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Mini-guide sur l’étude du nombre imaginaire i en mathématiques : histoire et utilisation !

De Samuel, publié le 15/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Comment Apprendre à Utiliser le Nombre i en Maths ?

« La vérité est parfaite pour les mathématiques, la chimie, la philosophie mais pas pour la vie. » Ernesto Sabato (1911-2011)

Réussir ses exercices de maths est une prouesse technique pour bon nombre d’élèves du collège au baccalauréat : du logarithme népérien à la fonction exponentielle, de l’algèbre à la géométrie, on peine parfois à se représenter les maths de façon concrète.

C’est que, les cours de mathématiques, ce n’est pas toujours si concret que cela : en témoigne le nombre i, qui figure parmi les nombres complexes.

Depuis la dernière enquête PISA menée en 2015, il ressort que les élèves des pays asiatiques sont meilleurs en mathématiques qu’en Europe, et c’est en Amérique Latine que l’on rencontre les scores les moins élevés.

Dans cet article, la rédac’ de Superprof s’intéresse à un nombre irrationnel de l’algèbre : le nombre i !

Le nombre : propriétés et définition !

Souvent méconnu des élèves au niveau collège et lycée, ceux-ci ont affaire au nombre i lorsqu’ils abordent les programmes scolaires en classe de terminale scientifique.

Le nombre i… Hum, une lettre de l’alphabet plutôt non ?

Apprendre les maths : fonctionner par étapes ! Si l’on ne maîtrise pas les nombres entiers naturels, inutile de se plonger dans les nombres entiers relatifs…

Le est définit en mathématiques comme un nombre complexe dont l’assimilation est simple, mais requiert des facultés d’abstraction.

En effet, on s’explique :

En maths, certaines équations du second degré n’ont pas de solution réelle car il n’existe pas de nombre réel dont le carré est négatif.

Cela signifie que l’on ne peut multiplier une valeur par elle-même sans produire un résultat positif : par exemple, 2² font 4, tout comme (-2)².

Pour saisir cette propriété mathématique, il faut remonter aux cours de mathématiques de 4ème au collège, où l’on apprend la règle des signes : multiplier, soustraire, diviser ou multiplier plus par plus donne plus, moins par plus et plus par moins donnent un signe négatif, et moins par moins donne un signe positif.

Si le théorème mathématique veut que le produit de deux nombres négatifs est positif, alors on déduit que le carré de tout nombre, même négatifs, est positif.

Partant, on définit dès l’année de 4ème – entre les figures géométriques, le théorème de Pythagore et de Thalès -, les racines carrées comme suit : la racine carrée de x est le nombre qui, élevé au carré, est égal à x.

Si n=, alors n² = x. Ainsi a-t-on  = 3.

Où veut-on en venir ?

Au cours des nombreux siècles de l’histoire des mathématiques, c’est la recherche de racines carrées pour des nombres négatifs qui a conduit à l’invention des nombres complexes tels que i.

Or l’ensemble des nombres complexes est envisagé comme extension de l’ensemble des nombres réels contenant un nombre imaginaire noté i exposant (a;b) tels que i = racine carrée de -1 et i² = -1, avec le carré de (-i) aussi égal à -1.

Le principe est que tout nombre peut s’écrire sous la forme a + i b, où a et b sont des nombres réels, négatifs ou positifs.

La racine carrée de -4 est donc égale à 2i.

Tout nombre de la forme  où b est différent de 0 est un imaginaire pur.

C’est pour cela que les nombres « racine carrée de -4 = 2i », « racine carrée de -16 = 4 i » etc. sont des nombres imaginaires.

Si la racine carrée de -1 n’existe pas, on ne peut donc pas estimer de décimales exactes ou approchées comme on le fait pour les racines de nombres positifs (exemple, racine carrée de 5 = 2,236).

Le nombre est ainsi un concept permettant de concevoir toute une famille de racines carrées de nombres négatifs.

Petite interrogation :

  • Quel nombre obtient-on si l’on élève 3 au carré ?,
  • Quel est celui de ces deux nombres dont le carré de -16 ( -4 ou 4i) ?,

(Les réponses se trouvent en bas de l’article).

Quelle est l’histoire du nombre ?

Les nombres complexes émergent au 16ème siècle, lorsque Gerolamo Cardano (1501-1576) – Jérôme Cardan -, un mathématicien Italien, introduit  pour résoudre une équation du troisième degré.

Raphaël Bombelli (1526-1572 ou 1573) est le premier mathématicien à avoir élaboré des règles de calcul sur les « nombres impossibles » dans Algebra (algèbre) où apparaissent les premières propriétés des nombres complexes.

L'histoire des nombres par les figures savantes : d'où viennent les nombres imaginaires ? A. Einstein, génie des mathématiques, se servit du nombre i pour édifier sa théorie de la relativité.

Le nombre prend naissance suite à la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré, des équations polynomiales avec une racine cubique.

En 1637, le philosophe Français René Descartes (1595-1650) baptise ces valeurs impossibles des nombres imaginaires.

