"L'essence des mathématiques, c'est la liberté."
Georg Cantor
Un nombre premier est un entier naturel qui admet seulement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même.
Selon cette définition, 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers puisque 0 est divisible par tous les entiers positifs et 1 n'est divisible que par un seul entier positif. Certains mathématiciens admettaient 1 comme un nombre premier mais cette théorie a été abandonnée au début du XXème siècle.
La définition du nombre entier est opposée à celle du nombre composé qui est un nombre entier, produit de deux entiers strictement supérieurs à 1.
se retrouvent en difficulté en mathématiques.
Des cours particuliers et une pincée de curiosité peuvent y remédier. C'est peut-être par curiosité que vous êtes tombé sur cet article, alors restez !
On s'intéresse aux nombres premiers et on apprend à les retrouver dans cet article !
Comment savoir si un nombre est un nombre premier ?
Le notion de nombres premiers fait partie des bases de l'arithmétique. Vous avez dû en entendre parler très rapidement à votre entrée au collège.
Il existe de nombreuses applications industrielles de l'arithmétique et notamment des nombres premiers. Alors, tout au long de votre vie, selon votre métier, vous serez confronté à cette notion mathématique.
Quels sont les nombres premiers ?
Cette question n'a pas de réponse fermée puisqu'il n'existe pas de liste exhaustive finie des nombres premiers.
On sait qu'il en existe une infinité et ce depuis l'Antiquité grâce au théorème d'Euclide sur les nombres premiers.
En revanche, il est possible de connaître les nombres premiers en délimitant une borne d'ouverture et une de fermeture.
De 0 à 100 par exemple, les nombres premiers sont au nombre de 25 :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Vous pouvez retenir cette liste. Il est assez facile de mémoriser qu'il existe 25 nombres premiers entre 0 et 100 et de les intégrer ensuite dans sa mémoire à long terme.
Si vous voulez davantage progresser en maths, on ne peut que vous conseiller de suivre des cours de maths en ligne.
L'algorithme par essais de division
Les premières méthodes pour calculer les nombres premiers sont appelées tests de primalité et reposent sur l'essai de division par tous les nombres inférieurs à la racine carrée du nombre choisi :
S'il est divisible par l'un d'eux, il est composé.
S'il n'est pas divisible par l'un d'eux, il est premier.
Néanmoins, cet algorithme est long et fastidieux. De nombreuses divisions sont inutiles, notamment celle par 4 si le nombre n'est pas divisible par 2.
Le crible d'Eratosthène
Reposant sur la méthode des essais de division, le crible d'Eratosthène fournit la liste des nombres premiers inférieurs à une valeur donnée.
Vous avez peut-être appris cette méthode au collège, voici un rappel :
- On commence par former la liste des entiers de 2 à n (120 dans l'exemple),
- Un nombre est premier s'il est le premier nombre de la liste pas encore barré (spoiler alert : le premier est toujours 2),
- Il faut ensuite barrer tous les entiers multiples du nombre 2, en commençant par son carré,
- Ses deux étapes doivent être répétées jusqu'au moment où on cherche les multiples des nombres supérieurs à la racine carrée de n, (ici 120).
La racine carrée de 120 équivaut environ à 10,9.
Et comme une démonstration vaut mieux que mille phrases, voici ce que cela donne de 2 à 120 :
Si vous avez des difficultés en mathématiques (et pas seulement avec les nombres premiers), pensez à prendre des cours de math pour les surmonter !
D'autres algorithmes pour trouver un nombre premier
Il existe d'autres possibilités de reconnaître un nombre premier, à commencer par une variante du crible d'Eratosthène, appelée crible de Sundaram.
Le crible de Sundaram consiste à lister les entiers naturels impairs composés grâce à des suites arithmétiques placées en colonne. Par complémentarité, il est ensuite possible de déduire les nombres premiers.
Le crible général des corps de nombres, le test de primalité de Solovay-Strassen, le test de primalité de Miller-Rabin, l'algorithme AKS, les premiers de Proth, les premiers de Woodall, les premiers de Cullen...
Comment savoir si un nombre est divisible ?
L’une des méthodes pour savoir si un nombre à plusieurs chiffres est premier ou non est de savoir si ce nombre est divisible par deux, trois, quatre ou encore cinq.
