Chapitres
1- La racine carrée d’un nombre :
Définition :
| Soit a un nombre positif. On appelle Racine Carrée de a notée . le nombre positif dont le carré est égal à a. C'est à dire : |
Exemple :
-9 n’a pas de sens car –9 est un nombre négatif
application :
A l’aide de la calculatrice calculer
2- Le théorème de Pythagore:
2.1. Partie directe :
Théorème de la partie directe :
Soit un triangle ABC,
| Si un triangle ABC est rectangle en A ALORS
|
Preuve avec un trapèze :
Une des démonstrations de la partie directe du théorème de Pythagore.
Soit un triangle ABC rectangle en A,
montrons que BC² =AB² + AC².
Dans la figure ci-dessous, ABDC est rectangle de sens direct.
On pose BC = a, AC = b et AB = c.
On considère le quart de tour de centre B (rotation de 90°)
qui transforme le triangle BCD en le triangle BC'D’.
Évidemment le triangle CBC' est rectangle en B 'car rotation de 90°).
Les points A, B et D’sont alignés
et le quadrilatère AD’C'C est un trapèze.
En traduisant de deux manière l'aire de ce trapèze :
aire (AD’C'C) =aire (ABC) + aire (CBC') + aire (BC'D’)
En multipliant par deux chaque membre de l'équation, nous obtenons :
(b+c)²=a²+2bc
(b+c)(b+c)=a²+2bc (voir chapître caclcul littéral...)
b²+bc+bc+c²=a²+2bc
b²+2bc+c²=a²+2bc
En simplifiant par 2bc dans les deux membres,
Nous obtenons au final :
a² = b² + c²
soit BC² = AC² + AB²
Remarque :
la partie directe du théorème de Pythagore, nous permet de déterminer une longueur du triangle connaissant les deux autres.
Signification géométrique :
BC²=AB²+AC² L’aire du carré de coté [BC] est égale à la somme des aires des carrés de coté [AB] et [AC] |
2.2.- La réciproque du théorème de Pythagore.
B
Th de la partie réciproque :
Soit un triangle ABC.
Si BC²=AB²+AC² ALORS le triangle ABC est rectangle en A. |
Th de la partie contraposée :
Soit un triangle ABC tel que BC est la plus grande longueur Si BC²=AB²+AC² ALORS le triangle ABC est rectangle en A. |
Remarque :
la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, nous permettent de déterminer si un triangle est rectangle connaissant les trois mesures de ses cotés.
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