’il est négatif, ils sont contraires. Par exemple, →u(0 ; 5) et →v(0 ; −2) sont colinéaires avec k = −0,4 : ils sont portés par des droites parallèles mais pointent dans des sens opposés.
🔍 Comment dit-on colinéaire dans une autre langue ?
En anglais, colinéaire se dit collinear et la colinéarité collinearity : on parle de collinear vectors pour des vecteurs colinéaires. En arabe, le vocabulaire mathématique varie selon les pays et les manuels scolaires. Le plus sûr est de vérifier le terme employé dans ton manuel ou son lexique bilingue.
Sources 📚
- Académie de Normandie, inspection pédagogique de mathématiques. « Nouveaux programmes au lycée : présentation aux enseignants. » Académie de Normandie, juin 2026, https://mathematiques.ac-normandie.fr/IMG/pdf/nouveaux_programmes_lyce_es_r26_pre_sentation_ens.pdf.
- Académie de Rennes. « Fiche professeur : colinéarité, classe de Seconde. » Pédagogie, académie de Rennes, 2021, https://pedagogie.ac-rennes.fr/sites/pedagogie.ac-rennes.fr/IMG/pdf/fiche_professeur_colinearite.pdf.
- Ministère de l’Éducation nationale. « Programme d’enseignement de mathématiques de la classe de Seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026. » Bulletin officiel n° 14, 2 avril 2026, https://www.education.gouv.fr/bo/2026/Hebdo14/MENE2602914A.
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