Tape 3 + 4 × 2 dans une calculatrice scientifique : tu obtiens 11. Tape la même chose dans certaines calculatrices basiques d'entrée de gamme : tu obtiens 14. La différence ne vient pas d'un bug, mais d'une convention mathématique vieille de plus d'un siècle : les priorités opératoires. C'est elle qui décide quel calcul s'effectue en premier quand plusieurs opérations cohabitent dans une même expression.
Cette règle est l'un des rares automatismes mathématiques qui sert vraiment de la 6e jusqu'en Terminale, et au-delà. Une fois maîtrisée, elle évite les erreurs les plus pénalisantes au brevet (sujet type calcul numérique) et aux contrôles de seconde sur les fonctions. Voyons précisément quel ordre suivre, pourquoi cet ordre existe, et comment réagir face aux expressions qui semblent ambiguës.
L'ordre des opérations : la règle PEMDAS expliquée 📚
Quand une expression contient plusieurs opérations, les mathématiciens ont fixé une convention universelle qui détermine l'ordre dans lequel les effectuer. Cette convention porte plusieurs noms selon les pays : PEMDAS aux États-Unis, BODMAS au Royaume-Uni, ou simplement "priorités opératoires" en France. Le principe reste le même partout.
🔍 Les quatre niveaux de priorité
Voici la hiérarchie complète, du plus prioritaire au moins prioritaire :
- Parenthèses : tout ce qui se trouve entre parenthèses se calcule en premier, en commençant par les parenthèses les plus internes,
- Puissances et racines : les exposants (
2³,5²) et les racines carrées se calculent juste après les parenthèses, - Multiplications et divisions : elles ont la même priorité et se traitent de gauche à droite dans l'ordre où elles apparaissent,
- Additions et soustractions : également au même niveau, traitées de gauche à droite en dernier.
Reprenons l'exemple du début : 3 + 4 × 2. La multiplication est prioritaire sur l'addition, donc on calcule d'abord 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11.
Le résultat 14 (qui correspond à faire 3 + 4 = 7 puis 7 × 2 = 14) est faux car il ne respecte pas la hiérarchie.
✏️ Pourquoi cet ordre et pas un autre ?
La convention vient d'une logique simple : la multiplication est une addition répétée, et la puissance est une multiplication répétée. Quand on écrit 3 + 4 × 2, on dit en réalité 3 + (4 + 4). Les opérations dites "supérieures" condensent plusieurs opérations plus simples, il est donc logique qu'elles se résolvent en premier pour préserver le sens du calcul.
Cette convention s'est imposée progressivement au cours du XIXe siècle dans les manuels scolaires américains et britanniques, puis a été adoptée mondialement. Avant cette uniformisation, certains auteurs notaient explicitement chaque parenthèse pour lever toute ambiguïté, ce qui rendait les formules très lourdes à lire.
Attention au piège classique : 12 ÷ 2 × 3 ne vaut pas 2. On lit de gauche à droite : 12 ÷ 2 = 6, puis 6 × 3 = 18. La même règle s'applique à 20 - 5 + 3 : on fait 20 - 5 = 15, puis 15 + 3 = 18, jamais 20 - 8 = 12.
| Niveau de priorité | Opération | Règle de lecture | Exemple |
|---|---|---|---|
| 1 | Parenthèses (et crochets, accolades) | Du plus interne vers le plus externe | 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12 |
| 2 | Puissances et racines | Calcul après les parenthèses, avant les × et ÷ | 2 × 3² + 1 = 2 × 9 + 1 = 19 |
| 3 | Multiplications et divisions | Même priorité, de gauche à droite | 12 ÷ 2 × 3 = 6 × 3 = 18 |
| 4 | Additions et soustractions | Même priorité, de gauche à droite | 100 − 40 + 2 = 60 + 2 = 62 |
Parenthèses et puissances : les deux niveaux prioritaires 🎯
Les deux premiers niveaux de la hiérarchie sont aussi ceux qui modifient le plus radicalement un résultat. Une parenthèse mal placée ou un exposant oublié transforme totalement la valeur finale, comme on le voit dans l'exemple 2 × 3 + 3 versus 2 × (3 + 3).
🧮 Le rôle décisif des parenthèses
Les parenthèses servent à forcer un ordre de calcul différent de la priorité naturelle. Comparons trois écritures qui partagent les mêmes chiffres :
2 × 3 + 3 = 6 + 3 = 9(la multiplication d'abord),2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12(les parenthèses imposent l'addition d'abord),(2 × 3) + 3 = 6 + 3 = 9(parenthèses utiles uniquement pour clarifier visuellement).
Quand plusieurs niveaux de parenthèses sont imbriqués, on calcule toujours du plus interne vers le plus externe. Par exemple 2 × (3 + (4 - 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12. Pour éviter la confusion visuelle, les manuels utilisent parfois des crochets ou des accolades : 2 × [3 + (4 - 1)] a exactement le même sens.
