Comment dresser un tableau de variations ?

Q: Comment comprendre un tableau de variations ?

Le tableau indique les intervalles sur lesquelles la fonction est croissante ou décroissante, l'image des nombres pour lesquels la fonction admet une valeur maximale et minimale. Ainsi voit-on, sur un tableau, deux lignes : <ul> <li>La première ligne, relative aux nombres-clés de l'ensemble de définition : les valeurs délimitant les intervalles de la fonction,</li> <li>La seconde ligne, relative aux changements de variation de la fonction.</li> </ul> Logiquement, une flèche descendante indique que la fonction est décroissante. A l'inverse, une flèche montante informe que la fonction est devenue croissante. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Q: Comment remplir un tableau des signes ?

Commencez par distinguer les zones où la fonction devient croissante et décroissante. Ensuite, pour chacune des zones repérées, déterminez l'intervalle des abscisses : les extrémités inférieure et supérieure. Les reporter sur la première ligne du tableau. Faites ensuite correspondre dans la deuxième ligne une flèche montante pour chaque intervalle où la fonction est croissante, et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante. Repérez l'image de f sur la courbe pour chaque nombre de la première ligne du tableau. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Q: Comment faire un tableau de fonction ?

Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers. Pour découvrir le tableau qui vous aidera à dresser votre tableau de fonction, découvrez notre article !

Q: Pourquoi est-il important de connaître les variations d'une fonction ?

Connaître les variations d'une fonction permet de comprendre son comportement global, d'identifier ses points les plus hauts (maximums) et bas (minimums), et de tracer sa courbe représentative avec une grande précision.

Q: Peut-on construire un tableau de variation sans calculer la dérivée ?

Oui, pour des fonctions très simples (comme une fonction affine f(x) = ax+b) ou si l'on dispose de la représentation graphique. Dans ce dernier cas, il suffit de "lire" sur la courbe où elle monte et où elle descend. Cependant, pour la majorité des fonctions étudiées au lycée, le calcul de la dérivée est l'outil le plus fiable et rigoureux.

Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l'on parle, ni si ce que l'on dit est vrai.
Bertrand Russel

C'est quoi un tableau de variation ?

Un tableau de variation est un outil mathématique qui résume le comportement d'une fonction. Il montre, à l'aide de flèches, sur quels intervalles la fonction "monte" (elle est croissante) ou "descend" (elle est décroissante). Il permet aussi de repérer facilement ses points les plus hauts (maximum) et les plus bas (minimum).

En mathématiques, et surtout au lycée, l'étude de fonction est un passage obligé. Au cœur de cette analyse se trouve un outil puissant mais parfois redouté : le tableau de variation. À quoi sert-il ? Comment le construire sans se tromper ?

Pas de panique ! Cet article est conçu en deux parties :

D'abord, un guide simple, étape par étape, pour que n'importe qui puisse comprendre et dresser un tableau de variation.
Ensuite, une section plus détaillée pour ceux qui veulent approfondir, avec des exemples concrets et des astuces pour éviter les erreurs classiques.

Suivez le guide, les variations de fonctions n'auront bientôt plus de secret pour vous !

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Partie 1 : La méthode simple pour dresser un tableau de variation en 4 étapes

Oubliez les formules complexes pour l'instant. Construire un tableau de variation suit une logique en 4 étapes claires. Nous allons les parcourir ensemble.

Etape 1 : calculer la dérivée de la fonction

La première étape, incontournable, est de calculer la fonction dérivée, notée f'(x). C'est la dérivée qui va nous donner le "sens de la pente" de notre courbe.

Pour une fonction simple (polynôme)

La dérivée de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

La dérivée de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

La dérivée d'un nombre seul (une constante) est toujours $\text{[math]}$ .

On dérive chaque terme de la fonction l'un après l'autre.

Pour la fonction $\text{[math]}$ , sa dérivée est $\text{[math]}$ .