Savoir si un nombre est divisible par deux
Il est nécessaire de regarder le dernier chiffre du nombre. Si ce dernier chiffre est 0,2,4,6 ou 8 alors le nombre est divisible par deux.
Le dernier chiffre est 8 alors le nombre est divisible par deux.
Le dernier chiffre est 7 alors le nombre n'est pas divisible par deux.
Cela vaut pour tous les nombres. Même si ces derniers ont beaucoup de chiffres.
Savoir si un nombre est divisible par trois
Cela ne fonctionne pas comme pour la division de deux. Pour savoir si un grand nombre est divisible par trois, il est nécessaire de calculer la somme des chiffres du nombre. Si la somme de tous les chiffres est divisible par trois alors le nombre d’origine est divisible par trois. Il n’est donc pas un nombre entier.
Exemples :
La somme est 9. Le chiffre 9 est divisible par 3 alors le nombre 333 est divisible par trois. Même si cela paraît évident pour un tel chiffre, cette méthode est très pratique pour des nombres plus complexes.
La somme de tous les chiffres est 25. Le nombre 25 n’est pas divisible par trois, alors 34 567 n’est pas non plus divisible par trois.
Pratique non ?
Savoir si un nombre est divisible par 4
Dans ce cas, il faut partir de l’astuce utilisée pour la division par deux. Mais au lieu de prendre le dernier chiffre, il s’agit de regarder les deux derniers chiffres. Si le nombre composé de ces deux chiffres est divisible par 4, alors le nombre d’origine est divisible par 4. Cependant, cette astuce est bonne à savoir mais peu utile pour les nombres premiers puisqu’il suffit de se servir de l’astuce de la division par deux pour savoir si le nombre est entier.
Savoir si un nombre est divisible par 5
Pour savoir si un nombre est divisible par 5, rien de plus simple : le dernier chiffre doit être 0 ou 5. Si ce n’est pas le cas, alors le nombre n’est pas divisible par 5.
Les nombres premiers particuliers
Il existe des nombres premiers particuliers, définis par des contraintes particulières.
Les nombres premiers de Pythagore
Parfois, les nombres premiers de forme 4n + 1 (avec n, entier naturel) sont appelés nombres premiers de Pythagore.
Par exemple 5 est dit de Pythagore.
Un nombre premier impair est dit de Pythagore s'il est la somme de deux carrés.
Les nombres premiers de Mersenne
Les nombres premiers de cette forme où p est un entier naturel sont appelés nombres premiers de Mersenne.
50 nombres premiers de Mersenne sont aujourd'hui connus mais d'autres sont encore recherchés à l'aide du test de primalité de Lucas-Lehmer.
Le dernier connu a été découvert en janvier 2018.
Peut-être trouverez-vous le prochain ? Et si besoin, n'hésitez pas à vous faire aider par un professeur en prenant des cours de maths 3eme.
Les nombres premiers de Fermat
Les nombres de la forme 
Cependant le F5 est seulement considéré comme semi-premier car il est divisible par 641. Les chercheurs continuent leur recherche sur un autre nombre de Fermat.
Les nombres premiers jumeaux
Si deux nombres premiers ne différent que de 2, alors ils sont dits jumeaux.
Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux, 5 et 7 sont jumeaux et 11 et 13 le sont aussi, mais il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
Les nombres premiers de Sophie Germain
Un nombre premier N est un nombre premier de Sophie Germain seulement si 2N + 1 est aussi un nombre premier. Ce dernier est alors nommé « nombre premier sûr ».
Les dix premiers nombres premiers de Sophie Germain sont 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89.
Tout comme les nombres premiers, il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain. Il faut alors calculer.
Les nombres premiers brésiliens
Les nombres premiers brésiliens vont encore plus loin. Il est assez compliqué d’expliquer et de comprendre ces nombres. Sachez que le plus petit nombre premier brésilien est 7 = 1112.
L’ensemble des nombres premiers brésiliens commence par 7, 13, 31, 43, 73, 127, 157, 211, 241, 307, 421, 463 , etc, et tout comme beaucoup de nombres premiers, il existe une infinité de nombres premiers brésiliens.
Il faut également savoir que chaque nombre premier de Mersenne plus grand ou égal à 7 est un nombre brésilien.
Prenez des cours de maths pour travailler les nombres premiers !
