Introduction

Les équations et inéquations sont des égalités et inégalités à une ou plusieurs variables que l'on souhaite résoudre, c'est à dire dont on souhaite déterminer les inconnues. Cherchons à comprendre comment elles se résolvent à travers des propriétés et des exemples.

Définitions

Qu'est ce qu'une équation ? Définissions les différents termes qui apparaissent dans les équations et inéquations.

Une équation en mathématique est une relation, en général une égalité, comprenant une ou plusieurs variables, aussi appelées des "inconnues". Ce sont ces inconnues que nous allons vouloir déterminer, c'est ce qu'on appelle résoudre l'équation.

En 3ème, nous étudierons uniquement les équations à une inconnue. Par exemple,

    \[3x+2=1\]

où x est l'inconnue à déterminer. On dit que 3x+2 est le membre de gauche et 1 le membre de droite.

Une inéquation fonctionne comme une équation mais au lieu d'une égalité on a une inégalité, c'est à dire qu'à la place du signe "=", on trouve les signes "<" (inférieur strict), ">" (supérieur strict) ou encore

    \[\leq et \geq\]

(inférieur ou égal et supérieur ou égal).

 

Résoudre une équation

Comment résoudre une équation ? Regardons avec différents exemples comment résoudre une équation.

Regardons différents exemples afin de comprendre comment résoudre une équation.

Reprenons

    \[3x+2=1\]

Le but va être d'isoler le x d'un côté ou de l'autre afin de déterminer la valeur de x pour laquelle l'égalité est vraie. Pour cela, on passe par différentes étapes :

Dans un premier temps, on souhaite enlever toutes les additions et soustractions présentes dans le membre de gauche, c'est à dire dans le membre où se trouve l'inconnue x.

Dans notre équation, on souhaite faire disparaître le "+2" du membre de gauche. Pour cela, on va soustraire 2 à chacun des membres, c'est à dire de chaque côté de l'égalité.

    \[3x+2-2=1-2\]

ce qui revient à

    \[3x=-1\]

Maintenant, on souhaite isoler x, c'est à dire que l'on souhaite faire disparaître le 3 présent devant le x. Pour cela, on va diviser par 3 les 2 membres afin que l'égalité reste vraie.

On obtient

    \[\frac{3x}{3}=\frac{-1}{3}\]

ce qui revient à

    \[x=\frac{-1}{3}\]

Donc l'égalité est vraie pour

    \[x=\frac{-1}{3}\]

c'est à dire que la solution de l'équation est

    \[x=\frac{-1}{3}\]

Faisons un deuxième exemple détaillé :

    \[-x+4=-2x+2\]

La première étape est de rassembler les x ensemble. Pour cela, on va faire passer le "2x" à gauche de l'égalité, c'est à dire que l'on va ajouter 2x des deux côtés de l'égalité pour que celle ci reste vraie.

On obtient

    \[-x+4+2x=-2x+2+2x\]

ce qui équivaut à

    \[x+4=2\]

Maintenant, on résout comme précédemment l'équation. On soustraie 4 des deux côtés pour isoler le "x" :

    \[x+4-4=2-4\]

ce qui revient à

    \[x=-2\]

Ainsi, la solution de l'équation est x=-2.

On peut vérifier que l'on ne s'est pas trompé dans la solution en remplaçant x par -2 dans chacun des membres au départ de l'équation :

-(-2)+4=6 pour le membre de gauche

-2 x (-2) +2=4+2=6 pour le membre de droite

On a bien égalité des deux membres donc on a trouvé la bonne valeur.

Ce qu'il faut retenir des exemples :

  • Lorsque qu'une addition de deux termes avec des "x" apparaît, on peut les réunir (ex : 2x+3x=5x). Il en est de même pour la soustraction.
  • La solution d'une équation à une inconnue est toujours unique, il n'en existe pas d'autre.
  • L'égalité reste vraie lorsque l'on additionne ou soustraie les deux membres par un même nombre. On ne peut pas additionner un seul des deux membres : 2x+2=6 ne donne pas le même résultat que 2x=6, mais il donne le même résultat que 2x+2-2=6-2.
  • Enfin, de la même façon, l'égalité reste vraie lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre.

 

Résoudre une inéquation

Qu'est ce qu'une inéquation ? Observons comment se résout une inéquation grâce à différents exemples.

On résout une inéquation de la même manière que l'on résout une équation mais certaines propriétés supplémentaires vont s'appliquer pour la multiplication et la division des deux membres par un même nombre.