Pour une fonction produit ou quotient

La règle du produit : si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .
La règle du quotient : si $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Astuce

On dérive séparément u et v , puis on applique la formule en gardant l’ordre des termes. Pour le quotient, n’oubliez pas le carré du dénominateur.

Prenons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour le produit : $\text{[math]}$ et la dérivée $\text{[math]}$ .

Pour le quotient : $\text{[math]}$ et la dérivée $\text{[math]}$ .

Pièges fréquents

Attention à ne pas oublier v² au dénominateur dans le quotient et à ne pas inverser l’ordre u′v−uv′.

Etape 2 : étudier le signe de cette dérivée

C'est l'étape la plus importante ! Le signe de la dérivée $\text{[math]}$ nous dit tout sur les variations de la fonction $\text{[math]}$ :

Si $\text{[math]}$ est positive (+) sur un intervalle, alors la fonction $\text{[math]}$ est croissante (elle monte ↗) sur cet intervalle.
Si $\text{[math]}$ est négative (-) sur un intervalle, alors la fonction $\text{[math]}$ est décroissante (elle descend ↘) sur cet intervalle.

Pour trouver le signe, on cherche d'abord les valeurs où la dérivée s'annule $\text{[math]}$ . Ces valeurs sont les "points critiques" où la fonction peut changer de sens.

Exemple reformulé : Pour notre dérivée $\text{[math]}$ , on cherche quand elle est égale à zéro. On trouve que cela se produit pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On peut alors construire un tableau de signes pour $\text{[math]}$ .

Comment étudier le signe d'une dérivée et les variations ? — Pour faire un tableau de variation, il faut maîtriser les bases de l'algèbre !

Etape 3 : identifier les points importants (extremums)

Les "points critiques" trouvés à l'étape 2 (où la dérivée s'annule) correspondent à des sommets ou des creux sur la courbe. On les appelle les extremums.

Calculez la valeur de la fonction $\text{[math]}$ pour chacun de ces points.

Pour notre fonction $\text{[math]}$ :

pour $\text{[math]}$ , on calcule $\text{[math]}$ . Il s'agit du maximum local
pour $\text{[math]}$ , on calcule $\text{[math]}$ . Il s'agit du minimum local.

Etape 4 : dessiner le tableau de variation

Vous avez maintenant toutes les informations ! Il ne reste plus qu'à les assembler dans un tableau propre.

Première ligne $\text{[math]}$ : Écrivez les bornes du domaine de définition (souvent $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) et les valeurs critiques trouvées à l'étape 2, dans l'ordre croissant.
Deuxième ligne (signe de $\text{[math]}$ ) : Indiquez le signe (+ ou -) de la dérivée sur chaque intervalle. Mettez un "0" sous les valeurs critiques.
Troisième ligne (variation de $\text{[math]}$ ) : Dessinez les flèches. Une flèche qui monte (↗) si le signe est +, une flèche qui descend (↘) si le signe est -.
Complétez avec les valeurs : Au bout des flèches, écrivez les valeurs des extremums calculées à l'étape 3, ainsi que les limites de la fonction aux bornes (si demandées).

Et voilà ! Vous avez dressé votre tableau de variation.

Trouver les limites et le signe d'une équation — Bloqué après la dérivation ? Pensez à remplacer les valeurs de x par des chiffres arbitraires...

Partie 2 pour les passionnés : analyse détaillée et exemples

Maintenant que la méthode est claire, plongeons dans les détails techniques pour maîtriser parfaitement l'étude de fonctions.

Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Un tableau de variation est un outil de synthèse mathématique. Il résume sur deux ou trois lignes toutes les informations essentielles sur le comportement d'une fonction :

La première ligne indique les valeurs clés de x sur l'ensemble de définition.
La dernière ligne utilise des flèches pour représenter la monotonie de la fonction (si elle est croissante ou décroissante). Il permet de visualiser immédiatement où se situent les extremums (maximums et minimums locaux).

