Une puissance n'est rien d'autre qu'une multiplication répétée : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. Une fois cette idée en tête, les calculs sur les exposants deviennent une affaire de méthode plutôt que de mémoire !
C'est exactement ce que ces exercices de puissances vont vous entraîner à faire : passer du calcul simple à la notation scientifique.
Chaque énoncé est suivi d'un corrigé détaillé qui vous montre la règle utilisée à chaque étape.
L'objectif est clair : reconnaître la propriété qui s'applique (produit, quotient ou puissance d'une puissance) et l'appliquer sans hésiter, le jour du contrôle comme à la maison.
Allez, prenez votre brouillon, et c'est parti !
Rappel des règles de calcul des puissances 🧮
Avant de vous entraîner en exercice puissance, voici les
règles qui résolvent la quasi-totalité des exercices sur les puissances.
Elles fonctionnent pour les puissances de 10 comme pour n'importe quelle base, alors gardez-les sous les yeux pendant vos premiers calculs d'exercice puissance seconde :
Produit de même base
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Quotient de même base
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Puissance d'une puissance
(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Exposant négatif
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ
Pour les puissances de 10, l'exposant indique simplement le nombre de zéros : 10⁴ = 10 000 et 10⁻³ = 0,001. Garder ce repère en tête vous évite la plupart des erreurs de signe, en réalité !
Quand vous voyez une même base répétée, ne calculez jamais les grands nombres en premier !
Repérez d'abord la règle (produit, quotient ou puissance d'une puissance), jouez uniquement sur les exposants, et revenez au nombre décimal seulement à la fin. Vous gagnez ainsi beaucoup de temps et vous vous évitez les fautes de calcul.
Exercice 1 : les puissances de 10 🔟
Premier réflexe à automatiser pour votre exercice de puissance seconde : passer d'un nombre décimal à une puissance de 10, et inversement. C'est la base de la notation scientifique que vous retrouverez plus loin, donc autant la maîtriser dès maintenant !
Écrivez avec une puissance de 10 les nombres suivants :
0,001
10⁻³
10 000
10⁴
10 milliards
10¹⁰
1 centième
10⁻²
Donnez l'écriture décimale des nombres suivants :
10³
1000 (mille)
10⁻⁵
0,00001 (un cent-millième)
10⁻⁷
0,0000001 (un dix-millionième)
10²
100 (cent)
Exercice 2 : simplifier des expressions littérales ✍️
Ici, il faut combiner plusieurs règles dans un même calcul. L'astuce consiste à traiter chaque lettre séparément, comme si les autres n'existaient pas :
Simplifiez les expressions suivantes :
A = (a²b⁵c)²
A = a⁴b¹⁰c²
B = (abc²) ÷ (a⁵b⁵c)
B = c / (a⁴b⁴)
ou B = a⁻⁴b⁻⁴c
C = (abc²) × (a⁵b⁵c)
C = a⁶b⁶c³
Ici, on applique les règles lettre par lettre. Pour A, on multiplie chaque exposant par 2. Pour B et C, on additionne les exposants (produit) ou on les soustrait (quotient).
Quand on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants, jamais on ne les divise.
Et n'ayez pas peur des exposants négatifs : a⁻⁴ est une réponse parfaitement correcte, cela veut simplement dire 1 ÷ a⁴.
Exercice 3 : écrire sous la forme d'un produit de puissances 🔢
Cet exercice ressemble au précédent, mais avec des bases numériques (3, 4 et 5). Le but est d'exprimer chaque résultat sous la forme 3ᵖ × 4ᵠ × 5ʳ. Pensez bien à décomposer les nombres qui ne sont pas déjà dans les bonnes bases !
Écrivez sous la forme 3ᵖ × 4ᵠ × 5ʳ les expressions suivantes :
A = (3² × 5 × 6 × 4)²
A = (3² × 5 × 6 × 4)² avec 6 = 2 × 3 donne A = (3³ × 4 × 5 × 2)² = 3⁶ × 4² × 5² × 2²
B = (3⁴ × 4 × 5²) ÷ (3 × 5⁵)
B = (3⁴ × 4 × 5²) ÷ (3 × 5⁵) = 3⁴⁻¹ × 4 × 5²⁻⁵ = 3³ × 4 × 5⁻³
C = (3² × 4 × 5²) × (3 × 5 × 4)
C = (3² × 4 × 5²) × (3 × 5 × 4) = 3²⁺¹ × 4¹⁺¹ × 5²⁺¹ = 3³ × 4² × 5³
On commence par décomposer le 6 en 6 = 2 × 3 pour faire apparaître les bases autorisées, puis on regroupe les exposants de même base ! C'est cette étape de décomposition qui débloque tout le calcul.
