Cours particuliers Langues Musique Soutien scolaire Sport Art et Loisirs
Partager

Pourquoi connaître les nombres parfaits ?

De Alexia, publié le 14/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > A Quoi Servent les Nombres Parfaits en Maths ?

« Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est uniquement parce qu’ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée. » John Von Neumann

Si vous faites partie des gens qui n’ont jamais rien compris en maths, cette citation doit vous sembler compliquée à admettre…

Les mathématiques existent depuis la nuit des temps, si l’on en croit la découverte de l’os d’Ishango (plus de 20 000 ans). Il est peut-être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication mais le sujet reste controversé.

Si les maths demeurent un mystère pour nombre d’entre nous, certains y voient un excellent moyen de comprendre et d’analyser notre monde.

Dans cet article, vous découvrirez ce qu’est un nombre parfait et à quoi sert-il (spoiler alert : il ne vous permettra pas d’améliorer votre quotidien !).

Quelle est l’utilité des nombres parfaits ?

Comment reconnaître les nombres parfaits ? « C’est un peu comme de l’elfique, je suis incapable de le lire. » (source : IMG Flip)

Un nombre parfait est un nombre naturel tel que la somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même.

Un diviseur propre est un autre diviseur que le nombre lui-même.

Un petit historique des nombres parfaits

Les nombres parfaits sont liés à la recherche de nombres premiers de Mersenne.

En effet, la proposition 36 du Livre IX des Eléments d’Euclide affirme que si le nombre de Mersenne 2n − 1 est premier, alors 2n−1 (2n − 1) est un nombre parfait.

René Descartes a confirmé dans une lettre à Mersenne que tout nombre parfait pair est euclidien mais il n’a pas démontré sa théorie.

En revanche, le mathématicien suisse Leonhard Euler, est le premier à donner une démonstration de l’observation de Descartes.

La combinaison des résultats d’Euclide et d’Euler permet d’obtenir une caractérisation complète des nombres parfaits pairs.

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l’Antiquité. On les retrouve dans les travaux de Nicomache de Gérase et de Théon de Smyrne. Et le cinquième nombre parfait est mentionné dans un codex latin de 1456.

Les sixième et septième nombres parfaits ont été trouvés par Cataldi au XVIème siècle et le huitième en 1772 par Euler.

Ainsi, dès le début des années 1950, on connaissait 12 nombres parfaits mais depuis la recherche s’est accélérée grâce à des techniques de plus en plus sophistiquées et l’utilisation de l’ordinateur dans les années 1990 via le GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Mais à quoi servent les nombres parfaits ?

Si les nombres premiers sont reconnus comme étant le fondement même de l’arithmétique par de nombreux mathématiciens, les nombres parfaits n’ont pas d’utilité particulière, dans le sens où ils ne sont pas utilisés pour résoudre une équation, une factorisation et n’entre pas dans le champ de la cryptographie.

Ils étaient auparavant considérés comme supérieurs à tous les autres et certains voyaient un rôle mystique en eux : « Six est un nombre parfait en lui-même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait. » Saint Augustin dans « La cité de Dieu » (420 après J.C.).

Ils sont un des mystères des mathématiques et la recherche de nouveaux nombres parfaits fascine encore aujourd’hui de nombreux mathématiciens.

Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses. Une conjecture est une règle qui n’a jamais été prouvée. En voici trois :

  • Les nombres parfaits d’Euclide sont tous pairs puisque l’un des facteurs est une puissance de 2. Mais rien ne prouve pour l’instant qu’il n’existe pas de nombres parfaits impairs,
  • Tous les nombres parfaits connus se terminent par 6 ou 28 mais encore une fois ce n’est peut-être pas vrai,
  • On n’a pas prouvé non plus qu’il existe réellement une infinité de nombres parfaits.

La preuve des théorèmes des nombres parfaits

Que reste-t-il à découvrir en mathématiques ? L’arrivée ds ordinateurs a facilité la recherche de nombres premiers.

  • Le théorème de Fermat en 1640 : soit Mn = 2n − 1 ; si Mn est premier, alors n est premier.

Afin d’établir que lorsque 2− 1 est premier, n est lui-même premier, il faut démontrer l’affirmation si n est composé, alors 2− 1 est aussi composé.

Soit n = ab, avec a, b > 1, et l’identité xk − 1 = (x − 1)(xk-1 +xk-2 + · · · + x + 1) dans laquelle x = 2a et k = b.

Il suit alors 2ab − 1 = (2a − 1)(2a (b-1)+2a (b-2) + · · · +2a + 1), ce qui montre que 2n−1 = 2ab−1 est composé, puisque factorisé sous forme de deux facteurs chacun supérieur à 1 (car a > 1).

  • Le théorème d’Euclide : si Mn est premier, alors 2n-1 Mn est un nombre parfait.

On admet la fonction σ(n) comme la somme de tous les diviseurs de l’entier positif n. Un nombre parfait k est caractérisé par σ(k) = 2k.

La fonction σ a la propriété suivante : si a et b sont deux naturels premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a)σ(b).

Par ailleurs :

  • comme Mn est premier, on a σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2− 1) = 2n ;
  • σ(2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n − 1 = Mn.

Alors σ(2n-1Mn) = σ(2n-1)σ(Mn) = M2= 2(2n-1Mn).

Quels sont les nombres parfaits ?

Combien de nombres parfaits existent ? Un chercheur essayant de trouver un nombre parfait. (source : RTL)

Les nombres parfaits sont rares.

Même si tous les mathématiciens s’accordent pour dire qu’il y en a une infinité (jamais démontré), on n’en connaît que 50 aujourd’hui, sans même être sûr qu’il n’y a pas des nombres parfaits intermédiaires non découverts à partir du 47ème.

Le dernier découvert date de janvier 2018. La découverte d’un nouveau très grand nombre premier implique la découverte d’un nouveau nombre parfait et c’est ce qu’il s’est passé avec le nombre 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Il n’existe que trois nombres parfaits inférieurs à 1000 : 6, 28 et 496.

Un nombre parfait pair se termine apparemment par un 6 ou un 8, même si cela n’a jamais été démontré, mais pas systématiquement en alternance.

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1(2n − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux).

Par ailleurs, tous les nombres parfaits pairs, à l’exception du premier, sont la somme des 2(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :

  • 28 = 13 + 33 ,
  • 496 = 13 + 33 + 53 + 73 ,
  • 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Les 8 premiers nombres parfaits

Les huit premiers nombres parfaits sont :

  • 8,
  • 28,
  • 496,
  • 8128,
  • 33 550 336,
  • 8 589 869 056,
  • 137 438 691 328,
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Pour connaître les 40 prochains, vous pouvez vous rendre sur la page du dictionnaire des nombres premiers.

Les nombres parfaits impairs

Pour le moment, on ignore s’il existe des nombres parfaits impairs.

Tous les exemples sont des nombres pairs, mais cela ne veut pas dire qu’il n’existe aucun nombre parfait impair.

Même si les recherches avancent, aucune n’a permis pour l’instant d’affirmer ou d’infirmer cette hypothèse.

Carl Pomerance a publié une méthode heuristique suggérant l’inexistence d’un nombre parfait impair.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes (source : Wikipedia) :

  • N  doit posséder plus de 300 chiffres s’il existe et être supérieur à 101 500
  • N est de la forme 
    où :

    • qp1, … , pk sont des nombres premiers distincts (Euler),
    • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler),
    • Le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3,
    • La relation e1 ≡ e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (modulo 3) n’est pas satisfaite,
    • qα > 1062 ou pj2ej > 1062 pour au moins un j,
    • N est inférieur à 24k+1
  • Si ei ≤ 2 pour tout i :
    • le plus petit diviseur premier de N est au moins 739,
    • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12),
  • Le plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 108.
  • Le second plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 104 et le troisième à 100.
  • N doit comporter au moins 101 diviseurs premiers et au moins 10 diviseurs premiers distincts. Si 3 n’est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts.

Si tant est qu’ils existent, aucun nombre parfait impair n’est divisible par 105. De plus, aucun nombre de Fermat ne peut être parfait.

Les nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits

Qu'est-ce que des nombres hyperparfaits ? Les exercices de mathématiques sont déjà assez compliqués comme ça sans ajouter des nombres triparfaits !

Sur la base des nombres parfaits, il existe aussi des nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits.

Rassurez-vous, il y a peu de chance que votre prof de soutien scolaire vous interroge dessus. Mais si vous voulez en savoir davantage sur eux, voici quelques informations.

Les nombres triparfaits

Un nombre triparfait est toujours pair. S’il en existe un impair, il est supérieur à 1050. La somme des diviseurs du nombre triparfait, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre.

Par exemple, 120 est un nombre triparfait parce que 23 * 3 * 5 = 120.

On ne connaît que 6 triparfaits :

  • 120,
  • 672,
  • 523 776,
  • 459 818 240,
  • 1 476 304 896,
  • 51 001 180 160.

Les nombres multiparfaits

La somme des diviseurs d’un nombre multiparfait, y compris lui-même, correspond à k fois le nombre.

Les mathématiciens ont découvert plus de 500 nombres multiparfaits jusqu’à l’ordre 8 et ils pensent connaître tous les multiparfaits d’ordre 3 à 7 :

  • 25 x 33 x 5 x 7 est le premier tétraparfait,
  • 2x 3x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait,
  • Le plus grand connu est 7,3 10 1 345

Les nombres hyperparfaits

Un nombre hyperparfait est tel que : n = 1 + k(o(n) – n – 1).

Un nombre 1-hyperparfait est un nombre parfait.

  • Un nombre 2-hyperparfait (HP) est de la forme 2o(n) = 3n + 1 :
    • 21, 2 133, 19 521, 176 661…
  • Un nombre 3-HP est de la forme 3o(n) = 4n +2 :
    • 325 et aucun autre jusqu’à n = 1 000 000,
  • 4-HP : 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625,
  • Aucun 5-HP n’est connu,
  • 6-HP : 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

La connaissance des nombres parfaits, triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits ne vous sera d’aucune aide en classe au collège et lycée en exercices de maths.

Concentrez-vous plutôt sur la fraction, la division euclidienne, le logarithme ou encore le raisonnement en géométrie.

Mais si vous continuez en mathématiques, qui sait, peut-être les nombres premiers deviendront-ils un sujet de recherche…

Partager

Nos lecteurs apprécient cet article
Cet article vous a-t-il apporté les informations que vous cherchiez ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (moyenne de 5,00 sur 5 pour 1 votes)
Loading...

Commentez cet article

avatar