Pourquoi utiliser un tableau de variation ?

Le tableau de variation condense, en quelques lignes, tout ce qu’il faut savoir sur le “comportement” d’une fonction. Il évite les calculs répétitifs et prépare un tracé propre et argumenté.

1️⃣ Le tableau de variation permet de comprendre le comportement global sans tester des centaines de points :

Le signe de la dérivée f′ permet de savoir où la fonction est croissante (f′ > 0) ou décroissante (f′ < 0) d’un seul coup d’œil.

Les changements de signe de f′ indiquent immédiatement les zones de montée/descente et la structure globale (ex. “↗ puis ↘ puis ↗”), sans dresser un tableau de valeurs interminable.
Les limites en −∞ et +∞, et aux éventuelles bornes ou asymptotes, placées en haut/bas du tableau, donnent le “cadre” du graphe (tend vers +∞, −∞, une valeur finie, etc.).

Une femme écrit des formules mathématiques sur un tableau. — Les maths doivent être travaillées avant le bac !

2️⃣ Le tableau de variation permet de trouver rapidement maxima et minima sur un intervalle :

Aux points où f′ s’annule et change de signe :
- de + à − → maximum local,
- de − à + → minimum local.
Sur un intervalle fermé [a; b], le tableau de variation permet de comparer en un clin d’œil f(a), f(b) et les valeurs en points critiques (où f′ = 0 ou f′ n’existe pas) pour déterminer les extrema globaux, sans passer par des essais/erreurs.

3️⃣ Le tableau de variation permet de préparer un tracé précis et propre de la courbe :

En réunissant variations, valeurs clés (images de quelques abscisses utiles), limites et éventuelles asymptotes, on obtient un “plan de construction” fiable de la courbe.
Les transitions (↗/↘) autour des extremums guident la forme locale (bosse/creux) et réduisent les risques d’erreur de croquis.
Le tableau sert aussi de support d’explication: chaque élément du graphe est justifié (par un signe de dérivée, une limite, une valeur calculée).

Astuce pratique

Remplissez d’abord la ligne de f′ (signe, zéros, non-dérivabilité), puis déduisez la ligne de f (↗/↘). Ajoutez ensuite limites et valeurs remarquables.

Cela servira pour vos cours de maths, ainsi que pour mieux réviser avec les annales bac.

Des exemples pratiques de tableaux de variation

Voici quelques exemples supplémentaires pour aller plus loin.

Exemple 1 : la fonction quadratique

Prenons la fonction $\text{[math]}$ .

Etape 1 : la dérivée est $\text{[math]}$ .
On résout $\text{[math]}$ . Résultat : $\text{[math]}$ .
Sur l'intervalle −∞ et 2, f est positive donc elle est croissante et sur l'intervalle 2 et +∞, f est négative, donc elle est décroissante.
Calculons maintenant l'extremum : $\text{[math]}$ .

La fonction est croissante sur (−∞, 2) et décroissante sur (2, +∞).

Tableau de variation d'une fonction quadratique. — Voici le tableau de variation pour notre exemple.

Exemple 2 : la fonction polynomiale de degré supérieur

Reprenons notre exemple $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

1️⃣ La dérivée est $\text{[math]}$

2️⃣ Pour étudier le signe de ce polynôme du second degré, on factorise. On remarque que $\text{[math]}$ . Pour factoriser ce trinôme il faut tout d'abord calculer le discriminant et trouver les racines x₁et x₂. On calcule le discriminant $\text{[math]}$ pour le trinôme $\text{[math]}$ , ce qui nous donne les racines $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . La forme factorisée est donc $\text{[math]}$ . Le tableau de signes de f'(x) est le suivant :

x	- ∞	-3	[-3 ; 1]	1	+∞
x + 3	-	0		+	+
x - 1	-	-		0	+
f'(x)	+	0	-	0	+

3️⃣ Les extremums : On a déjà calculé $\text{[math]}$ (maximum local) et $\text{[math]}$ (minimum local).

