Dérivée de racine de u : règles, domaine et exemples

Q: 🎯 Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle ?

Tu cherches les valeurs qui annulent le dénominateur, puis tu les exclus de l’ensemble des réels. Concrètement : tu poses le dénominateur égal à zéro, tu résous cette équation, et l’ensemble de définition est ℝ privé des solutions trouvées. Pour f(x) = 1/(x − 3), le dénominateur s’annule en 3, donc Df = ℝ {3}, ou ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.

Q: 📌 Quelle différence entre ensemble de définition et ensemble de nombres ?

Ce sont deux notions distinctes que la ressemblance des noms fait souvent confondre. ℕ, ℤ, ⅅ, ℚ et ℝ sont des ensembles de nombres, fixes, qui existent indépendamment de toute fonction. L’ensemble de définition, noté Df, dépend d’une fonction précise : c’est l’ensemble des valeurs que tu as le droit de donner à x pour que f(x) existe. Il s’exprime souvent comme une partie de ℝ.

Q: 🚫 Quelles sont les trois interdictions à vérifier ?

Trois situations seulement posent problème au lycée : la division par zéro, la racine carrée d’un nombre strictement négatif, et le logarithme d’un nombre négatif ou nul. Passe l’expression en revue en cherchant ces trois cas, traduis chacun en équation ou en inéquation, puis croise les conditions obtenues. Si aucune n’apparaît, comme pour un polynôme, l’ensemble de définition est ℝ tout entier !

Q: 📊 Quand faut-il passer par un tableau de signes ?

Le tableau de signes devient utile dès que la condition d’existence est une inéquation qui ne se résout pas de tête, typiquement sous une racine carrée contenant un produit ou un quotient. Tu étudies alors le signe de chaque facteur séparément, tu combines les lignes, et tu lis les intervalles où l’expression est positive. Pour une inéquation du premier degré simple, une résolution directe suffit.

Par Clément

Rédigé le 22 octobre 2026

5 minutes de lecture

Tu cherches un ensemble de définition ? Trois obstacles seulement peuvent bloquer un calcul. Au programme, la méthode et trois exercices corrigés !

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Qu’est-ce que l’ensemble de définition d’une fonction ?

L’ensemble de définition d’une fonction f, noté D_f, est l’ensemble des valeurs de xpour lesquelles f(x) existe et peut être calculée. Tu remplaces x dans l’expression : si le calcul aboutit à un nombre, tu la gardes.

\text{Avec } f(x) = \frac{1}{x}, \text{ prendre } x = 0 \text{ reviendrait à diviser par zéro : on l'exclut, et } D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}.

Le programme 2026-2027, fixé par l’arrêté du 26 février 2026 (Bulletin officiel n° 14, sur Légifrance), inscrit « Recherche de domaine d’étude ».

Le bon réflexe avant tout calcul

Avant même de commencer un exercice, pose-toi la question : qu’est-ce qui pourrait empêcher le calcul ?

Il n’y a que trois coupables au lycée :

- Un dénominateur qui s’annule
- Une quantité négative sous une racine carrée
- Un logarithme d’un nombre négatif ou nul

Si l’expression ne contient aucun des trois, la fonction est définie sur ℝ.

Un test passé en début de seconde par

223

élèves de sept classes du Bas-Rhin : seuls 2 % répondent correctement aux six questions posées, et le mot « image » est mal interprété par la moitié d’entre eux (IREM de Strasbourg, Bulletin APMEP n° 478, 2008)

Cahier de mathématiques avec un chronomètre

Comment déterminer un ensemble de définition ?

Procédez en

étapes :

Repérez

Les zones à risque : chaque dénominateur, chaque racine carrée, chaque logarithme

Traduisez

Chaque zone en condition : bas de la fraction ≠ 0, quantité sous le radical ≥ 0, argument du logarithme > 0

Résolvez puis concluez

En écrivant D_f sous forme d’intervalles ou de ℝ privé de certaines valeurs

Type de fonction	Exemple	Condition d’existence	Ensemble de définition
Fonction affine ou polynôme	f(x) = 3x² - 5x + 1	Aucune condition	D_f = ℝ
Quotient	f(x) = (x + 1)/(x - 2)	Dénominateur ≠ 0	D_f = ℝ \ {2}
Racine carrée	f(x) = √(x - 3)	Quantité sous la racine ≥ 0	D_f = [3 ; +∞[
Racine au dénominateur	f(x) = 1/√(x - 3)	Quantité sous la racine > 0 (strictement)	D_f = ]3 ; +∞[
Logarithme népérien	f(x) = ln(x + 4)	Argument > 0 (strictement)	D_f = ]-4 ; +∞[