Exercice 4 : calculer une écriture décimale 🧾
On revient à des nombres concrets pour vérifier votre maîtrise des produits par des puissances de 10 ! Comptez bien les décimales : c'est là que se cachent la plupart des erreurs.
Donnez l'écriture décimale des nombres suivants :
0,001²
0,001² = (10⁻³)² = 10⁻⁶ = 0,000001
0,05 × 10²
0,05 × 10² = 0,05 × 100 = 5
1,345 × 10⁵
1,345 × 10⁵ = 1,345 × 100 000 = 134 500
0,1 × 0,2
0,1 × 0,2 = 0,02
La notation scientifique permet d'écrire jusqu'à
soit le nombre estimé d'atomes dans l'univers observable, tout ceci sans aligner 80 zéros, donc ! (Source : NASA)
Exercice 5 : passer à la notation scientifique 🔬
La notation scientifique écrit tout nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a <10. C'est la forme attendue en physique et en chimie, il s'agit donc d'un automatisme précieux à acquérir.
Donnez l'écriture scientifique des nombres suivants :
310,2
310,2 = 3,102 × 10²
0,002 × 10⁵
0,002 × 10⁵ = 200 = 2 × 10²
0,0000503
3223 × 10⁻³
3223 × 10⁻³ = 3,223
On déplace la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10, puis on ajuste l'exposant de 10 en conséquence. Chaque décalage d'un rang vers la gauche augmente l'exposant de 1.
En mathématiques, l'art de poser une question doit être tenu pour plus important que celui de la résoudre. La maîtrise vient en refaisant les calculs jusqu'à ce que la règle devienne un réflexe.
Georg Cantor, mathématicien, cité dans Contributions à la fondation de la théorie des ensembles transfinis (1895)
Avec ces cinq exercices et leurs corrigés, les règles des puissances deviennent un automatisme : repérez la base, appliquez la bonne propriété, vérifiez le signe de l'exposant.
Reprenez ensuite chaque énoncé sans regarder la correction, et pensez à consolider vos bases avec ces exercices de calcul littéral : la notation scientifique n'aura bientôt plus de secret pour vous !
Et un petit récapitulatif pour la route ne vous fera pas de mal :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2² = 2⁵ = 32 |
| Quotient de même base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁴ ÷ 5² = 5² = 25 |
| Puissance d'une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01 |
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique.", 2026, https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/document/Annexe%20%E2%80%93%20Programme%20d%26%23039%3Benseignement%20de%20math%C3%A9matiques%20de%20la%20classe%20de%20seconde%20g%C3%A9n%C3%A9rale%20et%20technologique-515402.pdf.
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Merci, vous avez entièrement raison. j’ai corrigé
Bonjour,
Dans la correction de l’exercice 5 : 0,002 X 10*5 = 2,0 X 10*2
(la puissance de 10 est 2 et non -2)
Cordialement
Oups! Tu as raison je me suis trompée.
J’ai corrigé.
Merci encore !
bonjour LaKlara, j ai un petit doute sur l une de tes corrections exercice 1, sur 10 milliards. je ne pense pas que la puissance est 9 mais plutot 10, car si c’etait a la puissance 9 ce serait égale a 1milliard et non pas 10 milliards. Peut-être que je me trompe je ne suis pas très douée en maths!! en tous les cas, merci pour ces exercices. En attendant ta réponse.
Désolée, zangetsu, mais ta remarque est fausse.
3,223×10[sup]1[/sup] = 32,23 donc ce n’est pas correct.
Si tu veux mettre une puissance de 10, c’est 10[sup]0[/sup] et pas 10[sup]1[/sup]
Et 10[sup]0[/sup], c’est totalement inutile ! Je n’ai jamais vu un scientifique écrire ça…
Je parie que c’est toi qui as mis une mauvaise note alors que c’est toi qui te trompes. Merci de rectifier ta note.
Mille pardons, je me suis trompé et ce n’est pas moi qui ais noté comme ça.