4️⃣ On obtient le tableau de variation final :

Schéma représentant un tableau de variation. — Voici à quoi doit ressembler votre tableau de variation.

Les erreurs courantes et nos conseils pour éviter les pièges

Attention car il est facile de se tromper quand on s'attaque au tableau de variation. Comme toujours en cours de maths, il est indispensable d'être attentif !

Les erreurs dans le calcul de la dérivée

On a listé trois erreurs courantes que vous pouvez faire dès le calcul de la dérivée.

1️⃣ Vous pouvez d'abord oublier qu'une constante à une dérivée nulle.

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .

Exemple : $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$ .

Vous pourriez être tenté de dériver 7 en 1 ou de garder +7 dans f'(x).

2️⃣ Vous pouvez également vous tromper dans les formules produit et quotient.

Pour le produit $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

✅ Ce qui est correct : $\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente : avec un oubli du second terme ou (double erreur).

Pour le quotient $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

✅ Ce qui est correct : $\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente est de calculer $\text{[math]}$ ou de calculer $\text{[math]}$ .

Notre astuce

Mémorisez u’v — uv’ sur v². L'ordre et le signe "moins" sont importants.

3️⃣ Vous pouvez enfin faire des erreurs de signe en dérivant des termes comme $\text{[math]}$ . N'oubliez pas que $\text{[math]}$ et que le signe "-" devant le monôme se conserve.

✅ Ce qui est correct : $\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente : vous oubliez le signe - et le -15 se transforme en 15 ou vous appliquez la mauvaise règle de puissance.

Et oui la factorisation, c'est comme résoudre une énigme mathématiques en cours de maths.

Nos conseils anti-erreurs

Pour un produit, dites à voix haute: “d’abord je dérive u, puis v; puis je garde u, je dérive v; et j’additionne”.
Pour un quotient, écrivez d’emblée le dénominateur au carré v2 , puis remplissez le numérateur “u’v − uv’”.

Une mauvaise interprétation du signe de la dérivée

L'erreur la plus fréquente est de confondre le signe de la fonction $\text{[math]}$ avec celui de sa dérivée $\text{[math]}$ .

C'est le signe de $\text{[math]}$ qui donne les variations de $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ sur un intervalle alors $\text{[math]}$ y est croissante
Si $\text{[math]}$ sur un intervalle alors $\text{[math]}$ y est décroissante.

Un exemple piégeux :

$\text{[math]}$ peut être négative tout en étant croissante (ex : de −10 à −2, la fonction “monte” car les valeurs augmentent).
Ce comportement se lit dans $\text{[math]}$ , indépendamment du signe de $\text{[math]}$ .

Conseil pratique

Faites deux tableaux distincts si besoin :
un tableau de signes pour f'(x) (zéros, intervalles de +/−),
puis le tableau de variation pour f(x) (↗/↘ et extremums).

Maîtriser le tableau de variation d'une fonction en cours de mathématiques permet de vous faire gagner des points lors du contrôle continu : ce n'est donc pas un chapitre du programme de maths à négliger !

Et si vous preniez des cours particuliers pour étudier d'autres aspects des maths ? Tangente, axe des abscisses, fonction définie ou cosinus : autant de thèmes à aborder pendant un cours de maths en ligne !

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Alexia

Je suis professeur de danse orientale et consultante SEO. Mes domaines de prédilection : la danse, le sport, la musique, la cuisine, la photo, les langues et tout ce qui est en lien avec la pédagogie en général.

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Juin 2017

Je l’aimais beaucoup ce cours

einstein

Février 2018

J’ai beaucoup apprécié ce cours !

