Chapitres
Le calcul litteral (ou algebrique) :
I. Développer et réduire une expression.
0. Préambule: règle des signes.
Afin de pouvoir être à l'aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.
| Multiplié par | + | - |
| + | + | - |
| - | - | + |
Définition :
(on développe les produits, on supprime les parenthèses et on regroupe les termes de même nature)
1. Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction : (rappels de 5ème et 4ème )
Soient a, b, c, d et k des nombres (réels IR) quelconques.
• ( simple distributivité)
• (simple distributivité)
• (double distributivité).
Exemples :
En cour de math, lorsque le développement est précédé d'un signe moins,
on ouvre une parenthèse et on effectue le développement à l'intérieur.
2. Les identités remarquables.
Soient a et b sont deux nombres (réels IR) quelconques.
A. Carré d'une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
B. Carré d'une différence
(a - b)² = a² - 2ab + b²
C. Produit d'une somme de deux nombres par leur différence
(a + b) (a - b) = a² - b²
Preuves :
Utilisons la propriété de double distributivité rappelée au début de la leçon.
A.(a+b)²
= (a+b)(a+b)
= axa+axb+bxa+bxb
= a²+ab+ba+b² (or ab = ba car la multiplication est commutative en effet 2x3=3x2) Donc (a+b)²= a²+2ab+b²
B.(a-b)²
= (a-b)(a-b)
= axa-axb-bxa+bxb
= a²-ab-ba+b² (ne pas oublier la règle des signes.)
donc (a-b)²= a²-2ab+b²
C.(a-b)(a+b)
= axa+axb-bxa-bxb
= a²+ab-ab-b²
= a²-b²
Exemples :
Lorsque le développement est précédé d'un signe moins,on ouvre une parenthèse et on effectue le développement à l'intérieur.
On supprime ensuite les parenthèses.
II. Factoriser une somme de termes
Factoriser une somme de termes, c'est la transformer en un produit de facteurs.
Méthode 1 :
On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.
(4 est un facteur commun à 4x et à 12)
On fait apparaître le facteur commun et on l'entoure en rouge dans chaque terme.
On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)
Méthode 2 :
On reconnaît une identité remarquable.
Cette expression ressemble à a² + 2ab + b² qui vaut (a + b)² .
a vaudrait et b vaudrait 5.
vérifions si est le double produit 2ab.
est bien le double produit donc :
Cette expression ressemble à a² - 2ab + b² qui vaut (a - b)²
a vaut et b vaudrait 4 donc :
Cette expression ressemble à a² - b² qui vaut (a + b) (a - b)
a vaut et b vaut 4 donc :
III. Résolution d'une équation produit du type (ax + b) (cx +d) = 0 (avec a et c non nuls).
1. Produit nul:
Si A = 0 ou B = 0 alors A x B = 0 .
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 (c'est la réciproque) .
Autrement dit :
Dire qu'un produit de facteurs est nul revient à dire que l'un au moins de ses facteurs est nul.
2. Exemple :
Résoudre l'équation (4x + 8) (9x - 63) = 0
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'égalité donnée.
Ici on veut qu'un produit de deux facteurs soit égal à zéro.
Dire qu'un produit de facteurs est nul revient à dire que l'un au moins de ses facteurs est nul .
On a donc
4x + 8 = 0 ou 9x - 63 = 0
4x = -8 ou 9x = 63
x = - 2 ou x = 7
Conclusion :
Les solutions de cette équation sont - 2 et 7.
Ainsi S=[-2;7]
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