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Comment Descartes a-t-il marqué les mathématiques ?

De Isaline, publié le 08/01/2019 Blog > Soutien scolaire > Maths > Pourquoi Faut-il Etudier René Descartes en Maths ?

« Pour atteindre la vérité, il faut une fois dans la vie se défaire de toutes les opinions qu’on a reçues, et reconstruire de nouveau tout le système de ses connaissances. » René Descartes

Impossible de faire l’impasse sur René Descartes quand on parle de maths ! Grand scientifique du XVIIème siècle, Descartes a marqué son domaine grâce à la numérisation de la géométrie et son concept de géométrie analytique. Le savant du « Cogito ergo sum » est aujourd’hui enseigné dans toutes les écoles, et bien au-delà des frontières de l’hexagone.

Aristote, Spinoza, Kant, Pythagore, pensée philosophique, fondement métaphysique, raisonnement, intuition, pensée rationnelle, si calculer et philosopher sont vos grandes passions, vous devriez aimez René Descartes.

Alors si vous faîtes partie des 61% des Français qui aiment les mathématiques, selon un sondage CSA Research, découvrez tout ce qu’il y a à savoir sur le Français René Descartes.

Maths : la vie du mathématicien Descartes

Né en France en 1596 dans le village de la Haye, aujourd’hui rebaptisé Descartes, René Descartes est l’un des intellectuels les plus connus de l’Hexagone. Élevé dans une famille bourgeoise, René Descartes est élevé par son père conseiller au Parlement de Bretagne et sa grand-mère maternelle, mais ne connaîtra jamais sa mère qui décède à sa naissance.

Son éducation se fait d’abord au sein du collège des jésuites de la Flèche. Les règles sont strictes et les cours y sont poussés. L’école, créée par Henri IV, est l’occasion pour René Descartes de développer son sens mathématique et montrer de quoi il est capable.

Qui était le mathématicien Descartes ? René Descartes est l’un des plus grands scientifiques de notre Histoire.

Il continue en études supérieures à l’Université de Poitiers. Bien qu’il y étudie le droit et obtient une licence, René Descartes ne travaillera jamais dans le domaine par la suite. Le jeune homme préfère intégrer l’armée européenne (l’armée bavaroise) et profite de cette occasion pour découvrir les pays européens en voyageant.

En 1628, Descartes décide de s’installer aux Pays-Bas où il y prépare un ouvrage scientifique appelé « le Monde ». Il y décrit de nombreux phénomènes physiques qui expliquent le fonctionnement du monde.

Descartes explique notamment, en suivant les données de Copernic et Galilée, que la terre tourne sur elle-même et autour du soleil. Lorsqu’il veut le publier, en 1633, le scientifique se fait condamné par l’Eglise en plein contexte de l’inquisition. Il décide alors de repousser de quelques années la sortie du livre.

Il écrit ensuite un nouvel ouvrage encore réputé de nos jours : Discours de la méthode. Étudié au lycée, cet ouvrage est publié en 1637. La sortie marque ses contemporains puisque celui-ci est écrit en français et non en latin comme le veut la tradition des ouvrages scientifiques.

L’ouvrage est accompagné de trois essais sur l’optique géométrique et lois de la réfraction (appelé dioptrique), sur les météores et la météorologie, et le dernier sur la géométrie. C’est dans cet essai que René Descartes explique le rapport entre géométrie et algèbre. Il créé ainsi la géométrie analytique.

René Descartes publie d’autres ouvrages remarqués durant sa carrière dont les Principes de la philosophie en 1644 ou Les passions de l’âme en 1649.

Victime du froid scandinave, le scientifique et philosophe meurt d’une pneumonie en 1650 alors qu’il est appelé par la reine Christine de Suède.

L’algèbre selon René Descartes

Lorsque Descartes réalise Discours de la méthode au XVIIème siècle, le scientifique fait des choix qui marqueront les mathématiques et particulièrement le domaine de l’algèbre. Il exprime notamment les valeurs inconnues par des lettres. Alors qu’aujourd’hui de telles annotations nous paraissent tout à fait normales, à l’époque, les lettres n’étaient pas de rigueur.

C’est François Viète, un mathématicien contemporain de Descartes, qui introduit le premier ces lettres dans les formules algébriques. Descartes reprend ensuite cette façon de noter les maths dans son ouvrage Géométrie, essai faisant partie du célèbre Discours de la méthode.

On retrouve alors les lettres x, y, z, pour désigner les inconnues des équations, les lettres A, B, C pour désigner des valeurs déjà connues, et l’utilisation de l’exposant pour exprimer les puissances (x4 à la place de xxxx).

Quelles sont les découvertes de Descartes ? Descartes a révolutionné la géométrie et l’algèbre !