Mohamed

Juin 2023

Je vraiment aimé ce cours merci beaucoup et j’aimerais davantage sur ce DM svp comment procéder à cette fonction de dérivée ci dessous ?
Soit la fonction f(x) = 2×3+5×2-4x + 1, définie sur [-100 ; 100],
Dériver f(x),
Étudier le sens de variation de la fonction dérivée,
f(x) est-elle croissante sur [-100 ; -50] ?
Dresser un tableau de variation de la fonction,
Tracer la représentation graphique de la fonction f.

Malki

Octobre 2017

Merci bien le cours est bien complet. Sinon, un cours des valeurs approchées ?

Juliette

Décembre 2017

Quelle est la méthode pour dresser un tableau de variation d’une fonction exponentielle ? Faut-il déterminer les racines ou bien les limites ?

mark

Mars 2018

cela dépend de ton intervalle mais ce sont souvent les limites qui sont demandées

Hervé

Mars 2018

Bonsoir,
J’ai pu me remémorer les sens de variation d’une fonction que j’avais oubliés.
Merci.

Mbabi baka

Mai 2018

Le cours était parfait

Celine

Janvier 2019

Bonjours comment faire pour dresser le tableau de variation lorsque la dérivée est f'(x)= -2x+10-8/x ? La fonction de départ est f(x)= -2x+10x-9-8ln(x)

Isaline Bernard

Mars 2019

Bonjour Céline,

Il faut commencer par étudier le signe de f'(x) en cherchant à savoir quand f'(x) s’annule. Une fois cette information trouvée, il vous sera plus simple de dresser le tableau de variation et de chercher ses limites.
Si vous avez besoin d’aide, n’hésitez pas à faire appel à un professeur particulier sur Superprof. Une application peut également vous aider dans ce cas : SnapSchool. Il vous suffit de poster votre problème pour trouver de l’aide auprès d’autres élèves.

Bon courage et bonne réussite !

Alex

Décembre 2019

Bonjours pouvez vous m’aider pour établir un tableau de variations ?

Isaline Bernard

Décembre 2019

Bonjour,

Vous pouvez demander de l’aide à l’un de nos professeurs en mathématiques. Pour cela, regardez les profils présents dans votre région et contactez-les après inscription. Si vous êtes mineur, il faudra donc voir cela avec vos parents.
Vous pouvez également demander de l’aide à votre professeur de mathématiques.

Bien à vous

mmmm

Mars 2019

cours interressant

Samira Sehoulou

Décembre 2023

Comment établir le tableau de variation ??

jhjhjhjhjhjhjh

Mars 2019

cours interressant wesh

lol

Mars 2019

cool

lol

Mars 2019

je suis vraiment content de ce contenu

malibu

Avril 2019

bonjour, comment dresser le tableau avec une dérivée égale à g'(x)= 3x(2+x)
merci :)

Isaline Bernard

Avril 2019

Bonjour,

Même conseil que pour Céline: commencez par étudier le signe de g'(x) en cherchant à savoir quand g'(x) s’annule.Vous pourrez ensuite trouver le tableau des variations et les limites.

L’aide d’un professeur particulier pourra éventuellement vous être utile pour l’aide aux devoirs. Faites également un petit tour sur l’application « SnapSchool » pour trouver l’aide de vos camarades.

Bonne continuation

Sophie

Octobre 2019

Bonjour, pourriez vous me dire comment dresser le tableau de variations de la fonction suivante svp ? :
f(x) = x-1/x avec un intervalle I = tous les réels sauf 0

Isaline Bernard

Octobre 2019

Bonjour,

L’article ci-dessus vous donne toutes les clefs et les étapes pour dresser le tableau de variations de votre fonction.

Bon courage

Alex

Décembre 2019

Salut pouvez vous m’aider ?

Isaline Bernard

Décembre 2019

Bonjour,

Merci pour votre commentaire, en quoi pourrions-nous vous aider ?

Bien à vous

kheled

Février 2020

merci beaucoup pour ces cours cest tres interessant pour les eleves merci pour vos efforts

Simon

Février 2021

Grâce à ce cours, j’ai pu approfondir l la notion de tableau de variation.

