Chapitres
Voici un cours pratique sur la convexité réalisé par des ambassadeurs Superprof qui ont lancé leur application de e-learning, Studeo : preview exclusive pour Superprof !
Il se décompose en deux temps :
- une vidéo de cours de 5 minutes pour comprendre les points clés,
- un exercice d'application et sa vidéo de correction pour maîtriser la méthode.
1) Les inégalités : simple - le cours en Terminale
Vidéo Antonin - Cours :
https://youtu.be/xt4TfBw_QI8
À retenir sur ce point de cours :
Traduction de la relation courbe-sécante
- Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels 
et 
de 
et pour tout 
on a: 
- Si 
est une fonction concave sur un intervalle alors pour tous réels et de et pour tout on
a: 
Démonstration au programme
Version courte de la démo:
Soit deux réels et et soit 
un réel de 
.
Soit 
et 
.
Alors le point 
appartient au segment 
, sécante de 
.
étant convexe, cette sécante est située au dessus de .
est donc situé au dessus du point 
D'où 
.
Lien logique entre Convexité et Concavité
est convexe sur 
si et seulement si 
est concave sur .
Exemple
Soit la fonction définie sur 
par 
. La fonction 
est convexe, donc 
est concave.
2) Prouver une inégalité avec convexité - exercice d'application
Avant de voir la vidéo de correction ci-dessous, vous pouvez vous essayer à l'exercice d'application suivant :
Soit la fonction définie sur par 
a) Étudier la convexité de la fonction .
b) Déterminer l'équation de la tangente à la fonction en 
.
c) En déduire que pour tout réel négatif, on a : 
Vidéo Kevin - Application :
https://youtu.be/poWin6uibiw
Vous pouvez également retrouver le pdf du superprof ici :
PDF Prouver une inégalité avec convexité
Pour retrouver ces vidéos, ainsi que de nombreuses autres ressources écrites de qualité, vous pouvez télécharger l'application Studeo (ici leur website) pour iOS par ici ou Android par là !
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