💡 Puissances et exposants : la deuxième marche
Une fois les parenthèses résolues, on s'attaque aux puissances avant toute autre opération. Cela donne par exemple 2 × 3² + 1 = 2 × 9 + 1 = 18 + 1 = 19. La puissance 3² = 9 se calcule en premier, ensuite la multiplication, et enfin l'addition.
Petite subtilité utile en seconde : quand un exposant porte sur une parenthèse, c'est toute la parenthèse qui est élevée à la puissance. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2 + 3² = 2 + 9 = 11. Cette nuance revient très souvent dans les exercices sur les identités remarquables.
La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. C'est pourquoi une convention claire sur l'ordre des opérations est indispensable : sans elle, deux personnes lisant la même expression obtiendraient deux résultats différents.
Henri Poincaré, mathématicien, L'avenir des mathématiques (1908)
Parenthèses → Exposants (puissances) → Multiplications et Divisions (de gauche à droite) → Additions et Soustractions (de gauche à droite). Mémorise l'acronyme PEMDAS et tu ne te tromperas plus jamais d'ordre.
Les pièges classiques qui coûtent des points au brevet 💡
Trois types d'erreurs reviennent en boucle dans les copies du brevet et des contrôles de 4e/3e. Les repérer à l'avance permet de gagner facilement deux à trois points sur la partie numérique.
⚡ Le piège du signe moins devant une parenthèse
Quand un signe moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes qu'elle contient. Beaucoup d'élèves oublient cette distribution. Exemple : 10 - (3 + 2) = 10 - 5 = 5 par calcul direct, mais aussi 10 - 3 - 2 = 5 si on supprime la parenthèse. Erreur fréquente : écrire 10 - 3 + 2 = 9, ce qui est faux.
🔢 La division comme fraction implicite
Une barre de fraction joue le rôle d'une grande parenthèse invisible. L'expression (8 + 4) / (2 + 1) vaut 12 / 3 = 4. Mais écrite linéairement comme 8 + 4 / 2 + 1, elle vaut 8 + 2 + 1 = 11. Quand tu retranscris une fraction d'un manuel vers ta copie ou ta calculatrice, n'oublie jamais d'ajouter les parenthèses qui correspondent au numérateur et au dénominateur entiers.
🎯 L'exemple piégeux 100 - 40 + 2
Un grand classique des exercices type "calcul mental rapide" : 100 - 40 + 2. Beaucoup d'élèves écrivent 100 - 42 = 58 en pensant grouper l'addition. Le calcul correct se fait de gauche à droite puisque additions et soustractions ont la même priorité : 100 - 40 = 60, puis 60 + 2 = 62. Variante encore plus tordue : 100 - 40 + 2 × 3. La multiplication passe en premier (2 × 3 = 6), puis on lit de gauche à droite : 100 - 40 + 6 = 66.
Des élèves de 3e
% commettent au moins une erreur de priorités opératoires lors d'évaluations diagnostiques (Source : DEPP, Note d'information n°23.42, 2023)
| Calcul | Erreur courante | Résultat correct | Explication |
|---|---|---|---|
| 3 + 4 × 2 | 3 + 4 = 7, puis 7 × 2 = 14 | 11 | La multiplication est prioritaire : 4 × 2 = 8, puis 3 + 8 = 11 |
| 100 − 40 + 2 | 40 + 2 = 42, puis 100 − 42 = 58 | 62 | Même priorité : on lit de gauche à droite, 100 − 40 = 60, puis 60 + 2 = 62 |
| 12 ÷ 2 × 3 | 2 × 3 = 6, puis 12 ÷ 6 = 2 | 18 | Même priorité : 12 ÷ 2 = 6, puis 6 × 3 = 18 |
| 10 − (3 + 2) | 10 − 3 + 2 = 9 | 5 | Le signe moins distribue : 10 − 3 − 2 = 5 |
| 8 + 4 / 2 + 1 (linéaire) | Interprété comme (8 + 4) / (2 + 1) = 4 | 11 | Sans parenthèses, on traite la division seule : 8 + 2 + 1 = 11 |
| (2 + 3)² | 2 + 3² = 2 + 9 = 11 | 25 | L'exposant porte sur toute la parenthèse : 5² = 25 |
Méthode pas-à-pas pour ne plus jamais se tromper ✅
Plutôt que d'essayer de calculer mentalement d'un bloc, applique systématiquement la même méthode en trois temps. C'est plus lent au début, mais l'automatisme se construit en quelques séances seulement.
🚀 La méthode du "soulignement par niveau"
Sur ton brouillon, recopie l'expression complète puis souligne l'opération à effectuer en premier d'un trait fin. Effectue le calcul, recopie l'expression simplifiée en dessous, et recommence. Cette technique évite les erreurs d'inattention et rend ton raisonnement lisible pour le correcteur.
