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Le chiffre du néant : sa longue histoire, ses propriétés et son utilisation en maths !

De Samuel, publié le 17/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Tout Savoir sur le Zéro en Maths !

« L’infini ne peut guère conduire qu’à zéro et réciproquement ! » Pierre Dac (1893-1975)

Tout élève dès l’école primaire, au collège lycée et jusqu’à l’université sait bien qu’avoir 0 ou une note proche de 0, est synonyme d’échec, de rater un devoir et aux cours de mathématiques, les notes proches de 0 sont monnaie-courante !

Ce que l’on sait moins, c’est que le chiffre zéro possède une histoire multimillénaire.

Selon un rapport du Conseil national d’évaluation du système scolaire (Cnesco) sur les inégalités scolaires paru en 2016, « Les jeunes des établissements les plus défavorisés ne maîtrisent que 35 % des compétences attendues en fin de 3ème, contre 60 % en 2007.

Ce taux atteint 80% pour ceux qui fréquentent les écoles les plus privilégiées. »

Et en mathématiques, entre 2008 et 2014, le lien entre réussite scolaire et origine sociale des élèves a été renforcé.

Voici notre mini-étude sur le chiffre 0, son histoire et son utilisation !

Le zéro : une histoire antique multimillénaire

L’introduction du zéro dans le système de numération pour représenter l’absence d’objet ou de quantité, ne s’est pas faite sans craintes de la part de nos ancêtres.

L'histoire du vide et du néant en mathématiques : plusieurs millénaires ! Célèbres bâtisseurs et philosophes, les Grecs comptaient sans le zéro !

Chaque élève apprend le chiffre 0 dès l’école primaire, au cours de l’apprentissage des nombres entiers naturels.

Du coup, il nous semble logique de placer le « 0 » à la fois en tant que chiffre pour marquer une position de vide, et en tant que nombre pour exprimer une quantité nulle.

Notre zéro sert, entre autre, à délimiter les nombres positifs des nombres négatifs.

Mais il n’en a pas toujours été ainsi car écrire ce qui est nul heurtait la conception philosophique et religieuse des civilisations passées.

Les maths résultent pour beaucoup de la pensée des hommes à un moment donné !

Les Grecs de l’Antiquité considéraient que ce qui existe est « un », mais n’avaient pas la faculté d’abstraction nécessaire pour être capables d’écrire ce qui n’est pas, ce qui est inexistant.

Pour le mathématicien Aristote, par exemple, le vide et l’infini n’existaient pas.

Par conséquent, les Grecs n’avaient aucun système d’écriture incluant le zéro dans leur numération, puisque le néant heurtait leur esprit rationnel.

Plus tard, les Séleucides babyloniens (au temps d’Alexandre le Grand, vers les 4ème et 3ème siècles avant l’ère chrétienne) utiliseront le zéro comme une position de référence, pour distinguer le vide entre les nombres.

Ainsi par exemple écrivaient-ils « 35 » et « 3 5 » pour 305.

Utilisé par les Mayas au cours du 1er millénaire de notre ère, le zéro avait une fonction de position entre les nombres, servait pour marquer les dates du calendrier, et pour exprimer les durées.

Le zéro : un incontournable de l’histoire des maths !

L’histoire des mathématiques est émaillée de blocages et de découvertes successives selon l’importance de telle ou telle religion ou selon que les savants inventent des outils plus performants pour progresser en arithmétique, en algèbre ou pour élaborer un théorème.

Saviez-vous que notre numération provient de la culture indienne ? Les Indiens hindous : nos plus grands légataires des chiffres actuels !

Ce n’est que vers le 5ème siècle, qu’apparaît le zéro comme nombre à part entière : les hindous, qui représentaient le cosmos comme un univers s’étendant vers l’infini, inventent le zéro – appelé sunya, signifiant « vide » en sanskrit – tel qu’on le connaît aujourd’hui.

Brahmagupta, en 628, publie Brahma Sphuta Siddhanta, un traité d’astronomie qui définit le zéro comme la soustraction d’un nombre par lui-même (x – x = 0).

Les Indiens hindous inventent donc la première équation à résultat nul !

Il faut dire que pour les bouddhistes et les hindouistes, le concept du néant est fondamental pour atteindre le nirvana. Se représenter le zéro est donc naturel pour ces savants.

Peu à peu, les mathématiciens précisent les propriétés mathématiques du nombre zéro en tentant de l’additionner, d’en faire la soustraction, essayant de le multiplier et de le diviser, parfois en vain.

C’est qu’en mathématiques, on ne peut diviser un nombre par zéro : cela dépasse le raisonnement mathématique, et est considéré comme une erreur par toutes les calculatrices.

En revanche, diviser un nombre 1 par une valeur infiniment proche de zéro, par exemple 0,01, donne 100. Diviser 1 par 0,0000001 donne 1 000 000.

Par conséquent, les hindous découvraient que plus on divise un nombre par une valeur approchée de 0, plus on s’éloigne de ce nombre : ils découvraient ainsi que le zéro est intimement lié à l’infini, d’où la propriété que 1/x équivaut à l’infini !

Mais ce n’est pas tout : en tentant de résoudre la fraction 1/0 et en explorant l’infini, les Indiens admettaient également l’existence des décimales.

A partir du 7ème siècle et jusqu’à l’expansion de la culture arabe dans le monde musulman – les pays arabes étant géographiquement proches des Perses et des Hindous -, le zéro est emprunté aux Hindous comme représentation du vide et de l’infini.

Quand l’Occident prétend que l’alphabet latin utilise les chiffres arabes, il emploie en vérité les chiffres indiens !