Plus tard, la notation apparaît en 1777 sous l’impulsion des travaux de Leonhard Euler (1707-1783) – oui, l’inventeur du nombre pour calculer la fonction exponentielle -, pour les nombres qu’il qualifie d’impossibles ou imaginaires.

Au cours du 19ème siècle, notamment grâce aux travaux de C. F. Gauss (1777-1855), ces nombres complexes imaginaires purs finissent par être considérés comme des nombres à part entière.

L’intérêt des nombres complexes tels que ou est de pouvoir, selon Augustin Louis Cauchy (1789-1857), « écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence« , avec « une combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien en elle-même« .

Facilitant le calcul algébrique, les nombres complexes sont également introduits dans la représentation géométrique pour en faciliter les calculs.

Pourquoi utiliser les nombres imaginaires purs ?

L’utilisation et l’application des nombres complexes sont multiples, même si lorsque l’on fait des cours et exercices de maths pour réviser son bac S, on ne voit pas trop l’utilité de calculer des nombres imaginaires…

L'application des nombres irrationnels dans la technologie : les maths ont une utilité bien plus grande qu'on ne le croit ! Saviez-vous que les ingénieurs informaticiens ont utilisé le nombre i pour construire les ordinateurs ?

Mais pourquoi donc avoir créé des nombres imaginaires ?

En fait, le nombre i permet de résoudre des équations qui n’ont pas de solution réelle.

Mais en mathématiques, il est une erreur de considérer qu’une équation n’a pas de solution, puisque celle-ci dépend de l’ensemble des nombres considéré.

Voici deux exemples :

  • L’équation x + 8 = 1 n’a pas de solution dans les ensembles de nombres naturels (x étant égal à -7), mais elle en a dans l’ensemble des nombres relatifs,
  • L’équation  (x = racine de 2) n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres rationnels, mais elle en a une dans l’ensemble des nombres irrationnels.

Et pourquoi pas imaginer que 2 + 2 font 10, tant qu’on y est…

En fait, grâce au nombre imaginaire noté i, on a pu résoudre absolument toutes les équations, qu’il s’agisse de nombres entiers, d’irrationnels ou de nombres décimaux.

L’utilisation du nombre imaginaire a également permis d’avancer dans la recherche physique et en électricité : le nombre a permis l’étude des circuits imprimés des ordinateurs et est donc à la base de la révolution informatique du 20ème siècle.

Le passage aux nombres complexes et imaginaires purs permet la résolution de problèmes insolubles sans ce nombre i, pour certaines intégrales par exemple.

Les nombres complexes sont aussi utilisés par les ingénieurs lorsqu’ils ont à faire des calculs de formes d’ondes (en acoustique ou en électronique) ou de flux (aérodynamique, hydrodynamique) et sont employés dans l’utilisation des radars, de l’imagerie ou du sonar).

C’est à l’aide des nombres complexes que les ingénieurs peuvent donc décrire le comportement des circuits électroniques.

Où apprendre le nombre ?

Vous souhaitez progresser en mathématiques et l’aventure des nombres imaginaires, complexes et leur dose d’abstraction qu’il faut pour les comprendre, ça vous fascine ?

Pour faire des calculs algébriques, il faut bien maîtriser les racines carrées. Comprendre le nombre i en ligne, c’est avoir une capacité d’abstraction pour oublier un peu le monde réel…

Rejoignez les rangs de nos professeurs particuliers sur Superprof !

On dénombre à ce jour 85 548 professeurs inscrits sur la plateforme pour donner des cours de maths à domicile.

Si prendre des cours de soutien à domicile représente un service trop dispendieux, on trouve également la solution des cours en ligne, dont voici quelques sites et chaînes de vidéos et tutoriels.

Khan Academy

Ce site pour apprendre les maths tous azimuts permet de réviser les nombres complexes à la fois en cours théoriques et en vidéo.

On y trouve des rappels sur les racines carrées, le nombre i, les racines carrées d’un nombre négatif dans l’ensemble des nombres complexes, le nombre dont le carré est -52 (par exemple), les puissances de i, etc.

Youtube

En tapant simplement « nombre i » dans la barre de recherches de Youtube, on obtient de nombreuses vidéos pour comprendre ce nombre imaginaire.

Puisqu’il peut paraître obscur de faire des calculs avec un nombre imaginaire, on rappellera qu’il s’agit d’un concept mathématique pour simplifier les calculs.

Il existe plusieurs dizaines de vidéos relatives au nombre i, en accès libre.

Ou comment faire des exercices interactifs de maths sans la contrainte d’un professeur derrière soi !

La réponse à la question « quel nombre obtient-on si l’on élève le nombre 3au carré ? » est -9 (car (3i3² x i² , or i² = -1).

Et pour « quel est celui de ces deux nombres dont le carré de -16 ( -4 ou 4i) ? », c’est 4i car la racine de – 16 est imaginaire, on la note donc 4i.

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