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Quand est-ce qu’un nombre est un nombre premier ?

De Alexia, publié le 14/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Connaître les Nombres Premiers en Maths ?

« L’essence des mathématiques, c’est la liberté. » Georg Cantor

Un nombre premier est un entier naturel qui admet seulement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même.

Selon cette définition, 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers puisque 0 est divisible par tous les entiers positifs et 1 n’est divisible que par un seul entier positif. Certains mathématiciens admettaient 1 comme un nombre premier mais cette théorie a été abandonnée au début du XXème siècle.

La définition du nombre entier est opposée à celle du nombre composé qui est un nombre entier, produit de deux entiers strictement supérieurs à 1.

23 % des élèves du secondaire se retrouvent en difficulté en mathématiques. Des cours particuliers et une pincée de curiosité peuvent y remédier. C’est peut-être par curiosité que vous êtes tombé sur cet article, alors restez.

On s’intéresse aux nombres premiers et on apprend à les retrouver dans cet article !

Comment savoir si un nombre est un nombre premier ?

Quels sont les nombres premiers ? Quand tu résous trois fois un problème et que tu trouves une réponse différence à chaque fois. (source : Three Time Daddy)

Le notion de nombres premiers fait partie des bases de l’arithmétique. Vous avez dû en entendre parler très rapidement à votre entrée au collège.

Il existe de nombreuses applications industrielles de l’arithmétique et notamment des nombres premiers. Alors, tout au long de votre vie, selon votre métier, vous serez confronté à cette notion mathématique.

Quels sont les nombres premiers ?

Cette question n’a pas de réponse fermée puisqu’il n’existe pas de liste exhaustive finie des nombres premiers.

On sait qu’il en existe une infinité et ce depuis l’Antiquité grâce au théorème d’Euclide sur les nombres premiers.

En revanche, il est possible de connaître les nombres premiers en délimitant une borne d’ouverture et une de fermeture.

De 0 à 100 par exemple, les nombres premiers sont au nombre de 25 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Vous pouvez retenir cette liste. Il est assez facile de mémoriser qu’il existe 25 nombres premiers entre 0 et 100 et de les intégrer ensuite dans sa mémoire à long terme.

L’algorithme par essais de division

Les premières méthodes pour calculer les nombres premiers sont appelées tests de primalité et reposent sur l’essai de division par tous les nombres inférieurs à la racine carrée du nombre choisi :

  • S’il est divisible par l’un d’eux, il est composé,
  • S’il n’est pas divisible par l’un d’eux, il est premier.

Néanmoins, cet algorithme est long et fastidieux. De nombreuses divisions sont inutiles, notamment celle par 4 si le nombre n’est pas divisible par 2.

Le crible d’Eratosthène

Reposant sur la méthode des essais de division, le crible d’Eratosthène fournit la liste des nombres premiers inférieurs à une valeur donnée.

Vous avez peut-être appris cette méthode au collège, voici un rappel :

  • On commence par former la liste des entiers de 2 à (120 dans l’exemple),
  • Un nombre est premier s’il est le premier nombre de la liste pas encore barré (spoiler alert : le premier est toujours 2),
  • Il faut ensuite barrer tous les entiers multiples du nombre 2, en commençant par son carré,
  • Ses deux étapes doivent être répétées jusqu’au moment où on cherche les multiples des nombres supérieurs à la racine carrée de n, (ici 120).

La racine carrée de 120 équivaut environ à 10,9.

Et comme une démonstration vaut mieux que mille phrases, voici ce que cela donne de 2 à 120 :

Comment trouver des nombres premiers ? Voici une démonstration pour savoir si un nombre est premier de 2 à 120. (source : Wikipedia)

D’autres algorithmes pour trouver un nombre premier

Il existe d’autres possibilités de reconnaître un nombre premier, à commencer par une variante du crible d’Eratosthène, appelée crible de Sundaram.

Le crible de Sundaram consiste à lister les entiers naturels impairs composés grâce à des suites arithmétiques placées en colonne. Par complémentarité, il est ensuite possible de déduire les nombres premiers.

Mais il existe encore d’autres méthodes :

  • Le crible général des corps de nombres,
  • Le test de primalité de Solovay-Strassen,
  • Le test de primalité de Miller-Rabin,
  • L’algorithme AKS,
  • Les premiers de Proth,
  • Les premiers de Woodall,
  • Les premiers de Cullen…

Les nombres premiers particuliers

Comment savoir qu'un nombre est composé ou premier ? Il existe 10 nombres premiers dans un mois de 30 jours et 11 dans un mois de 31 jours.

Il existe des nombres premiers particuliers, définis par des contraintes particulières.

Les nombres premiers de Pythagore

Parfois, les nombres premiers de forme 4n + 1 (avec n, entier naturel) sont appelés nombres premiers de Pythagore.

Par exemple 5 est dit de Pythagore.

Un nombre premier impair est dit de Pythagore s’il est la somme de deux carrés.

Les nombres premiers de Mersenne

Les nombres premiers de cette forme où p est un entier naturel sont appelés nombres premiers de Mersenne.

50 nombres premiers de Mersenne sont aujourd’hui connus mais d’autres sont encore recherchés à l’aide du test de primalité de Lucas-Lehmer.

