« Si vous touchez aux maths, vous ne devez être ni pressés, ni cupides, fussiez-vous roi ou reine. » Euclide

L’histoire des mathématiques compte de grands noms au fil des siècles. Pythagore, Thalès, Newton, Archimède ou encore Euclide. Grand mathématicien de l’Antiquité, ce dernier a sur regrouper tous les savoirs de son époque en seul ouvrage : Eléments.

Il pose alors les bases des mathématiques telles que nous les apprenons encore aujourd’hui.

Trigonométrie, raisonnement algèbre, équation, fraction, logarithme, les chapitres des mathématiques sont encore marqués par les découvertes de l’Antiquité.

Seulement, d'après une étude menée par une association internationale de chercheurs, les élèves français du niveau CM1 sont les moins bons d’Europe quand il s’agit des maths.

Axiome d'Euclide, division euclidienne, géométrie euclidienne, algorithme d'Euclide, progressez en découvrant l’histoire des maths à travers les découvertes du scientifique.

La vie du mathématicien Euclide

Tout comme pour ses prédécesseurs Pythagore et Thalès, l’histoire d’Euclide n’est pas très documentée. Seuls quelques écrits datant de plusieurs années après sa mort ont été retrouvés et permettent de capter quelques brides de ce qu’a pu être la carrière du mathématicien.

Il n’en reste pas moins l’un des mathématiciens les plus célèbres de l’Antiquité. Né à Athènes vers 330 av J.-C., Euclide aurait enseigné en Egypte dans la belle ville d’Alexandrie. Sous le règne du roi Ptolémée Ier, Euclide fréquente notamment les couloirs du Musée, véritable centre intellectuel d’Alexandrie.

Pourquoi découvrir Euclide ?
Le génie a marqué l'histoire.

Contrairement à ses aînés, Euclide ne créé pas d’école de mathématiques. Cependant, le scientifique devait certainement avoir plusieurs élèves et disciples autour de lui afin d’enseigner toutes les connaissances et savoirs qu’il possédait, mais aussi afin qu’ils l’aident dans ses expérimentations.

Une légende raconte qu’Euclide aurait donné une petite pièce de monnaie à l’un de ses disciples lorsque celui-ci aurait demandé ce qu'il tirait de ses recherches mathématiques. Euclide n’était donc pas en recherche d’argent. Aux grandes fortunes, le mathématicien préférait nourrir son cerveau de formules mathématiques et chiffres en tout genre.

Euclide est surtout connu pour son ouvrage intitulé « Eléments » et qui aurait été rédigé vers 300 avant J.-C. Grand succès d’hier et aujourd’hui, cet ouvrage était le second livre le plus imprimé après la Bible à l’invention de l’imprimerie au XVème siècle.

« Eléments », réparti en 13 livres, est consacré essentiellement à la géométrie plane et à l’arithmétique. Triangles, droites parallèles, cercles, Euclide y fait des démonstrations de théorèmes (dont le théorème de Pythagore) et introduit les notions de PGCD (plus grand commun diviseur) et de soustractions successives répétées, aussi appelées divisions euclidiennes.

Les connaissances d’Euclide se basaient sur les savoirs déjà acquis par les grands mathématiciens de l’Antiquité.

À cette époque, les sciences font le tour de la Grèce et influencent un bon nombre de scientifiques. Les découvertes d’Euclide et de ses contemporains continuèrent d’inspirer les sciences bien longtemps après sa mort supposée en -265 av J.-C. à Alexandrie.

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Le livre de maths d’Euclide : Eléments

Bien qu’il en ait rédigé d’autres, « Eléments » est le livre principal d’Euclide. Grand succès scientifique, le mathématicien répertorie dans cet ouvrage, toutes les démonstrations des savoirs géométriques connus jusqu’à lui.

Les six premiers livres d’« Eléments » traitent de la géométrie plane. On y trouve des données sur les triangles, les droites parallèles, le théorème de Pythagore, les figures planes, les propriétés du cercle (et la présence de figures rectilignes dans un cercle), la construction de pentagone ou encore les proportions entre grandeurs.

Quelles sont le traces d'Euclide ?
Les documents d'Euclide sont de véritables objets historiques !

Ces premiers livres permettent de mettre en place les bases de la géométrie en rappelant les caractéristiques des figures et en y appliquant dans démonstrations.

Les trois livres qui suivent ne traitent plus de géométrie plane mais d’arithmétique. Euclide y parle alors de nombres premiers, de la construction du plus grand diviseur entier commun à deux ou plusieurs entiers, des nombres en progression géométrique, de la construction des nombres parfaits.

C’est aussi dans ces livres que le scientifique introduit le procédé par soustractions successives répétées, aussi appelé division euclidienne.

Le dixième livre est dédié, lui, aux quantités irrationnelles.

Les trois derniers livres sont quant à eux consacrés à la géométrie dans l’espace. On y voit la construction d’objets comme la sphère, les solides réguliers, la pyramide, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre, etc.