En effet, lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre positif, l'inégalité reste vraie comme avec une équation. Par exemple,

    \[3x<2\]

équivaut à

    \[x<\frac{2}{3}\]

Cependant, lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Par exemple, on sait que 2<3, si on multiplie les deux cotés de l'inégalité par -10, cela fait -20>-30. C'est bien -30 qui est le plus petit donc il faut inverser le sens de l'inégalité.

Regardons deux exemples de résolution d'inéquation.

Résolvons

    \[\frac{1}{2}x-1\leq 5\]

On souhaite isoler le x. La première étape est de faire disparaitre le "-1" du membre de gauche. Pour cela, on ajoute 1 de chaque coté de l'inéquation.

On obtient

    \[\frac{1}{2}x-1+1 \leq 5+1\]

ce qui équivaut à

    \[\frac{1}{2}x \leq 6\]

Ensuite, il faut faire disparaitre le facteur situé devant le x afin de déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'inéquation est vraie. Pour cela, il nous suffit de multiplier par 2 chacun des membres de l'inégalité. Comme 2 est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité.

On obtient

    \[2\times \frac{1}{2}x \leq 2\times 6\]

ce qui revient à écrire

    \[x \leq 12\]

Tous les nombres plus petits que 12 et le nombre 12 sont solutions de l'inéquation. On note

    \[S=]-\infty,12]\]

Prenons un deuxième exemple

    \[-x >2x+9\]

Dans un premier temps, il est nécessaire de réunir les x dans un même côté. Passons tous les x à gauche. Pour cela, il faut faire disparaitre le "2x" à droite. On va donc soustraire 2x de chaque côté de l'inégalité.

On obtient

    \[-x-2x>2x+9-2x\]

ce qui revient à

    \[-3x>9\]

On doit alors diviser par -3 de chaque côté de l'inéquation pour isoler le x. Cela implique que l'on doit changer le sens de l'inégalité.

On obtient

    \[\frac{-3x}{-3}<\frac{9}{-3}\]

ce qui donne finalement

    \[x<-3\]

Donc les solutions de l'inéquation sont l'ensemble des x strictement plus petit que -3.

Les règles a retenir sont :

  • On peut additionner ou soustraire les termes possédants des "x" comme pour les équations. Par exemple, 2x-3x=-x.
  • L'inégalité reste vraie lorsque l'on additionne ou soustraie les deux membres par un même nombre.
  • L'inégalité reste vraie lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre positif.
  • On change le sens de l'inégalité lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre négatif.
  • Une inéquation possède un ensemble de solution et non une unique solution comme l'équation.

 

Exercices

 

Résoudre les équations suivantes :

    \[3x+1=4\]

    \[x+6=5x-2\]

et

    \[-4x+5=1-2x\]

 

Donnons les résultats de ces équations dans un tableau :

EquationEtape 1Etape 2Solution
3x+1=43x=3x=1x=1
x+6=5x-2-4x+6=-2-4x=-8x=2
-4x+5=1-2x-2x+5=1-2x=-4x=2

 

Résoudre les inéquations suivantes :

    \[-2x<6\]

    \[3x+3>-6x-9\]

    \[-5x+2<-x\]

 

Affichons les résultats dans un tableau :

InéquationEtape 1Etape 2Solution
-2x<6-2x/-2>6/-2x>-3x>-3
3x+3>-6x-99x+3>-99x>-12x>-12/9=-4/3
-5x+2<-x-4x+2<0-4x<-2x>-2/-4=0,5

 

Pour aller plus loin

Comment résoudre une inéquation ? Les mathématiques sont très vastes et il existe bien plus d'équations et d'inéquations que ce qu'on pense.

Il existe de nombreuses équations plus compliquées que l'on sait résoudre.

En classe de seconde, on apprend à résoudre les équations polynomiales du second degré c'est à dire des équations de la forme

    \[ax^2+bx+c=0\]

où a,b et c sont des nombres connus. On apprend également à résoudre les inéquations avec des polynômes du second degré.

On apprend également à résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues, par exemple :

    \[\begin{cases}2 x+3y = 0\\5x+y =2\end{cases}\]

Différentes méthodes existent pour les résoudre : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.

Enfin, en classe de terminale, on verra les équations différentielles simples. Ce sont des équations qui possède une inconnue x et la dérivée x' de x.

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