Marianne

Décembre 2021

Vraiment j’aime beaucoup la façon d’expliquer et j’ai compris après votre explication

Isaline Bernard

Décembre 2021

Bonjour,

Merci pour votre commentaire.

Bien à vous

Baptiste

Avril 2022

Cela ne pas aider pour mon devoir de math mais merci quand mème.

Issa

Juin 2022

Moi mes problèmes sont: tableau de signe et variation et étude de la variation d’une.

Coryphée Fadiouth Kebla

Décembre 2024

Merci cette source inépuisable.

Les questions fréquentes

Comment comprendre un tableau de variations ?

Le tableau indique les intervalles sur lesquelles la fonction est croissante ou décroissante, l'image des nombres pour lesquels la fonction admet une valeur maximale et minimale. Ainsi voit-on, sur un tableau, deux lignes :

La première ligne, relative aux nombres-clés de l'ensemble de définition : les valeurs délimitant les intervalles de la fonction,
La seconde ligne, relative aux changements de variation de la fonction.

Logiquement, une flèche descendante indique que la fonction est décroissante. A l'inverse, une flèche montante informe que la fonction est devenue croissante. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Comment remplir un tableau des signes ?

Commencez par distinguer les zones où la fonction devient croissante et décroissante. Ensuite, pour chacune des zones repérées, déterminez l'intervalle des abscisses : les extrémités inférieure et supérieure. Les reporter sur la première ligne du tableau. Faites ensuite correspondre dans la deuxième ligne une flèche montante pour chaque intervalle où la fonction est croissante, et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante. Repérez l'image de f sur la courbe pour chaque nombre de la première ligne du tableau. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Comment faire un tableau de fonction ?

Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers. Pour découvrir le tableau qui vous aidera à dresser votre tableau de fonction, découvrez notre article !

Pourquoi est-il important de connaître les variations d'une fonction ?

Connaître les variations d'une fonction permet de comprendre son comportement global, d'identifier ses points les plus hauts (maximums) et bas (minimums), et de tracer sa courbe représentative avec une grande précision.

Peut-on construire un tableau de variation sans calculer la dérivée ?

Oui, pour des fonctions très simples (comme une fonction affine f(x) = ax+b) ou si l'on dispose de la représentation graphique. Dans ce dernier cas, il suffit de "lire" sur la courbe où elle monte et où elle descend. Cependant, pour la majorité des fonctions étudiées au lycée, le calcul de la dérivée est l'outil le plus fiable et rigoureux.

Chapitres

Partie 1 : La méthode simple pour dresser un tableau de variation en 4 étapes
Partie 2 pour les passionnés : analyse détaillée et exemples
Les erreurs courantes et nos conseils pour éviter les pièges

Comprendre et construire le tableau de variation d'une fonction : le guide complet

Partie 1 : La méthode simple pour dresser un tableau de variation en 4 étapes

Etape 1 : calculer la dérivée de la fonction

Pour une fonction simple (polynôme)

Pour une fonction produit ou quotient

Pièges fréquents

Etape 2 : étudier le signe de cette dérivée

Etape 3 : identifier les points importants (extremums)

Etape 4 : dessiner le tableau de variation

Partie 2 pour les passionnés : analyse détaillée et exemples

Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Pourquoi utiliser un tableau de variation ?

Des exemples pratiques de tableaux de variation

Exemple 1 : la fonction quadratique

Exemple 2 : la fonction polynomiale de degré supérieur

Les erreurs courantes et nos conseils pour éviter les pièges

Les erreurs dans le calcul de la dérivée

Une mauvaise interprétation du signe de la dérivée

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Les questions fréquentes

Comment comprendre un tableau de variations ?

Comment remplir un tableau des signes ?

Comment faire un tableau de fonction ?

Pourquoi est-il important de connaître les variations d'une fonction ?

Peut-on construire un tableau de variation sans calculer la dérivée ?