D’autres livres ont été greffés plusieurs siècles après l’édition d’Euclide. Ceux-ci ont donc été écrits par de nouveaux mathématiciens qui y ont ajouté des chapitres sur les polyèdres réguliers.

Tous les livres d’ « Eléments » posent les bases des mathématiques comme elles sont encore enseignées aujourd’hui. Géométrie plane, géométrie de l’espace, arithmétique, font partie des cours de mathématiques donnés au collège.

De quoi faire d’ « Eléments » une vraie bible des maths. L’ouvrage a longtemps été considéré comme LA référence du monde mathématique avant d’être rediscuté quelques siècles plus tard. Toutes les informations données par « Eléments » sont une sorte de photographie de la représentation du monde physique de l’époque.

Qu’est-ce que la division euclidienne ?

Dans le grand chapitre de l’arithmétique, la division euclidienne est certainement l’une des compétences mathématiques que l’on nous enseigne très tôt. Il s’agit tout simplement de la division que l’on pose à la main quand on est au primaire.

Appelée aussi division entière, elle est composée de deux entiers naturels nommés dividende et diviseur, ainsi que de deux autres entiers : le quotient et le reste.

Comment euclide pose une division ?
Tout le monde sait maintenant poser une division à la main !

Réaliser une division euclidienne d’un nombre A (le dividende) par un nombre B (le diviseur), permet de trouver le quotient entier, c’est-à-dire le nombre entier trouvé à la fin de la division, et le reste, c’est-à-dire la part du dividende qu’on ne peut plus diviser.

Pour mieux comprendre voici un exemple :

Avec un dividende de 25, divisé par 4 (le diviseur), le quotient entier est 6 car 6 x 4 = 24. Il reste donc 1. Le chiffre 1 est alors le reste. Pour l’effectuer, on cherche à trouver combien de fois il faut multiplier le diviseur (le chiffre 4) pour atteindre le dividende (le nombre 25).

La représentation de la division se fait avec le dividende à gauche et le diviseur à droite. Le reste se trouve en dessous du dividende alors que le quotient entier se trouve en dessous du diviseur.

Pour savoir si la division est terminée, vous devez être sûr que le reste ne peut plus être divisé. Il doit donc être plus petit que le diviseur.

Il peut arriver que le reste soit nul. On dit alors que A est un multiple de B.

La division euclidienne fait partie des cours élémentaires, cependant celle-ci peut se compliquer avec des nombres décimaux ou autres méthodes.

Qu'est-ce qu’un axiome mathématique ?

Dans son ouvrage « Eléments », Euclide donne plusieurs axiomes : des propositions mathématiques qui sont évidentes. C’est à partir de là que le monde mathématique choisit d’appeler « axiome » toute règle mathématiques logique et élémentaire.

Euclide en cite cinq dans son ouvrage :

  • 1er axiome : « Par deux points, il passe une droite. »,
  • 2e axiome : « Tout segment peut être prolongé autant qu'on le souhaite. »,
  • 3e axiome : « De tout point, on peut tracer un cercle de n'importe quel rayon. »,
  • 4e axiome : « Tous les angles droits sont égaux. »,
  • 5e axiome : « Il existe une seule droite parallèle à d passant par A. ».

L'algorithme d'Euclide ou plus grand commun diviseur

L’algorithme d’Euclide est aussi enseigné en cours mathématiques puisqu’il s’agit du fameux P.G.C.D. Aussi appelé le plus grand dénominateur commun, le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers.

Comment étudier les maths d'Euclide ?
Les chapitres des cours de maths sont aujourd'hui influencés par Euclide.

Il s’agit d’un chapitre d’arithmétique élémentaire, tout comme la division euclidienne.

Pour le trouver, il est nécessaire de faire la liste de tous les diviseurs des deux nombres que l’on souhaite. Saurez-vous trouver le PGCD de 10 et 26 ?

  • 10 : 1, 2, 5, 10.
  • 26 : 1, 2, 4, 9, 13.

Le plus grand commun diviseur est donc le chiffre 2.

Afin d’éviter de devoir faire toute la liste des diviseurs pour chaque nombre, l’algorithme d’Euclide consiste à réaliser une suite de divisions euclidiennes.

Ainsi, il suffit de diviser le plus grand nombre par le plus petit puis d’effectuer la division jusqu’à ce qu’on tombe sur un reste égal à 0, ou reste nul. Dans une division de A par B, on continue alors avec une division de B par R (le reste de la première division), et ainsi de suite.

L’algorithme d’Euclide est expliqué dans le livre 7 des Éléments. Euclide présente d’abord ses recherches comme un problème géométrique. Il cherche alors à trouver une unité de mesure pour deux segments. Pour se faire, il décide de soustraire le plus petit segment au plus grand et de continuer jusqu’à trouver la mesure idéale.

Cette méthode est désormais la base de toute division et la raison de nombreuses prises de têtes pour les élèves de l’école primaire !

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Isaline

Journaliste voyageuse et ethnologue de formation, je me passionne pour tout ce qui m'entoure. Des initiatives solidaires aux comportements animaliers, en passant par la musique, la photographie et les sciences.