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Qu’est ce que cette écriture mathématique que l’on appelle « constante de Néper » ?

De Samuel, publié le 09/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Définition et Utilisation du Nombre E en Maths !

« Ne t’inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t’assurer que les miennes sont beaucoup plus importantes ! » Albert Einstein (1879-1955)

Apprendre les mathématiques – algèbre, géométrie, trigonométrie, probabilité et logarithme, fonction exponentielle et limites de fonctions, etc. – est souvent la bête noire des élèves.

Dans un communiqué du 14 septembre 2018, le ministère de l’Éducation Nationale déplorait qu’aujourd’hui, 27 % des élèves quittent le niveau primaire sans maîtriser les bases des mathématiques.

Une enquête TIMSS, publiée en novembre 2016 enfonce le clou : seul 1 % des élèves de Terminale S en France ne parvient à atteindre le seuil « avancé » en maths alors qu’ils étaient 15 % en 1999.

Voici une réflexion sur le nombre E en maths, notion parfois abstraite des élèves

Qu’est-ce que le nombre E en maths ?

Le nombre e est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre que l’on ne peut pas compter, dont le nombre de décimales qu’il contient est infini et dont ces décimales se suivent sans suite logique.

Le programme de terminale en mathématiques : tout pour étudier les fonctions ! Le logarithme et le nombre « e » : pierre d’achoppement des maths !

Ainsi, il s’oppose à un nombre rationnel dont le développement décimal est dit périodique, un quotient de deux nombres entiers dont l’écriture décimale peut être infinie mais dans ce cas nécessairement périodique.

On s’explique :

Le ratio 2/7 = 0,285714285714285714…

Les chiffres après la virgule sont une suite logique et récurrente de décimales.

Les nombres irrationnels les plus courants sont le nombre π (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582…), objet de recherches par les savants depuis l’Antiquité, et le nombre e.

Le nombre = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957…, avec à ce jour plus de 5 000 milliards de décimales (trouvées au 29 août 2016 par Ron Watkins).

Le nombre e a fait son apparition au 17ème siècle avec le développement des logarithmes, sous l’impulsion des travaux de recherche du mathématicien Écossais John Napier (1550-1617).

Dans son ouvrage de référence datant de 1614, J. Néper présente un outil permettant de simplifier les calculs mathématiques : le logarithme, que l’on retrouve dans le programme de mathématiques en classe de terminale.

Au 17ème siècle, les calculatrices et les ordinateurs n’existaient pas, cela ne signifie pas que la recherche mathématique était inexistante.

Au 3ème siècle avant notre ère, Archimède avait déjà remarqué qu’il suffisait d’additionner les nombres pour effectuer des multiplications de certains nombres, grâce aux puissances (l’exposant).

La méthode de Néper fut d’étendre les travaux d’Archimède en mettant au point une méthode permettant de faire des additions à la place de multiplications, des soustractions à la place de divisions, et des divisions par 2 à la place d’extractions de racines carrées.

Les premières tables de logarithmes décimaux à 8 décimales étaient nées.

Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x.

Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1.

Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) e.

L’histoire de l’étude du nombre E en mathématiques

A la fin du 17ème siècle, le nombre est défini comme étant la base du logarithme népérien, que l’on a plus tard caractérisé par la relation ln(e) = 1, l’image de 1 par la fonction exponentielle.

Le nombre "e", base des calculs logarithmiques et des fonctions exponentielles. Comment calculer ses intérêts composés ?

Le mathématicien Jacques Bernoulli (1654-1705) s’intéresse à trouver la valeur maximale des intérêts sur les prêts en ayant recours à la technique des intérêts composés : en ajoutant le plus fréquemment possible les intérêts accumulés au montant initial déposé, on maximise son gain.

Avec 1 € prêté à un taux d’intérêt à 100 %, si l’intérêt du capital se calcule annuellement, la dette est de 2 € en fin d’année. Mais, si on calcule mensuellement, on obtient 2,61 € en fin d’année, et 2,71 € si l’intérêt se calcule quotidiennement.

Bernoulli s’aperçoit que les intérêts composés stagnent à mesure que l’on augmente la fréquence de calcul de l’intérêt : calculé à chaque seconde, l’intérêt est le même que quotidiennement (2,71 €).

Par cette démonstration, J. Bernoulli découvrait le nombre e.

C’est le mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui un peu plus tardivement, s’intéressera le premier au nombre e, tirant son nom de la lettre initiale du mot « exponentiel ».

L. Euler démontre en 1737 l’irrationalité du nombre sur la base d’un développement en fraction continue.

L. Euler détermine le développement de en série au moyen de la factorisation – sachant que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, tel que : = 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/k!

Plus on augmente la valeur de k, plus la valeur obtenue se rapproche de e.

Quels sont les champs d’utilisation actuels du nombre E ?

La première utilisation du nombre e, alors que celui-ci n’avait pas encore réellement été théorisé, fut celle de la recherche du gain maximal en augmentant la fréquence de calcul des taux d’intérêts sur un prêt : la méthode des intérêts composés en progression continue, par J. Bernoulli.

Quelles sont les utilisations des outils de maths ? Peut-on, avec la fonction exponentielle, estimer la croissance de la population mondiale dans le futur ?