A quoi servent les nombres premiers ?
Les nombres premiers, et les mathématiques en général, peuvent paraître complètement inutiles pour certains. Et il est vrai qu’il n’est pas simple de voir l’utilisation concrète de tels chiffres.
Les nombres premiers sont étudiés au collège. Et bien que la réflexion imposée par les mathématiques favorise le développement de la logique et du cerveau, connaître les nombres premiers, on ne va pas vous le cacher, ne nous a servi à rien pour la suite.
SAUF SI vous vous destinez à des grandes études en mathématiques.
Effectivement les nombres premiers ont servi dans de grands domaines. Connaître les nombres premiers a plusieurs utilités.
Tout d’abord, le calcul des nombres premiers fait partie des bases de l’arithmétique élémentaire. Ainsi, on a pu dégager le théorème par lequel un nombre composé est divisible en un produit de nombres premiers, et que cette division est unique à l'ordre des facteurs près. Dans un calcul fractionnaire, la décomposition en facteurs premiers facilite la tâche et peut aider à simplifier une formule mathématique.
Les nombres premiers ont longtemps été vus comme un sujet purement mathématique. Mais ce théorème a par la suite servi pour de nombreuses applications industrielles. C’est alors qu’entre en jeu les systèmes cryptographiques et certaines méthodes de transmission de l'information.
Cela a donc changé dans les années 1970 avec l'arrivée de nouveaux systèmes de cryptographie. Jusque là, la cryptographie était basée sur une même clé pour chiffrer et déchiffrer un message. Cela s'appelait la cryptographie symétrique.
A la fin des années 1970, un système de cryptographie asymétrique est mis au point grâce aux propriétés des nombres premiers et de la factorisation.
Deux clés sont alors utilisées : l'une pour chiffrer, l'autre pour déchiffrer.
Le produit de deux grands nombres entiers (200 chiffres) sert pour la clé qui chiffre. Et pour calculer la clé de déchiffrement, il faut connaître ses deux facteurs premiers.
C'est le système utilisé encore aujourd'hui pour créer des signatures numériques.
Les nombres premiers ont permis de résoudre des problèmes arithmétiques comme le théorème des deux carrés, le théorème des quatre carrés, ou la loi de réciprocité quadratique.
De plus, on les retrouve dans les entiers de Gauss et les entiers d'Eisenstein.
Il a aussi été vérifié que les nombres premiers ont joué un rôle dans la construction de tables de hachage mais aussi pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.
Cela vous donner envie de poursuivre vos études supérieures en maths ?
Les nombres premiers sont encore entourés de mystère...
Si au collège et lycée, on reste focalisé sur la fraction, l'équation, le logarithme, les nombres rationnels ou encore la division euclidienne, les mathématiciens n'en ont pas fini avec les nombres premiers et des questions se posent encore :
Les problèmes de Landau :
- La conjecture de Goldbach,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux,
- La conjecture de Legendre,
- L'existence d'une infinité de nombres premiers de la forme n2 + 1
La conjecture de Polignac
L'hypothèse H de Schinzel
La conjecture de Bateman-Horn
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Fermat ou de Mersenne ou de Fibonacci
L'existence d'une infinité de nombres premiers de Sophie Germain
On ne sait pas non plus s'il existe une infinité de nombres premiers factoriels ou primoriels.
Une conjecture de Daniel Shanks : La conjecture énonce que tous les nombres premiers apparaissent dans la suite d'Euclide-Mullin.
La spirale d'Ulam (ou horloge d'Ulam) n'est à ce jour pas encore totalement expliquée.
Pour connaître tous les mystères des mathématiques, on vous recommande d'interroger votre professeur particulier en cours de math seconde !
Comment retenir les nombres premiers ?
Les techniques évoquées ici peuvent être utilisées pour mémoriser n'importe quel nombre réel.
Il a été reconnu que pour retenir une série de chiffres, par exemple les 25 premiers nombres premiers, il faut faire appel à ses sens et se servir de ses émotions.
Par exemple, on peut développer une mémoire auditive en associant :
- 0 à seau,
- 1 à Hun (oui, oui, l'ancien peuple nomade d'Asie, Attila étant le plus célèbre),
- 2 à dé,
- 3 à croix,
- 4 à cadre,
- 5 à sphynx,
- 6 à saucisse,
- 7 à chaussette,
- 8 à huître,
- 9 à oeuf.
