Chapitres
- 01. I- Equations
- 02. II- Inégalités
Equations et inégalités
I- Equations
A- Vocabulaire
En cour de math, une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnue(s).
Un nombre est solution d'une équation quand, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.
Exemple : Considérons l'équation 9 - x = 1.5 :
- Pour x = 2, on a : 9 - x = 9 - 2 = 7 donc 2 n'est pas solution de l'équation.
- Pour x = 7.5, on a : 9 - x = 9 - 7.5 = 1.5 donc 7.5 est solution de l'équation.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions de cette équation.
B- Règles de calcul
Pour résoudre une équation, on peut :
- Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation. On obtient alors une autre équation qui a les mêmes solutions que la précédente.
- Multiplier ou diviser les membres d'une équation par un même nombre non nul. On obtient alors une autre équation qui a les mêmes solutions que la précédente.
Exemple : Résoudre 3x + 1 = 5 - 2x :
3x + 1 = 5 - 2x ⇓ on ajoute 2x aux deux membres de l'équation
3x + 1 + 2x = 5 - 2x + 2x ⇓ on réduit
5x + 1 = 5 ⇓ on enlève 1 aux deux membres
5x + 1 - 1 = 5 - 1 ⇓ on réduit
5x = 4 ⇓ on divise par 5 les deux membres
5x / 5 = 4 / 5 ⇓ on réduit
x = 4 / 5
L'équation 3x + 1 = 5 - 2x a pour solution 4/5.
C- Equations de référence (a et b sont des nombres fixés et x représente l'inconnue) :
Une équation du type a + x = b a pour solution : b - a.
Une équation du type ax = b avec a ≠ 0 a une solution : b / a.
II- Inégalités
A- Notations
- a < b signifie "a est strictement inférieur à b".
- a ≤ b signifie "a est inférieur ou égal à b".
- a › b signifie "a est strictement supérieur à b".
- a ≥ b signifie "a est supérieur ou égal à b".
B- Encadrement d'un nombre décimal
La troncature à l'unité est la partie entière d'un nombre décimal.
L'arrondi à l'unité d'un nombre décimal est le nombre entier qui est le plus proche de ce nombre.
Encadrer un nombre, c'est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre.
C- Ordre et opérations
- Pour l'addition :
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
C'est-à-dire : si a ‹ b, alors a + c ‹ b + c.
Et, réciproquement, si a + c ‹ b + c, alors a ‹ b.
Exemple : Si x - 3 ≤ 2, alors x - 3 + 3 ≤ 2 + 3, donc x ≤ 5
- Pour la soustraction :
Les nombres a - c et b - c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
C'est-à-dire : si a ‹ b, alors a - c ‹ b - c.
Et, réciproquement, si a - c ‹ b - c, alors a ‹ b.
Exemple : Si x + 3 ≤ 2, alors x + 3 - 3 ≤ 2 - 3, donc x ≤ -1
- Pour la multiplication :
Si c est strictement positif, les nombres ac et bc sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
C'est-à-dire : si a ‹ b et c › 0, alors ac ‹ bc.
Et, réciproquement, si ac ‹ bc et c › 0, alors a ‹ b.
Si c est strictement négatif, les nombres ac et bc sont rangés dans l'ordre inverse des nombres a et b.
C'est-à-dire : si a ‹ b et c ‹ 0, alors ac › bc.
Et, réciproquement, si ac › bc et c ‹ 0, alors a ‹ b.
Conséquence : Les opposés de deux nombres sont rangés dans l'ordre inverse des deux nombres.
Exemple : On a : 2 ‹ 3 donc -2 › -3
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j’ai pas eu ce que je veux car je voulais par exemple comment résoudre a+5 et b+5 …
mais c’est un peu intéressant et comme vous saviez tout ce que vous écrivez ici est dans nos manuels donc … mais c’est bien comme même.
merci!
Bonjour ! Alors peut-être que cette leçon pourra vous intéresser, mais surtout, pour vous aider : https://www.superprof.fr/ressources/scolaire/maths/exercice-7/3eme-7/operations-equations-examen.html
Merci pour votre fidélité, bonne journée !