Exemple complet avec 5 + 2 × (3² - 1) :
- Parenthèse interne, puissance en premier :
3² = 9, donc5 + 2 × (9 - 1), - Fin de la parenthèse :
9 - 1 = 8, donc5 + 2 × 8, - Multiplication :
2 × 8 = 16, donc5 + 16, - Addition finale :
5 + 16 = 21.
✨ Calcul mental : les automatismes utiles
Pour les expressions courtes que tu rencontres au quotidien (devoirs, contrôles rapides), trois réflexes accélèrent énormément le calcul mental :
- Repère d'abord les multiplications et divisions dans l'expression, même si elles sont au milieu,
- Traite les parenthèses comme des "blocs" que tu remplaces mentalement par leur valeur avant de continuer,
- Lis toujours de gauche à droite quand deux opérations de même niveau se suivent (deux additions, ou une multiplication suivie d'une division).
Si tu veux t'entraîner avec un suivi personnalisé, des sites comme les cours particuliers de mathématiques proposent un accompagnement adapté au niveau de chaque élève, du collège au lycée.
📝 Cas particulier : les expressions avec lettres
Dès la 4e, les expressions littérales font leur apparition : 3a + 2 × b ou 2(x + 3). Les priorités opératoires s'appliquent exactement de la même manière, simplement les lettres remplacent des nombres. Par exemple, pour a = 4 et b = 5, on calcule 3a + 2 × b = 3 × 4 + 2 × 5 = 12 + 10 = 22. La multiplication implicite (le 3a qui signifie 3 × a) garde sa priorité naturelle.
Foire Aux Questions ❓
🤔 Quelle est la règle des priorités opératoires en une phrase ?
Dans une expression mathématique, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Cette hiérarchie est universelle et s'applique de la primaire jusqu'aux études supérieures.
🤔 Combien vaut 2 × 3 + 3 ?
Le résultat est 9. La multiplication étant prioritaire sur l'addition, on calcule d'abord 2 × 3 = 6, puis 6 + 3 = 9. Attention à ne pas confondre avec 2 × (3 + 3) qui vaut 12, car les parenthèses changent l'ordre du calcul.
🤔 Combien fait 100 - 40 + 2 ?
Le résultat est 62. Addition et soustraction étant de même priorité, on lit de gauche à droite : 100 - 40 = 60, puis 60 + 2 = 62. L'erreur classique consiste à regrouper 40 + 2 = 42 pour obtenir 100 - 42 = 58, ce qui ne respecte pas le sens de lecture.
🤔 Que veut dire l'acronyme PEMDAS ?
PEMDAS signifie Parenthèses, Exposants, Multiplications, Divisions, Additions, Soustractions. C'est un moyen mnémotechnique anglo-saxon repris dans la francophonie pour mémoriser l'ordre des priorités. La variante britannique BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) désigne exactement la même règle.
🤔 Une calculatrice respecte-t-elle toujours les priorités ?
Les calculatrices scientifiques (Casio, Texas Instruments) respectent les priorités opératoires par défaut. Les calculatrices basiques d'entrée de gamme, en revanche, effectuent souvent les opérations dans l'ordre où tu les saisis, sans tenir compte de la hiérarchie. Pour les contrôles et le brevet, utilise toujours une calculatrice scientifique homologuée par l'Éducation nationale.
Les priorités opératoires sont l'un de ces apprentissages qui rapportent énormément pour un effort modeste : une dizaine d'exercices bien faits suffisent généralement à les ancrer. Maîtrise-les en 6e, révise-les en 3e avant le brevet, et tu disposeras d'un automatisme qui te servira jusqu'à la Terminale et au-delà, dans toutes les branches des mathématiques et des sciences.
Sources 📚
- Ministère de l'Éducation nationale. "Programme de mathématiques du cycle 4." Bulletin officiel de l'Éducation nationale, n°31, 30 juillet 2020, https://www.education.gouv.fr/bo/20/Hebdo31/MENE2018714A.htm.
- DEPP. "Évaluations repères 4e en mathématiques : maîtrise des automatismes de calcul." Note d'information n°23.42, Direction de l'évaluation, de la prospective et de la performance, 2023, https://www.education.gouv.fr/evaluations-de-debut-de-4e-et-de-debut-de-seconde-2023-des-resultats-en-progres-378829.
- Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations, Volume I: Notations in Elementary Mathematics. Open Court Publishing, Chicago, 1928, https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp.
- Poincaré, Henri. "L'avenir des mathématiques." Bulletin des sciences mathématiques, vol. 32, 1908, pp. 168-190, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k486259h.
- Eduscol. "Repères de progressivité en calcul numérique, cycle 4." Ministère de l'Éducation nationale, ressources d'accompagnement, 2022, https://eduscol.education.fr/document/17307/download.
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