Une puissance n'est rien d'autre qu'une multiplication répétée : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. Une fois cette idée en tête, les calculs sur les exposants deviennent une affaire de méthode plutôt que de mémoire. C'est exactement ce que ces exercices de puissances vont t'entraîner à faire, du calcul simple à la notation scientifique.
Chaque énoncé est suivi d'un corrigé détaillé qui te montre la règle utilisée à chaque étape. L'objectif est clair : reconnaître la propriété qui s'applique (produit, quotient ou puissance d'une puissance) et l'appliquer sans hésiter, le jour du contrôle comme à la maison. Allez, prends ton brouillon, c'est parti !
Rappel des règles de calcul des puissances 🧮
Avant de t'entraîner, voici les quatre règles qui résolvent la quasi-totalité des exercices sur les puissances. Elles fonctionnent pour les puissances de 10 comme pour n'importe quelle base, alors garde-les sous les yeux pendant tes premiers calculs.
- Produit de même base :
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, - Quotient de même base :
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, - Puissance d'une puissance :
(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ, - Exposant négatif :
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ.
Pour les puissances de 10, l'exposant indique simplement le nombre de zéros : 10⁴ = 10 000 et 10⁻³ = 0,001. Garder ce repère en tête t'évite la plupart des erreurs de signe.
Quand tu vois une même base répétée, ne calcule jamais les grands nombres en premier.
Repère d'abord la règle (produit, quotient ou puissance d'une puissance), joue uniquement sur les exposants, et reviens au nombre décimal seulement à la fin. Tu gagnes du temps et tu évites les fautes de calcul.
Exercice 1 : les puissances de 10 🔟
Premier réflexe à automatiser : passer d'un nombre décimal à une puissance de 10, et inversement. C'est la base de la notation scientifique que tu retrouveras plus loin, donc autant la maîtriser dès maintenant.
1. Écris avec une puissance de 10 les nombres suivants :
0,001,10 000,10 milliards,1 centième.
2. Donne l'écriture décimale des nombres suivants :
10³,10⁻⁵,10⁻⁷,10².
Exercice 2 : simplifier des expressions littérales ✍️
Ici tu combines plusieurs règles dans un même calcul. L'astuce consiste à traiter chaque lettre séparément, comme si les autres n'existaient pas. Tu verras, c'est plus simple qu'il n'y paraît.
Simplifie les expressions suivantes :
A = (a²b⁵c)²,B = (abc²) ÷ (a⁵b⁵c),C = (abc²) × (a⁵b⁵c).
Quand tu divises deux puissances de même base, tu soustrais les exposants, jamais tu ne les divises.
Et n'aie pas peur des exposants négatifs : a⁻⁴ est une réponse parfaitement correcte, ça veut simplement dire 1 ÷ a⁴.
Exercice 3 : écrire sous la forme d'un produit de puissances 🔢
Cet exercice ressemble au précédent, mais avec des bases numériques (3, 4 et 5). Le but est d'exprimer chaque résultat sous la forme 3ᵖ × 4ᵠ × 5ʳ. Pense à décomposer les nombres qui ne sont pas déjà dans les bonnes bases.
Écris sous la forme 3ᵖ × 4ᵠ × 5ʳ les expressions suivantes :
A = (3² × 5 × 6 × 4)²,B = (3⁴ × 4 × 5²) ÷ (3 × 5⁵),C = (3² × 4 × 5²) × (3 × 5 × 4).
Exercice 4 : calculer une écriture décimale 🧾
On revient à des nombres concrets pour vérifier ta maîtrise des produits par des puissances de 10. Compte bien les décimales : c'est là que se cachent la plupart des erreurs.
Donne l'écriture décimale des nombres suivants :
0,001²,0,05 × 10²,1,345 × 10⁵,0,1 × 0,2.
La notation scientifique permet d'écrire jusqu'à
le nombre estimé d'atomes dans l'univers observable, sans aligner 80 zéros (Source : NASA)
Exercice 5 : passer à la notation scientifique 🔬
La notation scientifique écrit tout nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. C'est la forme attendue en physique et en chimie, donc un automatisme précieux à acquérir.
Donne l'écriture scientifique des nombres suivants :
310,2,0,002 × 10⁵,0,0000503,3223 × 10⁻³.
Maintenant que tu as tout tenté de ton côté, passe aux corrigés et compare ta démarche étape par étape. Si une notion te résiste, la fiche dédiée à la notation scientifique reprend tout en détail.
Correction de l'exercice 1 ✅
1. Écriture avec une puissance de 10 :
0,001 = 10⁻³(trois décimales après la virgule),10 000 = 10⁴(quatre zéros),10 milliards = 10 000 000 000 = 10¹⁰,1 centième = 0,01 = 10⁻².
2. Écriture décimale :
10³ = 1000,10⁻⁵ = 0,00001,10⁻⁷ = 0,0000001,10² = 100.
