"Les mathématiciens ont toujours aimé les problèmes pour le plaisir d’en créer de nouveaux." - Alan Turing (1912-1954).
Les algorithmes et les programmes de mathématiques donnent souvent des sueurs froides à quiconque estime ne pas avoir l'esprit mathématique. Or les algorithmes sont partout dans notre vie quotidienne et ne relèvent pas que de l'informatique. En effet, une recette de cuisine, un casse-tête ou encore l'exécution de mouvements répétés en sport, peuvent être considérés comme des algorithmes. Selon une estimation du cabinet d'analyses SlashData, il y avait au moins 19 millions de programmeurs informatique actifs en 2019 dans le monde. Et à l'horizon 2030, on estime qu'il y aura 45 millions de développeurs web recensés dans le monde. Voilà une bonne raison d'apprendre à écrire un algorithme, dit "algo" : pour s'adapter aux évolutions de la société future ! Le mag de Superprof vous dévoile ses conseils de maths pour apprendre à coder un algorithme !
Qu'est-ce qu'un algorithme en mathématiques ?
Sans le savoir, les élèves sont confrontés aux algorithmes dès la classe de 5ème ou de 4ème en cours de mathématiques, notamment en géométrie (Euclide, Pythagore, etc.). L'apprentissage des tables de multiplication en classes élémentaires, comment diviser, calculer un quotient, etc. sont des introductions aux algorithmes que les élèves devront décomposer par la suite au fil de leurs études. Un algorithme se définit comme une suite d'instructions ordonnées ayant pour objectif de trouver un résultat sur la base d'informations connues.
Pour créer des algorithmes qui fonctionnent bien, il faut pouvoir répondre à trois questions préalables :
- Qu'est-ce qu'une variable ?,
- Quels sont les types de variables possibles ?,
- Quels genres d'instructions puis-je utiliser pour ordonner les opérations ?
En cour de math, si le but de l'algorithme est de répéter des instructions en boucle jusqu'à trouver un résultat final à partir d'informations connues et d'autres inconnues, alors il faut pouvoir définir les variables inconnues. Une variable est une information (data en anglais) stockée dans une forme de boîte, que le programme va repérer par son nom. Les variables sont numériques (un nombre), textuelles (un chaîne de caractères) ou de type booléen (la boîte contient une valeur "vrai" ou "faux"). Par exemple, pour confectionner un plat en suivant une recette : le cuisinier ou la cuisinière va exécuter les étapes une à une pour arriver au résultat final, un plat assemblé à partir de plusieurs ingrédients. Schématiquement, en cuisine, on dira : "si ajout de sel", "alors le plat est trop salé", "sinon, ajouter moins de sel". Remplacez les condiments par un triangle, les légumes par un rectangle, le tout relevé à la sauce vecteurs aux notes d'équations et de simple cuisinier vous devenez le boss de l'arithmétique !
Revenons à notre calculatrice : Les instructions doivent être formulées dans un langage compréhensible par l'exécutant pour que l'algorithme permettant d'arriver au résultat final fonctionne. Un humain emploiera donc son langage naturel, dans sa langue maternelle. Mais une machine ne comprendra qu'un langage de programmation donné (langage C, C++, Java, Javascript, code python, PHP, etc.). En algorithmique, les langages utilisés sont appelés "pseudo-code" car ils se trouvent entre le langage naturel de l'humain et le langage de programmation. Ainsi peut-on écrire des algorithmes sans avoir nécessairement pris des cours de programmation informatique. L'objectif de l'algorithme est de décrire ce qu'il se passe lorsque telle ou telle instruction est effectuée. Par exemple, en traversant un passage piéton, le cerveau exécute l'algorithme suivant :
- Je regarde à gauche,
- S'il n'y a pas de voiture,
- Alors je peux traverser,
- Sinon (si une voiture approche), je ne traverse pas et j'attends.
Il faut donc décrire, en termes mathématiques, ce qu'il se produit dans un cas ou dans le cas contraire. Or pour cela, il va falloir utiliser des variables dites itératives et conditionnelles. Un algorithme se compose donc de trois étapes :
- Les données nécessaires à l'utilisation de l'algorithme,
- La suite des opérations à exécuter,
- Le résultat final.
Coder un algorithme requiert surtout beaucoup de logique !
Définir les variables pour écrire un algorithme
Une variable est, par définition, une donnée inconnue qui sera amenée à varier, fluctuer, changer au cours du traitement de l'algorithme.
Par exemple, lors de la rédaction d'un post sur Twitter : pour les algorithmes de Twitter, le message est considéré comme une variable. Vide au départ, le message se remplit progressivement de lettres jusqu'à atteindre sa taille maximale de 140 caractères. Dans ce cas, la variable est "message à Twitter" et l'information sera stockée dans cette variable. Le texte que l'on peut retenir sous forme de variable en mémoire s'appelle la chaîne de caractères. Mais une variable peut également être constituée sur la base de nombres décimaux : 0,1 ; 0,011 ; 0,12 ; ... ; 0,999, etc. Il faut savoir ensuite qu'un programme informatique et les programmes de mathématiques ne sont capables de stocker que les nombres entiers (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.), réels et complexes et ne reconnaissent pas les lettres. Pour concevoir des algorithmes, il faut donc pouvoir préciser, pour chaque variable, si celle-ci est un nombre entier, réel ou complexe. L'objectif, c'est de décrire une situation qui se répète un nombre de fois donné. Par exemple, pour programmer une alarme de réveil d'un téléphone, on ordonne à ce dernier de sonner à 6h du lundi au vendredi. Au lieu d'énumérer une à une chaque opération (le réveil à 6h) et exclure l'alarme pour le samedi et le dimanche, il s'agit de compiler le tout en disant au programme "tous les jours de lundi à vendredi, le réveil sonne à 6h". Pour agir sur ces variables, il va falloir utiliser des opérateurs :
- Pour les variables numériques : les signes +, -, x, ÷ et le signe de puissance,
- Pour les chaînes de caractères : les signes & ou + (pour concaténer deux chaînes),
- Pour les variables booléens : les items "et", "ou" et "non".
L'algorithme permet donc de répéter en boucle l'instruction pour de nombreuses itérations, à partir de ces variables.
Les boucles itératives et conditionnelles en algorithmique
On appelle boucle itérative, ou itération, le fait d'ordonner la répétition d'une instruction ou d'un groupe d'instructions, un nombre de fois donné.
En cours de math en ligne, pour parvenir au résultat final, l'algorithme va faire tourner une boucle pour un nombre de valeurs données et appliquer la même opération pour chacune des itérations de cette boucle, d'où l'utilisation de l'item "pour" ou "for" en anglais. Mais lorsqu'on ne sait pas combien d'itérations sont nécessaires, il faut continuer tant que la structure itérative n'est pas parvenue au résultat final. D'où l'utilisation de la boucle "tant que", ou "while" en anglais. Par exemple, tant que l'on n'a pas compris les exercices de programmation, on réitère les travaux-pratiques chaque soir de la semaine. Si on parvient à les faire sans erreur, alors on passe à la suite. Si non, on recommence. A la fin, il faut penser à spécifier la condition d'arrêt de la boucle afin que le programme arrête l'opération et ainsi éviter le risque de créer une boucle infinie ! C'est la balise "EndIf" ou "IfEnd", ou encore "End" que l'on voit à la fin de l'ensemble syntaxique des algorithmes simples sur les calculatrices.
Quels outils utiliser pour faire un algorithme ?
Les élèves peuvent être amenés à écrire des algorithmes dès le niveau collège. En effet, les cours sur les langages de programmation font irruption de plus en plus tôt dans les programmes scolaires.
Les collégiens pourront utiliser les outils suivants en cours de math :
- Algoblocs,
- Géotortue,
- Robotprog,
- Scratch.
Au niveau lycée, les solutions pour débuter en algorithmique sont les suivantes :
- Algobox,
- BlocksCAD,
- Beetle Blocks,
- Python,
- Scilab,
- Xcas.
L'un des plus réputés pour une initiation dès l'adolescence, est le logiciel Scratch. Ce logiciel permet de s'essayer à l'algorithmique avec des cours ludiques et créatifs pour débutant. Algorithmique et programmation étant liées, l'utilisateur peut programmer ses propres histoires interactives, des jeux et des animations. Développée par l'académie de Grenoble, la solution est disponible en ligne gratuitement (sous licence libre). Au niveau lycée, la crème de la crème pour apprendre le codage des algorithmes est le langage ou programmation python . Ce langage de programmation réputé pour être intuitif et relativement facile à apprendre est enseigné dans le second degré dès la première année de lycée. Pour créer un algorithme en programmation Python, vous trouverez de nombreuses ressources gratuites sur les algorithmes de base en ligne.
Des exercices d'algorithmique pour s'entraîner !
Il n'y a rien de mieux que de faire des exercices pour s'entrainer et se perfectionner en maths.
Voici par exemple deux petits exercices à faire pour s'initier et construire des algorithmes de base.
Exercice 1
Enoncé : Supposons que l'on ait un jeu de 100 cubes. Un enfant construit des « pyramides » avec ses cubes.
- Etape 1 : 1 cube,
- Etape 2 : 3 cubes empilés (2 cubes à la base et un en 2ème ligne),
- Etape 3 : 6 cubes empilés (3 cubes à la base, 2 en 2ème ligne et un en 3ème ligne).
Jusqu’à quelle étape peut-on aller et combien de cubes restera t-il alors ? Déterminer le nombre total de cubes empilés à l’étape 4, puis à l’étape 5. Combien de cubes sont nécessaires pour passer de l’étape 3 à l’étape 4, puis de l’étape 4 à l’étape 5, puis de l’étape (n-1) à l’étape n avec n ? Compléter l’algorithme suivant dont le but est d’afficher le nombre N d’étapes que l’on peut réaliser avec 100 cubes et le nombre R de cubes restants.
Exercice 2
Enoncé : construire un algorithme qui implique de choisir un nombre compris entre 1 et 5 jusqu'à ce que la réponse convienne. Voici comment devra être rédigée la démonstration : Variable N en Entier Début N ← 0 Ecrire "Entrez un nombre entre 1 et 5" TantQue N < 1 ou N > 5 Lire N Si N < 1 ou N > 5 Alors Ecrire "Saisie erronée. Recommencez” FinSi FinTantQue Fin. Vous êtes perdu(e) ? Superprof est là pour vous aider à mieux comprendre les fonctions mathématiques algorithmiques ! N'hésitez à consulter les profils des professeurs de maths près de chez vous ! Rien de tel que des cours de programmation structurée, de nombreux exercices corrigés et des conseils de pro pour comprendre la base du langage algorithmique en math ! Alors, devenir programmeur ça vous branche ?
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J’ai bien aimé ce site. Il m’a beaucoup avance . En effet j’ai pu trouver des logiciels pour m’aider à apprendre. Merci beaucoup!