En disant les nombres premiers à voix haute, vous verrez que vous associerez le son au nombre correspondant.
Si vous avez plutôt une mémoire visuelle, vous pouvez associer les nombres à des objets ou des personnages :
- Le 0 à un rond,
- Le 1 à un crayon, un bâton,
- Le 2 à un cygne,
- Le 3 à un hippocampe ou à un chameau,
- Le 4 à un voilier,
- Le 5 à un serpent, à un S ou à un crochet,
- Le 6 à un escargot,
- Le 7 à une falaise vu de côté,
- Le 8 à un sablier,
- Le 9 à un ballon accroché à une ficelle.
Laissez libre cours à votre imagination en créant des histoires à partir des objets.
Plus compliqué, mais envisageable si vous parvenez à mieux mémoriser les mots que les chiffres, il est possible d'associer un mot à chaque nombre de 0 à 100 et de faire des phrases ensuite avec ces mots.
Mais entre nous, mieux vaut apprendre à trouver les nombres premiers plutôt que d'essayer d'en mémoriser le maximum. A part si vous tenez à épater vos amis et votre famille dans les soirées.
Connaissiez-vous les formules pour trouver rapidement les nombres premiers ?
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Comment expliquer les nombres premiers à mon fils zyteint de dyscalculie en 5ème
Bonjour,
Merci pour votre commentaire. Le mieux est qu’il profite d’un suivi particulier comme un professeur particulier qui connaît la dyscalculie ou autre afin qu’il progresse plus facilement. Vous pouvez essayer également d’utiliser des outils mathématiques comme des barres divisibles ou des jetons afin de rendre les maths plus concrètes.
Bien à vous
en lui disant d app
C’est très intéressant votre article.
C’est génial votre article
J’ai 61 ans!
Je cherchais simplement à savoir dans combien d’années mon âge serait à nouveau un nombre premier. À la lecture de cet article, j’ai passé de longues heures de lecture passionnante en naviguant et en surfant dans toutes les directions citées… et je me sens tout réjoui d’avoir l’impression d’être à ce point plus instruit et plus cultivé ! Je n’ai pas dit plus intelligent
Bonjour Serge,
Ravie d’avoir pu égayer votre recherche et d’avoir réussi à vous passionner (encore plus) pour les nombres premiers :)
Au plaisir de vous revoir sur le blog.
Alexia
Il est facile de trouver tous les nombres Premiers par grille . C`est visuel uniquement mais très pratique . Je suppose qu`un mathématicien s`y retrouverait en une sorte de formule ? Faites une grille de 1 à 300 ( 10 X 30 ) et faites ceci : Entourez le 1 puis le 11 en dessous car encerclés ils symbolisent les Premiers . Continuez sur cette colonne en sautant le 21 puis encerclez les deux suivants en alternant avec ce système 2-1 jus qu`à 291 qui ne sera pas encerclé . Faites pareil avec la colonne 3 donc le 3 , 13 et 23 seront encerclés puis continuez avec le système 2-1 .et à la fin 293 sera encerclé . Pour la colonne du 7 on aura le 7 et 17 d`encerclés puis on alterne donc le 297 ne sera pas encerclé . Enfin , le 19 et 29 seront encerclés et à la fin le 299 ne le sera pas . Voilà . Tous les Premiers sont encerclés mais il y a un hic ; On est supposé avoir 61 Premiers pour 1 à 300 , or , on en a 81 donc il y a 20 intrus qui sont des Premiers selon le système mais qui ne le sont pas vraiment alors il faut les extirper pour finalement avoir que les Premiers . L`extirpation doit être via un système fiable , sûr et simple .
Bonjour
Existe t’il une méthode constructale à partir de l’addition et seulement pour définir un nombre premier ?
Bonjour, avez-vous essayé de contacter l’un de nos professeurs pour recevoir une aide personnalisée ? Excellente journée ! :)
Je vous encourage à continuer dans ce sens : vous excitez la curiosité… je ne serez jamais votre élève, car j’ai…91 ans ! Mais il n’y a pas d’âge pour la curiosité. Si j’avais 20 ans de moins, je prendrais des cours chez vous, juste pour le plaisir !