Depuis les travaux de L. Euler, le nombre de décimales connues n’a cessé d’augmenter, lui-même de façon exponentielle.

Celui-ci est en effet passé de 18 décimales connues en 1748 à 2 010 en 1949, puis à 116 000 en 1978, à 10 millions en 1994, à 1,25 milliard en 1999, pour atteindre 5 000 milliards de décimales en 2016

Pourquoi ? Grâce à quoi ?

Bien évidemment, c’est la puissance de l’informatique qui permet ces records, qu’un cerveau humain ne pourrait égaler.

D’accord, super, mais à quoi cela sert-il ?

On a souvent l’impression, lorsque l’on se met à réviser pour avoir son bac S que de nombreux exercices de maths sont inutiles ou du moins, que l’on ne s’en servira pas dans la vie courante.

Connaître la racine carré de chaque nombre, les équations différentielles, factorisation et dérivation, fonction exponentielle, logarithme, nombres complexes, etc.

On peut, en outre, avoir du mal à trouver quels sont les champs d’application du nombre e.

Pour le dire simplement, on emploie le nombre chaque fois que l’on veut estimer une grandeur exponentielle :

  • En économie : pour le phénomène de croissance exponentielle, pour le calcul des intérêts versés de façon continue,
  • En biologie : pour mesurer la multiplication des cellules vivant dans un organisme,
  • En sciences physiques,
  • En informatique.

Petit problème de maths surprise : comment estimer l’évolution de la population mondiale au bout de 100 ans si l’on lui applique une croissance de 10 % par an, pour une population initiale de 1 000 individus ?

On fera l’opération suivante :

  • Première année (1000 x 1,1) = 1 100,
  • Deuxième année (1100 x 1,1²) = 1 210,
  • Cinquième année (1 000 x 1,1 exposant 5) = 1 610,
  • Au bout de 100 ans : (1 000 x 1,1 exposant 100) = 13 780 612.

Selon notre exemple, la population, avec une croissance démographique de 10 % par an, a été multipliée par 13 780 !

Avec une population mondiale à 7,55 milliards d’êtres humains en 2019, et une croissance démographique à 1,2 % par an, nous serions 24,88 milliards sur Terre dans 100 ans !

Heureusement que la transition démographique vient atténuer ce calcul exponentiel.

Quels supports pour apprendre le nombre E ?

Le calcul logarithmique, qu’il s’agisse de logarithme népérien et de la fonction exponentielle, les limites d’une fonction ou la dérivée, utilisent souvent le nombre e, qui peut être difficile à comprendre pour un élève au niveau lycée.

Les formules en maths : comment réviser le nombre "e" ? « Tu comprends quelque chose à ce que dit le prof de mathématiques appliquées ? »

Si les cours particuliers de mathématiques à domicile sont trop onéreux pour un élève en difficulté, on peut néanmoins suivre des cours et exercices en ligne pour apprendre les maths gratuitement.

Voici quelques supports pour y parvenir.

Afterclasse

Ce site fournit gratuitement des fiches de cours et des exercices rappelant la définition et les propriétés de la fonction exponentielle, des représentations graphiques et des démonstrations pour mieux comprendre.

Les élèves peuvent effectuer un test gratuit pour travailler chaque chapitre comportant le nombre : variations de fonctions, dérivation, limites de fonctions, calcul logarithmique, etc.

Un système de points s’accumule au fur et à mesure, avec des niveaux de difficultés variables, ce qui rend l’entraînement ludique.

Educastream

Le site Educastream.com dispose des supports gratuits, à destination des élèves de Terminale S, pour travailler les cours sur la fonction exponentielle.

C’est un site de soutien scolaire par visioconférence.

Chaque chapitre des nouveaux programmes obligatoires sont consultables dans des fiches de cours gratuits : suites, fonctions (limites, continuité, dérivabilité, tangente, dérivée, exponentielle, fonctions logarithmes), primitives, intégration, probabilités, géométrie.

Mathématiques faciles

Le site mathematiquesfaciles.com semble dater de la préhistoire du web (comme resté inchangé depuis les premières heures du langage de programmation html et .css), mais il est pourtant riche d’informations fécondes pour travailler les maths.

On y trouvera notamment des équations et fractions avec choix multiples pour trouver la bonne solution.

On conseille de relire ses cours avant de réaliser l’exercice et de noter au brouillon les calculs pour répondre.

Surtout, ne jamais cliquer au hasard sur une réponse pour voir si celle-ci est vraie ou fausse : cela entache le processus de compréhension et de mémorisation.

Académie en ligne

Nous avons trouvé instructif les ressources pédagogiques téléchargeables en accès libre (format .PDF) du site Academie-en-ligne.fr.

Un document complet relatif à la fonction logarithme népérien peut être relu, mais son étude seul peut être fastidieuse : le document fait 42 pages !

Youtube

Le célèbre site de vidéo à la demande de chez Alphabet (ex-Google) présente des vidéos et tutoriels réalisés par des professeurs de mathématiques pour mieux comprendre.

Il suffit de taper « nombre e », « logarithme népérien » ou « fonction exponentielle » pour avoir accès à une quantité pléthorique de cours de maths dédiés.

En voici un, par exemple, particulièrement pédagogique et simple à assimiler :

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