Un polynôme est défini sur ℝ tout entier. Pour un quotient, tu résous « bas de la fraction = 0 » et tu retires les solutions :

f(x) = \frac{x}{x - 3} \quad \text{donne} \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}

Sous un radical, la quantité doit rester positive ou nulle ; en bas d’une fraction, la condition devient stricte. Besoin d’aide ? Des cours de soutien scolaire à Besançon ou des cours de maths seconde débloquent la méthode en quelques leçons !

Le tableau de signes : quand l’inéquation résiste

Dès que l’expression est un produit, tu dresses un tableau de signes. Comment faire ? Voici les étapes :

Etape n°1

Tu cherches les valeurs qui annulent chaque facteur

Etape n°2

Tu les ranges dans l’ordre croissant

Etape n°3

Tu multiplies les signes colonne par colonne

\text{Avec } A(x) = (2x - 6)(x + 1), \text{ les zéros sont } -1 \text{ et } 3, \text{ d'où } D_f = ]-\infty ; -1] \cup [3 ; +\infty[.

Le tableau de signes est introduit a priori comme technique pour déterminer le signe d’un produit.
Dominique Gaud, pour l’équipe de l’IREM de Poitiers, « Quelques interrogations à propos du tableau de signes », Bulletin de l’APMEP n° 474, 2008

x	-1		3	+∞
Signe de 2x - 6	-	-	0	+
Signe de x + 1	0	+	+	+
Signe de A(x)	0	-	0	+

Crochet ouvert ou crochet fermé ?

C’est l’erreur qui coûte le plus de points en devoir. La règle est pourtant simple :

🔹 Racine seule → la condition est ≥ 0, la valeur qui annule est acceptée → crochet fermé [ ]
🔹 Racine au dénominateur → la condition devient > 0, la valeur qui annule est exclue → crochet ouvert ] [

Et l’infini prend toujours un crochet ouvert !

Exemple de tableau de signes et de tableau de variations d’une fonction du troisième degré — Signes et variations de la fonction qui à x associe x³ - 12x + 1, avec les points où elle s'annule.

Exercices corrigés sur l’ensemble de définition

Exercice 1 : quotient simple

Énoncé. Déterminer l’ensemble de définition de :

f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 9}

Un quotient, sans radical : la seule contrainte est

x^2 - 9 \neq 0

Corrigé. L’identité remarquable donne :

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

qui s’annule en :

x = 3 \quad \text{et} \quad x = -3

On écarte ces deux nombres :

D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 3\} = ]-\infty ; -3[ \;\cup\; ]-3 ; 3[ \;\cup\; ]3 ; +\infty[

Exercice 2 : radical et inéquation

Énoncé. Déterminer l’ensemble de définition de :

g(x) = \sqrt{-3x + 12}

Un radical isolé → la condition est :

-3x + 12 \ge 0

Corrigé. Tu obtiens :

-3x \ge -12 \quad \implies \quad x \le 4

D'où :

D_g = ]-\infty ; 4] \quad \text{car} \quad g(4) = \sqrt{0} = 0

Exercice 3 : quotient avec radical en bas

Énoncé. Déterminer l’ensemble de définition de :

h(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 - x - 6}}

Où le radical occupe le bas de la fraction.

Corrigé. Le trinôme s’annule en -2 et en 3, car :

(-2) + 3 = 1 \text{ et } (-2) \times 3 = -6 : x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

Ce produit est positif à l’extérieur des zéros, que l’inégalité stricte écarte :

D_h = ]-\infty ; -2[ \;\cup\; ]3 ; +\infty[

Un dernier à faire seul :

k(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 4}

Réponse :

D_k = [1 ; 4[ \;\cup\; ]4 ; +\infty[

Si tu bloques, un professeur particulier en cours de maths 3ème reprendra la méthode avec toi pas à pas.

Comment noter un ensemble de définition dans une copie ?