Le dernier connu a été découvert en janvier 2018.

Peut-être trouverez-vous le prochain ?

Les nombres premiers de Fermat

Les nombres de la forme  sont considérés comme nombres de Fermat.

Cependant le F5 est seulement considéré comme semi-premier car il est divisible par 641. Les chercheurs continuent leur recherche sur un autre nombre de Fermat.

Les nombres premiers jumeaux

Si deux nombres premiers ne différent que de 2, alors ils sont dits jumeaux.

Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux, 5 et 7 sont jumeaux et 11 et 13 le sont aussi, mais il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

A quoi servent les nombres premiers ?

Dans quelle industrie utilise-t-on un nombre premier ? Les nombres premiers servent à crypter une signature électronique par exemple.

Connaître les nombres premiers a plusieurs utilités.

Dans un calcul fractionnaire, la décomposition en facteurs premiers facilite la tâche et peut aider à simplifier une formule mathématique.

Les nombres premiers ont longtemps été vus comme un sujet purement mathématique.

Mais cela a changé dans les années 1970 avec l’arrivée de nouveaux systèmes de cryptographie. Jusque là, la cryptographie était basée sur une même clé pour chiffrer et déchiffrer un message. Cela s’appelait la cryptographie symétrique.

A la fin des années 1970, un système de cryptographie asymétrique est mis au point grâce aux propriétés des nombres premiers et de la factorisation.

Deux clés sont alors utilisées : l’une pour chiffrer, l’autre pour déchiffrer.

Le produit de deux grands nombres entiers (200 chiffres) sert pour la clé qui chiffre. Et pour calculer la clé de déchiffrement, il faut connaître ses deux facteurs premiers.

C’est le système utilisé encore aujourd’hui pour créer des signatures numériques.

Les nombres premiers ont permis de résoudre des problèmes arithmétiques comme le théorème des deux carrés, le théorème des quatre carrés, ou la loi de réciprocité quadratique.

De plus, on les retrouve dans les entiers de Gauss et les entiers d’Eisenstein.

Les nombres premiers sont encore entourés de mystère…

Si au collège et lycée, on reste focalisé sur la fraction, l’équation, le logarithme, les nombres rationnels ou encore la division euclidienne, les mathématiciens n’en ont pas fini avec les nombres premiers et des questions se posent encore :

  • Les problèmes de Landau :
    • La conjecture de Goldbach,
    • La conjecture des nombres premiers jumeaux,
    • La conjecture de Legendre,
    • L’existence d’une infinité de nombres premiers de la forme n2 + 1,
  • L’existence d’une infinité de nombres premiers de Sophie Germain,
  • La conjecture de Polignac,
  • L’hypothèse H de Schinzel,
  • La conjecture de Bateman-Horn,
  • On ne sait pas s’il existe une infinité de nombres premiers de Fermat ou de Mersenne ou de Fibonacci,
  • On ne sait pas non plus s’il existe une infinité de nombres premiers factoriels ou primoriels,
  • Une conjecture de Daniel Shanks : La conjecture énonce que tous les nombres premiers apparaissent dans la suite d’Euclide-Mullin,
  • La spirale d’Ulam (ou horloge d’Ulam) n’est à ce jour pas encore totalement expliquée.

Comment retenir les nombres premiers ?

Quel est l'utilisé d'un nombre premier ? Bon, les maths, ce n’est pas fait pour tout le monde !

Les techniques évoquées ici peuvent être utilisées pour mémoriser n’importe quel nombre réel.

Il a été reconnu que pour retenir une série de chiffres, par exemple les 25 premiers nombres premiers, il faut faire appel à ses sens et se servir de ses émotions.

Par exemple, on peut développer une mémoire auditive en associant :

  • 0 à seau,
  • 1 à Hun (oui, oui, l’ancien peuple nomade d’Asie, Attila étant le plus célèbre),
  • 2 à dé,
  • 3 à croix,
  • 4 à cadre,
  • 5 à sphynx,
  • 6 à saucisse,
  • 7 à chaussette,
  • 8 à huître,
  • 9 à oeuf.

En disant les nombres premiers à voix haute, vous verrez que vous associerez le son au nombre correspondant.

Si vous avez plutôt une mémoire visuelle, vous pouvez associer les nombres à des objets ou des personnages :

  • Le 0 à un rond,
  • Le 1 à un crayon, un bâton,
  • Le 2 à un cygne,
  • Le 3 à un hippocampe ou à un chameau,
  • Le 4 à un voilier,
  • Le 5 à un serpent, à un S ou à un crochet,
  • Le 6 à un escargot,
  • Le 7 à une falaise vu de côté,
  • Le 8 à un sablier,
  • Le 9 à un ballon accroché à une ficelle.

Laissez libre cours à votre imagination en créant des histoires à partir des objets.

Plus compliqué, mais envisageable si vous parvenez à mieux mémoriser les mots que les chiffres, il est possible d’associer un mot à chaque nombre de 0 à 100 et de faire des phrases ensuite avec ces mots.

Mais entre nous, mieux vaut apprendre à trouver les nombres premiers plutôt que d’essayer d’en mémoriser le maximum. A part si vous tenez à épater vos amis et votre famille dans les soirées.

Connaissiez-vous les formules pour trouver rapidement les nombres premiers ? 

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