Seul l’expression du carré ne change pas encore de formule. On continue ainsi d’écrire xx et non pas x². Le signe égal n’est pas encore connu non plus à l’époque de Descartes. La soustraction, elle, est exprimée par deux tirets négatifs.

Dans le domaine de l’algèbre, Descartes introduira également le terme de « nombre imaginaire » pour parler des nombres complexes.

« Un nombre complexe est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a+bi, où a et b sont des nombres réels et i un nombre imaginaire tel que i²=-1. »

Descartes est surtout connu dans le domaine des mathématiques pour avoir mis en relation les calculs mathématiques avec la géométrie de plan. Il appellera ça la géométrie analytique. Descartes est ainsi le premier à faire le rapport entre l’expression d’une réalité géométrique par une équation, l’usage des coordonnées, et la représentation graphique.

Dans son ouvrage, Descartes dira ceci :

« Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu’aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre, le plus naturellement de tous, en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres… ».

Les maths et Descartes : la méthode des coordonnées

Descartes est un nom dont on a tous entendu parler et dont on se souvient. Les cours de maths ne font jamais l’impasse sur les découvertes de Descartes et pour cause. Celui-ci est le premier à démontrer les relations entre les droites et les courbes et les équations mathématiques. La géométrie analytique est donc née et se définit ainsi :

« Branche de la géométrie qui représente les courbes et les figures géométriques par des expressions algébriques dans un système de coordonnées. »

Pour prouver ces affirmations, René Descartes rapporte des points d’une même courbe à deux axes mais de même origine grâce au système de coordonnées aujourd’hui appelé coordonnées cartésiennes.

Quels livres a écrit Descartes ? L’ouvrage le plus connu de Descartes !

La légende raconte que Descartes aurait eu l’idée d’utiliser les coordonnées en regardant une mouche qui se baladait sur les carreaux d’une fenêtre, les carreaux étant les repères pour établir les coordonnées du plan.

Les coordonnées ont certainement été inventées en tout premier lieu par Léonard de Vinci. Descartes les utilise alors pour traduire des courbes et des droites en calcul arithmétique. La courbe parabole est ainsi traduite par Descartes : y = x2.

A cette époque, et pour Descartes, seules les coordonnées positives étaient prises en compte. Celles-ci représentaient des segments précis d’une forme géométriques dont les valeurs devaient être positives.

Le nom Descartes est aujourd’hui attribué à un type d’équation. L’équation cartésienne à un plan est donc une équation relative à une courbe dont on admet la forme ax + by + cz + d = 0 avec (a,b,c) =/= (0,0,0).

Exemple :

Pour une droite passant par A(1,3), d’ordonnée à l’origine -4, l’équation cartésienne sera « y = 7x – 4 ».

Pour le plan de l’espace passant par A(1,1,2), B(1,0,1) et C(0,2,1), l’équation cartésienne sera « 2x + y – z = 1 ».

Maths : ce qu’il reste de Descartes

Trigonométrie, raisonnement algèbre, équation, fraction, logarithme, nos cours mathématiques sont encore marqués par les découvertes scientifiques de René Descartes. Il est presque impossible de faire l’impasse sur ce géant des mathématiques.

Toutes nos équations utilisent les lettres pour désigner les valeurs connues ou inconnues. Ces notations modernes sont donc la base de notre apprentissage mathématiques du primaire jusqu’au lycée, ou en études supérieures pour les élèves qui continuent leurs études en maths.

Sans son passage, nous marquerions encore des « quadratus » et « cubus » pour noter x2 et x3.

Descartes admet aussi que les problèmes de géométrie peuvent être transformés en problèmes numériques. Cette géométrie analytique fait désormais partie du programme de mathématiques de l’éducation nationale. Les coordonnées d’un plan sont étudiées au collège tandis que les équations cartésiennes sont elles enseignées au niveau lycée.

Quels sont les cours de maths cartésiennes ? Les mathématiques de Descartes sont enseignées dans toutes les classes !

Son nom est désormais ancré dans notre vocabulaire et est attribué à un grand nombre de méthodes de maths. Équations cartésiennes, repères cartésiens, etc. Le repère cartésien représente notamment les coordonnées sous forme de triplet, tout comme un repère affine (O,I,J).

Le nom de René Descartes a aussi été associé à la pensée cartésienne. Un esprit cartésien est un esprit qui analyse et a le sens de la rigueur. Alors vous définissez-vous comme cartésien ?

Définitions cartésiennes

Un grand nombre de définition porte l’adjectif « cartésien » dans le domaine des maths. Voici quelques définitions pour y voir plus clair.

Le produit cartésien :

« En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé ensemble-produit, est l’ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. »

Le diagramme cartésien :

« Représentation d’un ensemble de points dont les coordonnées appartiennent à une relation définie dans un ensemble de nombres. »

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