En réalité,

écritures sont acceptées :

« ℝ privé de », comme ℝ \ {2}

La réunion d’intervalles, ]-∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[

Écris toujours D_f = devant ta réponse, puis fabrique tes propres énoncés en cours de maths !

Sources 📚

Ministère de l'Éducation nationale. Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, https://www.education.gouv.fr/bo/2026/Hebdo14/MENE2602914A.
Légifrance. Arrêté du 26 février 2026 modifiant l'arrêté du 17 janvier 2019 fixant le programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, 2026, https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000053723219.
Ministère de l'Éducation nationale. Programme de mathématiques de seconde générale et technologique, Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019, https://www.education.gouv.fr/bo/19/Special1/MENE1901631A.htm.
Ministère de l'Éducation nationale. Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première générale, Bulletin officiel spécial n° 1 du 22 janvier 2019, https://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/16/8/spe632_annexe_1063168.pdf.
Gaud, Dominique, pour l'équipe de l'IREM de Poitiers. "Quelques interrogations à propos du tableau de signes." Bulletin de l'APMEP, n° 474, 2008, p. 23-37, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/bull-474_Gaud.pdf.
Groupe "fonctions" de l'IREM de Strasbourg (Égret, M.-A., M. Heyd, C. Kahn, C. Maetz, O. Schladenhaufen, C. Schultz, D. Weil et B. Wenner). "Quelques propos sur les fonctions en Seconde." Bulletin de l'APMEP, n° 478, 2008, p. 583-598, https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA08075.pdf.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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Kouadio

Février 2025

Bonsoir j’aime bien votre site et surtout sa m’intéresse beaucoup je vous remercie

Chloé Galouchko

Mars 2025

Bonjour, n’hésitez pas à explorer l’aide de nos professeurs sur Superprof pour une assistance adaptée à vos exigences. Passez une excellente journée ! :)

Mouegha

Novembre 2024

Le signe de moin et plus particulièrement et ensuite on multiplie le même signe ou le signe différent par exemple<<+×+=+ et -×-=- ou+×-=-

LaKlara

Novembre 2010

c’est l’expression qui est égale à (x+1) au carré ; donc c’est positif

lizen

Novembre 2010

j’ai un problème, je ne comprends pas le d car même si x au carré est positif pourquoi toute l’expression serait positive ?
merci .

Crystelle

Février 2022

Effectuer les opérations suivantes (+3)-(-7)+(-6)-( -12)+(-14)-(17)

Mouegha

Novembre 2024

Le signe de moin et plus particulièrement et ensuite on multiplie le même signe ou le signe différent par exemple<<+×+=+ et -×-=- ou+×-=-

boncuk

Juin 2008

tres bien ce document

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Les questions fréquentes

🎯 Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle ?

Tu cherches les valeurs qui annulent le dénominateur, puis tu les exclus de l’ensemble des réels. Concrètement : tu poses le dénominateur égal à zéro, tu résous cette équation, et l’ensemble de définition est ℝ privé des solutions trouvées. Pour f(x) = 1/(x − 3), le dénominateur s’annule en 3, donc D_f = ℝ {3}, ou ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.

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Ce sont deux notions distinctes que la ressemblance des noms fait souvent confondre. ℕ, ℤ, ⅅ, ℚ et ℝ sont des ensembles de nombres, fixes, qui existent indépendamment de toute fonction. L’ensemble de définition, noté D_f, dépend d’une fonction précise : c’est l’ensemble des valeurs que tu as le droit de donner à x pour que f(x) existe. Il s’exprime souvent comme une partie de ℝ.

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Trois situations seulement posent problème au lycée : la division par zéro, la racine carrée d’un nombre strictement négatif, et le logarithme d’un nombre négatif ou nul. Passe l’expression en revue en cherchant ces trois cas, traduis chacun en équation ou en inéquation, puis croise les conditions obtenues. Si aucune n’apparaît, comme pour un polynôme, l’ensemble de définition est ℝ tout entier !

📊 Quand faut-il passer par un tableau de signes ?

Le tableau de signes devient utile dès que la condition d’existence est une inéquation qui ne se résout pas de tête, typiquement sous une racine carrée contenant un produit ou un quotient. Tu étudies alors le signe de chaque facteur séparément, tu combines les lignes, et tu lis les intervalles où l’expression est positive. Pour une inéquation du premier degré simple, une résolution directe suffit.

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Qu’est-ce que l’ensemble de définition d’une fonction ?
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