I) Équations à deux inconnues

2x + 3y = 9   est une équation à deux inconnues.

1°) Résoudre cette équation, c'est trouver les couples de solutions (x ; y) telles que l'égalité 2x + 3y = 9 soit vraie.
(0 ; 3) est un couple de solution.

2°) Recherche de solutions

• On choisit x. Par exemple x = 2.

• On remplace x par 2 dans l'équation.
4 + 3y = 9

• On résoud  l'équation à une inconnue.
3y = 9 - 4
3y = 5
y = 5
3

Donc la solution trouvée est (2 ; 5).
3

On peut trouver une infinité de solutions.

3°) La représentation graphique des solutions de l'équation 2x + 3y = 9 est une droite d. Tous les points de la droite d ont des coordonnées de la forme (x ; y = 9 - 2x).
3
On dit que 2x + 3y = 9 est l'équation de la droite d.

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II) Système de deux équations à deux inconnues

Un cinéma offre deux tarifs d'entrée : l'un à 6 euros et l'autre à 3 euros. La vente de 260 tickets a donné une recette de 1356 euros. Combien de tickets de chaque sorte a-t-il été vendu ?

1°) Choix des inconnues

Soit x le nombre de tickets à 6 euros vendus.
Soit y le nombre de tickets à 3 euros vendus.

2°) Mise en équation

6x + 3y = 1356
x + y = 260

3°) Résolution par substitution

x + y = 260
6x + 3y = 1356

x = 260 - y                         → On écrit x en fonction de y
6x + 3y = 1356

x = 260 - y                         → On remplace x par l'expression en y dans la deuxième équation
6 (260 - y) + 3y = 1356

x = 260 - y                         → On résoud l'équation en y
1560 - 6y + 3y = 1356

x = 260 - y
-3y = -204

x = 260 - y
y = -204
-3

x = 260 - y
y = 68

x = 260 - 68
y = 68

x = 192
y = 68

On a vendu 192 tickets à 6 euros et 68 tickets à 3 euros.

III) Résolution par la méthode de combinaisons

3x + 2y = 8         X 5             → On multiplie chaque équation pour obtenir le même nombre de x
5x - 8y = 2          X 3

15x + 10 y = 40
15x - 24 y = 6

0 + 34y = 34                         → Je soustrais membre à membre
15x + 10y = 40

y = 1
5x - 8y = 2

y = 1
5x - 8 = 2

y = 1
5x = 10

y = 1
x = 2

La solution est (2 ; 1).

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !