Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Soit (d) et (d') deux droites sécantes en A. B et M sont deux points de (d) distincts en A. C et N sont deux points de (d') distincts en A. Si (BC) et (MN) sont parraléles. Alors AM : AB = AN : AC = MN : AC

MN = Longueur du triangle AMN. BC longueur du triangle ABC.

Remarque : Agrandissement et réduction

Soit K le nombre tel que :

AM : AB = AN : AC = MN : AC = K

Alors le triangle AMN est la représentation du triangle ABC à l'échelle K.

Echelle = longueur sur le plan : Longueur réelle

Si K < 1 c'est une réduction Si K > 1 c'est un agrandissement

Propriété

A l'échelle K, les longueurs sont multipliées par K, les aires par K², les volumes par K au cube.

Propriété :

Dans une situation d'agrandissement ou de réduction, la mesure des angles reste inchangée.

Réciproque du théorème de Thalès

(d) et (d') sont deux droites sécantes en A. B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d') sont distincts de A.

Si A,B,M et A,C,N sont respectivement dans le même ordre sur les droites (d) et (d'). Si AM : AB = AN : AC.

Alors les droites (MN) et (BC) sont paralléles .

Exemple

MA = 2 ; AC = 6 ; CB = ? ; AD = 3 ; NA = 4 ; MN = ?

Prouver que les droites (MN) et (BC) sont parralléles.

Réponse :

Les droites (MB) et (NC) se coupent en A. Les points M, A, B et N, A, C sont rangés dans le même ordre.

Calculs séparés

AM : AB = 2 : 3

AN = AC = 4 : 6 = 2 : 3

Donc AM : AB = AN : AC

Les conditions de la réciproque du Théorème de Thalès sont vérifiées, donc les droites (MN) et (BC) sont paralléles.

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Olivier

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