Dans les pays arabes, on évoque le zéro par le mot arabe « sifr », une étymologie qui dérivera par ailleurs en « chiffre » dans la langue française. Le saviez-vous ?

Le chiffre 0 fait son apparition au 12ème siècle en Europe – la langue arabe, parlée en Espagne musulmane étant proche -, par héritages successifs des mathématiciens Arabes.

Mais l’Église catholique romaine est rétive, méfiante et défiante, peinant à admettre qu’il y ait une écriture possible pour décrire l’absence, le nul, le vide et l’infini.

Le mot arabe « sifr », importé par le mathématicien Italien Leonardo Fibonacci (1175-1250), passe dans tous les pays d’Europe, et est traduit en latin « zephirum », devient progressivement « zephiro », « zeuero », « cero » (espagnol) et enfin, « zero » (italien) et « zéro » en français.

Le système des nombres décimaux enrichit les calculs, et facilite également le commerce international : ainsi les marchands contribuent à imposer le zéro dans la numération, cependant même que les dirigeants chrétiens interdisaient l’usage du 0, représentant le néant, l’incarnation du Diable.

En 1202, L. Fibonacci, qui avait parcouru l’Afrique, le Moyen-Orient, la Grèce et l’Egypte, publie le Liber Abaci, un ouvrage d’arithmétique compilant toutes les connaissances mathématiques connues dans le monde de l’époque.

Les différents symboles du nombre zéro

Le zéro ne signifie pas uniquement le point de séparation entre les entiers négatifs et les entiers positifs, ni même l’absence de quantité (unité, dizaine, centaine, etc.).

Le 0, sujet de nombreuses représentations positives et négatives ! Être ensemble, se réunir : quatre personnes se serrant la main forment un zéro et pourtant, c’est l’unité qu’ils symbolisent !

Le chiffre 0 possède également de nombreux symboles dont la portée n’est pas mathématique, mais philosophique, religieuse ou culturelle.

En effet, le 0 symbolise le néant, le vide, parfois le chaos et le diable.

Le chiffre 0 s’utilise pour caractériser l’état de ce qui est sans valeur, gratuit (0 €, par exemple), infinitésimal (0,000000001 par exemple) ou nul.

Il représente l’origine de toute chose en tant que point de départ, ainsi que le champ des limites à atteindre : ainsi est-il indissociable du sigle de l’infini (le fameux huit couché étant un double zéro se refermant sur lui-même).

La symbolique du zéro revêt également un symbole d’unité et d’éternité, de par sa forme circulaire. Enfin, le sigle représente le commencement.

Paradoxalement, l’année 0 n’existe pas dans notre calendrier grégorien : si l’année -1 passe à l’an 1, on reconnaît un point 0 de notre ère, censé correspondre à la naissance de Jésus-Christ.

Voici d’autres significations attribuées au zéro :

  • Le renouveau, un nouveau départ : ne dit-on pas « repartir à zéro », « remise à zéro » ?,
  • La sécurité, par sa forme ronde et fermée,
  • La fécondité, la féminité, le fœtus,
  • La perfection : chaque point de la circonférence est lié à son centre et équidistant,
  • Le cycle, la régénération car le tracé du zéro revient sur lui-même.

Le zéro se retrouve dans de nombreuses expressions courantes :

  • Tourner en rond (recommencement perpétuel),
  • Un cercle d’amis (l’unité),
  • Un cercle vicieux,
  • Avoir un zéro pointé (nullité),
  • Tout reprendre à zéro,
  • Avoir la boule à zéro,
  • Repartir de zéro,
  • Remettre les compteurs à zéro,
  • Faire un zéro défaut,
  • Tolérance zéro,
  • Avoir le trouillomètre à zéro,
  • Avoir zéro de conduite,
  • Compte pour zéro,
  • Faire match nul,
  • Nulle part ailleurs, etc.

Les expressions avec les mots « zéro » et « nul » renvoient donc à la fois à des acceptions péjoratives et mélioratives, signifiant le bien, le positif et l’état de ce qui est manqué, raté, inexistant ou absent.

C’est bien normal : en maths, ce chiffre est à la fois positif et négatif !

Quelques propriétés mathématiques du zéro

Enfin puisque l’on parle du zéro en maths, pourquoi ne pas réviser quelques propriétés mathématiques de ce chiffre pas si évident qu’il n’y paraît ?

Réviser quelques propriétés mathématiques autour du chiffre 0 ! Regarder les gratte-ciels donne l’impression d’une grandeur infinie, non nulle : mais en maths, les extrémités sont proches…

On dit que le zéro est un nombre cardinal, représentant l’ensemble vide.

C’est le plus petit nombre entier naturel, et également un élément neutre, le seul à ne pas avoir d’inverse : il est à la fois positif et négatif.

C’est la seule valeur qui donne un résultat inchangé lorsque l’on la soustrait ou quand on l’additionne à une autre : 10+0; 10-0, 1+0+2+0+3 = 1+2+3, etc.

Dans les tables de multiplication, c’est l’unique nombre qui, lorsqu’il est multiplié par n’importe quel autre nombre, fait revenir le résultat à une quantité nulle.

Vous souhaitez progresser en maths ? Votre enfant ne parvient pas à réaliser les opérations simples avec 0 ?

Il existe une quantité pléthorique de moyens pour apprendre les mathématiques : par les cours et exercices en ligne, les cours particuliers à domicile avec nos professeurs de maths sur Superprof ou bien les vidéos Youtube.

On peut tout à fait apprendre à jongler avec le zéro de façon ludique et améliorer les résultats scolaires de son enfant rapidement !

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