Correction de l'exercice 2 ✅
Tu appliques les règles lettre par lettre. Pour A, tu multiplies chaque exposant par 2. Pour B et C, tu additionnes les exposants (produit) ou tu les soustrais (quotient).
A = (a²b⁵c)² = a⁴b¹⁰c²,B = (abc²) ÷ (a⁵b⁵c) = a¹⁻⁵ b¹⁻⁵ c²⁻¹ = a⁻⁴b⁻⁴c,C = (abc²) × (a⁵b⁵c) = a¹⁺⁵ b¹⁺⁵ c²⁺¹ = a⁶b⁶c³.
Correction de l'exercice 3 ✅
Tu commences par décomposer le 6 en 6 = 2 × 3 pour faire apparaître les bases autorisées, puis tu regroupes les exposants de même base. C'est cette étape de décomposition qui débloque tout le calcul.
A = (3² × 5 × 6 × 4)²avec6 = 2 × 3donneA = (3³ × 4 × 5 × 2)² = 3⁶ × 4² × 5² × 2²,B = (3⁴ × 4 × 5²) ÷ (3 × 5⁵) = 3⁴⁻¹ × 4 × 5²⁻⁵ = 3³ × 4 × 5⁻³,C = (3² × 4 × 5²) × (3 × 5 × 4) = 3²⁺¹ × 4¹⁺¹ × 5²⁺¹ = 3³ × 4² × 5³.
Correction de l'exercice 4 ✅
0,001² = (10⁻³)² = 10⁻⁶ = 0,000001,0,05 × 10² = 0,05 × 100 = 5,1,345 × 10⁵ = 1,345 × 100 000 = 134 500,0,1 × 0,2 = 0,02.
En mathématiques, l'art de poser une question doit être tenu pour plus important que celui de la résoudre. La maîtrise vient en refaisant les calculs jusqu'à ce que la règle devienne un réflexe.
Georg Cantor, mathématicien, cité dans Contributions à la fondation de la théorie des ensembles transfinis (1895)
Correction de l'exercice 5 ✅
Tu déplaces la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10, puis tu ajustes l'exposant de 10 en conséquence. Chaque décalage d'un rang vers la gauche augmente l'exposant de 1.
310,2 = 3,102 × 10²,0,002 × 10⁵ = 200 = 2 × 10²,0,0000503 = 5,03 × 10⁻⁵,3223 × 10⁻³ = 3,223.
Questions fréquentes sur les puissances ❓
🧠 Comment calculer une puissance simplement ?
Une puissance correspond à une multiplication répétée de la base par elle-même. Pour calculer 2⁵, tu multiplies 2 cinq fois : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Pour les puissances de 10, il te suffit de compter les zéros : l'exposant donne directement leur nombre.
🔭 À quoi sert la notation scientifique ?
La notation scientifique écrit un nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Elle te permet d'exprimer très simplement des nombres immenses ou minuscules, comme une distance astronomique ou la taille d'un atome, sans aligner des dizaines de zéros.
➖ Que signifie un exposant négatif ?
Un exposant négatif indique un inverse : 10⁻³ = 1 ÷ 10³ = 0,001. Plus l'exposant est négatif, plus le nombre est petit. Cette règle est ta clé pour passer d'une écriture décimale à une puissance de 10.
Avec ces cinq exercices et leurs corrigés, les règles des puissances deviennent un automatisme : repère la base, applique la bonne propriété, vérifie le signe de l'exposant. Reprends chaque énoncé sans regarder la correction, et pense à consolider tes bases avec ces exercices de calcul littéral : la notation scientifique n'aura bientôt plus de secret pour toi.
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme de mathématiques de seconde générale et technologique." Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019, https://www.education.gouv.fr.
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Merci, vous avez entièrement raison. j’ai corrigé
Bonjour,
Dans la correction de l’exercice 5 : 0,002 X 10*5 = 2,0 X 10*2
(la puissance de 10 est 2 et non -2)
Cordialement
Oups! Tu as raison je me suis trompée.
J’ai corrigé.
Merci encore !
bonjour LaKlara, j ai un petit doute sur l une de tes corrections exercice 1, sur 10 milliards. je ne pense pas que la puissance est 9 mais plutot 10, car si c’etait a la puissance 9 ce serait égale a 1milliard et non pas 10 milliards. Peut-être que je me trompe je ne suis pas très douée en maths!! en tous les cas, merci pour ces exercices. En attendant ta réponse.
Désolée, zangetsu, mais ta remarque est fausse.
3,223×10[sup]1[/sup] = 32,23 donc ce n’est pas correct.
Si tu veux mettre une puissance de 10, c’est 10[sup]0[/sup] et pas 10[sup]1[/sup]
Et 10[sup]0[/sup], c’est totalement inutile ! Je n’ai jamais vu un scientifique écrire ça…
Je parie que c’est toi qui as mis une mauvaise note alors que c’est toi qui te trompes. Merci de rectifier ta note.
Mille pardons, je me suis trompé et ce n’est pas moi qui ais noté comme ça.